第 4 节  单摆  教学建议

1．教学目标

（1）知道单摆是一种理想化模型，理解单摆模型的条件，能将实际问题中的对象和过程转化为单摆模型。

（2）能通过理论推导，判定单摆小角度振动时的运动特点。

（3）在探究单摆的周期与摆长的定量关系时，能分析数据、发现规律、形成合理的结论，能用已有的物理知识解释相关现象。

（4）知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系，能运用其解决相关实际问题。

2．教材分析和教学建议

在学习单摆之前，学生学习了简谐运动及其图像，简谐运动的振幅、周期、频率以及回复力和能量等内容，本节是简谐运动的应用实例。通过学习受力和运动情况均较为复杂的单摆，促进学生对简谐运动规律的进一步理解和应用，丰富学生的运动与相互作用观念。教材以“单摆的摆动是否为简谐运动？”作为问题启发学生思考，通过对单摆回复力的分析推导和“做一做”观察墨汁图样的实验，丰富了学生的学习经历和知识形成过程。通过对较为复杂的单摆的相关问题进行分析和推理，促进学生科学思维的发展。探究单摆周期与摆长的关系时，先用控制变量法定性研究，再用图像法处理数据获得定量结果，提升学生科学探究的能力。

本节教学的重点是对单摆运动规律和单摆周期公式的探究。单摆是简谐运动的典型模型之一，也是丰富学生运动与相互作用观的重要知识载体。本节的难点在于对单摆回复力的判定以及对小角度的近似处理，虽然教材在必修模块已渗透极限思维，但大部分学生对小角度的近似处理缺少经验，还会存在学习障碍。

（1）问题引入

悬挂起来的物体在竖直平面内往复运动是生活中常见的情景，本节提出的问题“小球的摆动是否为简谐运动呢？”激发了学生对该现象进一步研究的动机。

单摆的受力和运动情况比弹簧振子复杂，所以研究单摆时，要注意理想化模型方法的运用是分层次的：首先将实际的摆纳入单摆模型，然后将单摆纳入简谐运动模型。教学中应该首先明确单摆是一种理想化的模型。教师要结合弹簧振子的模型建构过程，让学生对实际摆的主要部件——细线和小球进行理想化处理，通过讨论，领会教材中“细线的质量与小球的质量相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略”的含义，从而建构出单摆模型。其次，引导学生用动力学（分析单摆的回复力和位移是否成正比且方向相反）和运动学（分析单摆位移和时间的关系是否遵从正弦函数的规律）两种方法进行推理和验证。

（2）单摆的回复力

第一，确定单摆摆动的平衡位置 O；第二，确定摆球重力 G 沿圆弧切线方向的分力 F = mgsinθ 就是迫使它回到平衡位置 O 的回复力；第三，将沿弧运动近似为沿弦运动，引入位移 x；第四，判断单摆的回复力 F 与摆球从 O 点到 P 点的位移 x 是否满足 F = − kx，以及在什么条件下会满足，最终确定单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。推导过程要注意让学生理解曾摆做简谐运动的受力条件，并体会物理学中常用的近似方法。

通过理论推理得到结论后，教材安排了“做一做：观察墨汁图样实验”，由于在简谐运动时仔细研究过 x–t 图像，因此，这个实验的功能不是理解 x–t 图像，而是通过做这个实验，让学生观察到单摆振动的 x–t 图像与弹簧振子振动的 x–t 图像相同。从而从运动学方面说明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。

 

教学片段

单摆的回复力

教师提出问题：如图 2–3 所示，摆球静止在 O 点时，它受到几个力？这些力有什么关系？并要求学生判断：摆球如果沿圆弧往复运动，该点是否为其平衡位置？

 

