第二章 第三节 单摆

 

弹簧振子的振动是简谐运动的一个例子。如图 2–15 所示的“空中飞人”杂技演员的运动，其与秋千、钟摆在竖直平面内的运动类似，都周期性地在最低点附近来来回回地“摆动”。

为了研究摆动的规律，我们用细线下悬挂一个小球来近似表示上述所有的“摆”。

如果细线的质量与小球的质量相比可以忽略，小球的大小与细线的长度相比也可以忽略，这样的装置就称为单摆（simple pendulum）。单摆（图 2–16）也是一种物理模型。

 

 

如图 2–18（a）所示，将盛有细沙的漏斗吊在支架上，支架下方放一块硬纸板，漏斗静止时恰好位于直线 OO′ 的正上方。沿垂直 OO′ 的方向拉开漏斗，使悬线以较小的角度偏离竖直方向，释放漏斗后其在垂直于 OO′ 的方向上自由摆动。漏斗摆动的同时沿着 OO′ 的方向匀速拉动硬纸板。

每时每刻都会有细沙从漏斗中漏出落在硬纸板上，硬纸板上细沙的分布反映了各个时刻漏斗的位置。盛有细沙的漏斗相当于单摆的摆球，这条由细沙描绘的曲线显示了摆球的位置随时间变化的关系。将该曲线抽象为如图 2–18（b）所示的 x–t 图像，此图像与余弦函数的图像非常相似，由此可以初步猜想单摆的摆动也是一种简谐运动。

如图 2–19 所示，将质量为 m 的摆球从平衡位置 O 拉到 B 点。放手后，摆球在重力 G 和拉力 F_T 的作用下在 O 点两侧来回摆动。将重力 G 沿圆弧的切线和半径方向分解，正是在重力沿圆弧切线方向的分力作用下，摆球才能在竖直平面内沿圆弧 BC 往复运动。

摆球在任意位置所受重力沿切线方向分力的大小 F = F_x = mgsinθ，θ 为摆线与竖直方向的夹角[1]。当摆角很小时，F 的方向近似指向平衡位置，力 F 就是单摆的回复力；此时摆球相对于 O 点的位移 x 的大小、摆角 θ 对应的弧长和弦长三者几乎相等。因此 sinθ 近似等于位移 x 与摆长 l 的比值。单摆的回复力

\[F = - mg\frac{x}{l} = - kx\]

---

[1] 如果 θ 很小，且用弧度制表示，θ 与 sinθ 的值近似相等；θ 所对应的弦长和弧长也近似相等。这时可近似认为摆球沿直线在平衡位置两侧振动。

 

在此近似下，单摆受到的回复力与其偏离平衡位置位移的大小成正比，方向始终指向平衡位置，符合简谐运动回复力的特征。由此可见，在摆角很小的情况下，可近似认为单摆的运动是一种简谐运动。

1581 年，伽利略观察了悬挂着的蜡烛架的摆动。他用自己的脉搏计时后发现，虽然蜡烛架摆动的幅度越来越小，但是每次摆动所用的时间却大致相等，摆动的周期与振幅无关，这就是摆的等时性。虽然不少科学家认为，这可能只是一个传说，但伽利略确实对摆进行了深入的研究。他设计了一个脉搏仪，用标准长度的单摆来测量患者的脉搏。

单摆做简谐运动的周期与哪些因素有关？如何验证你的猜想？

通过上述实验我们发现，单摆做简谐运动的周期与摆球的质量无关，周期与摆长的二次方根成正比。

实际上，早在 17 世纪惠更斯就发现单摆做简谐运动的周期与摆长的二次方根成正比，与重力加速度的二次方根成反比，与振幅和摆球的质量无关，确定了单摆振动的周期公式

\[\color{ #62547B } T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \]

单摆的周期仅由摆长与当地的重力加速度大小决定，称为单摆的固有周期，相应的频率称为固有频率。

 

用单摆测量重力加速度的大小

提出问题

重力加速度是一个重要的常量，地球上不同地点的重力加速度的大小不尽相同。如何通过实验测量重力加速度呢？

实验原理与方案

单摆的振动具有周期性，其周期与重力加速度的大小有关。当单摆做简谐运动时，其周期 T 与重力加速度 g 的关系为 T = 2π\(\sqrt {\frac{l}{g}} \)，式中 l 为摆长，则当地的重力加速度 g = \(\frac{{4{\pi ^2}l}}{{{T^2}}}\)。

分别测量单摆的摆线长度和摆球直径，以及单摆做简谐运动的周期，可得重力加速度的大小。

实验装置与方法

实验装置如图 2–21 所示。

细线下端连接一个小球，上端固定，构成单摆。使单摆在竖直平面内做简谐运动，用停表测量单摆做简谐运动的周期，用刻度尺测量悬挂状态下细线的长度，用游标卡尺测量小球的直径。

思考：如果没有游标卡尺，仅用刻度尺，如何比较准确地测量摆长？

实验操作与数据收集

将连接小球的细线上端固定在铁架台上，使之可自由摆动。

测量自由悬挂状态下细线的长度 l₀ 和小球的直径 d，摆长 l = l₀ + \(\frac{d}{2}\)。

使小球偏离平衡位置（摆角小于 5°）并由静止释放做小角度摆动。

用停表测量单摆经过 30~60 次全振动的时间 t。改变摆线的长度，重复几次实验。

将实验数据记录在表 2–4 中。

思考：为了尽量准确地测量周期，应以摆球位于最高点还是平衡位置的时刻作为计时的起点？为什么要测量 n 次全振动的时间？

 

表 2–4 数据记录表

小球直径 d = _________，单摆全振动次数 n = _________

实验序号	摆线长度 l0 /m	n 次全振动的时间 t /s	摆长 l /m	周期 T /s
1
2
3
4
5

 

数据分析

用图像法处理数据，在图 2–22 的坐标系中选择合适的物理量作为横、纵坐标。在坐标系中描出数据点，并据此画出相应的图像。使这些点近似分布在一条直线上。由直线的斜率可得重力加速度的测量值。

图 2–22 坐标图像

除了用图像法，还可如何处理数据得到结果？

实验结论

本地的重力加速度 g = _________m/s²。

交流与讨论

交流各组测得的重力加速度值和数据处理方法，讨论提高测量精度的措施。

 

本节编写思路

本节按照逐步深入的思路，研究单摆的运动。具体内容按以下思路展开：

1．首先建立单摆模型，在此基础上，用图像研究摆球位置随时间的变化，得到单摆的振动图像。对图像定性分析，提出单摆可能做简谐运动的猜想。

2．分析摆球受力与运动状态改变的关系，认识摆球受到的回复力由重力沿轨迹切线方向的分力提供；推导回复力与摆球偏离平衡位置位移的关系，验证单摆做简谐运动的猜想，明确单摆做简谐运动的条件。

3．在观察猜想的基础上，用控制变量法探究单摆做简谐运动的周期与摆长的关系，并利用单摆做简谐运动的周期公式测量当地的重力加速度。

学习本节内容，将经历观察现象、建构模型、猜想假设、推理论证、实验探究与测量等过程，有助于学生科学思维和科学探究能力的发展。通过对单摆运动有意识的探究，可以形成对其规律的描述与解释，培养学生认真细致、实事求是的态度，增强团队合作的意识。

正文解读

这里利用生活中实际物体的来回摆动创设情境，突出了“摆动”的运动特征。通过抽象建立单摆模型来研究其规律，体现科学研究总是从简单情况着手的思路。

 

在由沙摆获得振动图像的实验中，若以速度 v 匀速拉动硬纸板，纸板通过的距离 L = vt，该距离 L 即表示沙摆摆动所经历的时间 t。图中从坐标原点开始，横轴方向的线段长反映了摆从初始时刻（0 s），沿纵轴方向摆动的时间 t。这种以空间表示时间的方法也应用于地震监测仪、心电图仪等技术中。

 

单摆的摆动不同于弹簧振子的运动，摆球是在竖直平面内沿以悬点为中心的圆弧来回运动，因此，一般研究其角位移随时间的变化。如教材图 2 – 19 所示，设单摆的摆球质量为 m、摆长为 l。当摆球经过角位移为 θ 的位置时，其重力沿切线方向的分力充当回复力，表达式为 F = mgsinθ，式中负号表示力的方向与角位移的方向相反。设此时该回复力产生的切向加速度为 a，则由牛顿第二定律可得，− mgsinθ = ma，代入加速度 a = l \(\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{t^2}}}\)，整理后可得，\(\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{t^2}}}\) + \(\frac{g}{l}\) sinθ = 0。

与简谐运动的动力学方程 \(\frac{{{{\rm{d}}^2}x }}{{{\rm{d}}{t^2}}}\) + ω²x = 0 对比，摆球角位移随时间并不按余弦函数规律变化，因此，单摆的摆动并不是简谐运动。只有在小角度摆动的情况下，由于 sinθ ≈ θ，单摆才近似做简谐运动。

 

单摆的等时性是在小角度摆动时的近似结论。理论计算表明，即使最大摆角达到 15°，摆的实际周期与等时周期相差不超过千分之五。周期与最大摆角的关系可参见本书第 56 页资料链接。

 

这是一个测量类学生实验，目的是根据单摆周期公式，利用单摆摆动的周期性，测量当地重力加速度的大小。在物理实验与活动部分中，本实验要求学生自主选择器材、设计实验步骤，选择数据处理方式、思考减小实验误差的方法等，以呼应课标最终要求学生独立撰写完整实验报告的水平要求。

问题与思考解读

1．参考解答：单摆运动的轨迹为圆弧，单摆的小角度摆动可视为简谐运动，经过平衡位置时在振动方向上外力为零，在指向圆心方向的合力不为零，摆球不处于受力平衡状态。在水平方向做简谐运动的弹簧振子经过平衡位置时回复力为零，合力为零，处于受力平衡状态。

命题意图：把单摆与弹簧振子两个简谐运动常用模型进行对比，从力与相互作用的角度分析单摆的简谐运动。

主要素养与水平：运动与相互作用观念（Ⅲ）；模型建构（Ⅱ）。

 

2．参考解答：由简谐运动的特点可知，当摆角增大，摆球偏离平衡位置的位移增大，动能转化为重力势能，所以速度减小；由回复力和位移的关系 F = − kx 可知，位移增大，回复力也增大。

提示：回复力的大小，也可用 F_回 = mgsinθ 表示，可得摆角 θ 增大，回复力也增大。

命题意图：引导从生活中摆（单摆摆动）的情境思考摆角增大时速度的变化情况；从单摆回复力是重力沿圆弧切线的分力，或机械运动的回复力与位移的关系，多视角厘清各个物理量之间的关系，分析摆角增大过程中它们的变化。

主要素养与水平：运动与相互作用观念（Ⅰ）；能量观念（Ⅰ）；科学推理（Ⅲ）。

 

3．参考解答：光电门传感器的工作原理是：挡光时，通过的电流为零；无挡光时，电流不为零。光电门传感器位于摆的最低点，摆球通过光电门传感器时挡光，电流为零。单摆经过平衡位置起，在一个周期内会经过平衡位置两次，所以单摆的周期对应图 2 – 23 中的 t₁ ~ t₃ 或 t₂ ~ t₄ 时间段。

命题意图：呼应教材中的自主活动，能用光电门传感器测量单摆的周期，了解单摆周期测量的原理。

主要素养与水平：模型建构（Ⅲ）；科学推理（Ⅱ）。

 

4．参考解答：单摆周期 T 与重力加速度 g 的关系为：T = 2π \(\sqrt {\frac{l}{g}} \)。若以悬点到摆球下端的长度作为摆长，则摆长偏长；若测周期时，以摆球经过平衡位置起计时，每次经过记为一次全振动，则周期偏小；以摆球经过平衡位置起计时，第一次经过读数为“1”，读数“30”认为全振动是 30 次，其实只有 29 次，则周期偏小。这些均可能导致测得的重力加速度值偏大。

命题意图：“用单摆测量重力加速度大小”的实验，是有一定精度要求的实验，设想实验中可能发生的错误操作，预测其对测量结果的影响，引导实验中加以关注。

主要素养与水平：质疑（Ⅲ）；科学态度（Ⅱ）。

 

5．参考解答：一般吊车缆绳与物体组成的摆动系统的摆动偏角很小，将吊车缆绳下物体的摆动视为单摆做简谐运动，其从一侧最高位置摆到另一侧最高位置的时间为半个周期，周期 T = 10 s。根据单摆周期公式 T = 2π \(\sqrt {\frac{l}{g}} \) 可知，\(\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}}\) = \(\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}}\)，故缆绳的长度约为 25 m。

命题意图：将缆绳下物体的运动抽象为单摆的小角度摆动，利用秒摆的信息，通过比较估算绳长。

主要素养与水平：运动与相互作用观念（Ⅱ）；模型建构（Ⅲ）。

 

6．参考解答：单摆的用期 T = \(\frac{t}{n}\)。图 2 – 24 中图线的斜率 k = \(\frac{{{T^2}}}{l}\)，根据单摆周期公式 T = 2π \(\sqrt {\frac{l}{g}} \)，得 g = \(\frac{{4{\pi ^2}l}}{{{T^2}}}\)，故重力加速度 g = \(\frac{{4{\pi ^2}}}{k}\)。

命题意图：呈现不同的数据分析方式，通过推理获得结论，培养学生在实验中多样化数据处理的能力。

主要素养与水平：解释（Ⅲ）；科学论证（Ⅱ）。

资料链接

“单摆周期与振幅无关”的讨论

只有在摆角足够小的情况下，单摆的摆动才可以近似看作简谐运动，其周期才满足公式 T = 2π \(\sqrt {\frac{l}{g}} \)，与振幅无关，是单摆的固有周期。在任意摆角的情况下，单摆周期 T 与最大摆角 θ 的关系为：T = T₀（1 + \(\frac{1}{4}\) sin²θ_max + \(\frac{9}{64}\) sin⁴θ_max + …）（得出这一结果的参考文献，可通过“单摆的周期与摆角的关系”关键词检索查阅）。

根据上述公式，可以计算出最大摆角 θ_max 对单摆周期的影响，如下表所示。

θmax	5°	10°	15°	20°	30°	45°	60°
\(\frac{{T - {T_0}}}{{{T_0}}}\)	0.000 5	0.001 9	0.004 3	0.007 7	0.017 4	0.036 9	0.071 9

可见，当摆角较小时，单摆的摆动可视为简谐运动，其摆动具有等时性，周期为固有周期。