图 2–3

如果将摆球拉离平衡位置 O，然后放手，摆球沿着圆弧往复运动。当摆球摆到圆弧上任意一点 P 时，引导学生对摆球进行受力分析，问：这时摆球所受的重力 G 和拉力 F_T 是否为平衡力？迫使摆球回到平衡位置的回复力是什么力？给学生一定时间讨论和交流，并将他们的观点汇总。

学生甲：回复力是摆球所受的重力和绳对摆球的拉力的合力。

学生乙：回复力是摆球所受的重力沿圆弧切线方向的分力。

经过充分讨论后，教师总结：单摆振动的回复力是什么？关键是分清它与弹簧振子振动的区别。弹簧振子是在一条直线上做往复运动，它振动的加速度是由合力产生的。而单摆在一个圆弧上来回运动，摆球做圆周运动时需要向心力来改变摆球的运动方向，这个向心力就是重力 G 沿悬线方向的分力 F₁ 跟悬线的拉力 F_T 的合力，它的方向指向圆心，它不改变摆球在弧线上运动的快慢，只改变摆球的运动方向。而重力的另一个分力 F，即重力沿圆弧切线方向的分力，改变摆球在弧线上运动的快慢，使摆球沿弧线在平衡住置两侧做往复运动。因此，在研究单摆振动的回复力时不需要考虑向心力，只考虑重力沿圆弧切线方向的分力 F 就可以了。故单摆振动的回复力 F = mgsinθ。

引导学生分析发现：回复力 F = mgsinθ 与摆球从 O 点到 P 点的位移并没有成正比也不反向。教师再次提问：是不是在某种特定的条件下，回复力 F 会满足 F = − kx？引导学生认识到当摆角 θ 很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线，可认为 F 指向平衡位置 O，与位移 x 反向。同时展现小角度时，用弧度表示的 θ 与它的正弦值，如表 2–1 所示。

表 2–1  小角度时 θ 与 sinθ 的比较

摆角 θ	弧度值	正弦值	差值
1°	0.017 45	0.017 45	0.000 00
2°	0.034 91	0.034 90	0.000 01
3°	0.052 36	0.052 34	0.000 02
4°	0.069 81	0.069 76	0.000 05
5°	0.087 27	0.087 16	0.000 11
6°	0.104 72	0.104 53	0.000 19
7°	0.122 17	0. 121 87	0.000 30
8°	0.139 63	0.139 17	0.000 46

在摆角很小的情况下，sinθ 的值可近似看作等于用弧度表示的 θ 值，而 θ 值可以通过弧长与半径之比求得，这时圆弧又可以近似地看成直线，则有

sinθ ≈ θ ≈ ,l) ≈

可见，单摆振动的回复力 F 可表示为

F = − x

式中 x 就是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力与位移方向相反，mg 和 l 都是恒定的，可以用一个常量 k 表示，于是上式可以写成

F = − kx

因此，单摆在摆角很小情况下做简谐运动。

（3）单摆的周期

为了研究单摆的周期与各种因素是否有关以及有怎样的关系，可以采用控制变量法，按照定性和定量相结合的方案进行研究。单摆周期公式可通过实验观察、设疑、释疑的方式引入，以培养学生研究问题的能力，并加深对公式物理意义的理解。首先提出单摆的周期可能与哪些因素有关，让学生自主猜想，再让学生考虑如何去获取证据验证这些猜想，并设计出验证的实验方案，从中体会研究的过程和方法。在设计方案时建议同步设计实验数据采集表格，把相关物理量有序呈现出来，便于学生对比总结。实验记录表格设计也是学生处理数据能力的体现，在设计表格过程中可以把实验的思路变得更清晰。

上述实验只能得出“摆长越长周期也越长”的定性结论，在“探究单摆周期与摆长之间的关系”的实验中，建议先让学生对单摆周期 T 与摆长 l 之间的可能关系进行猜测，根据猜测来定义坐标系的横、纵坐标，使得在这样的尘标系中作出的图像是一条直线。如果作出的图像确实是一条直线，说明猜测成立，便能形成结论；如果作出的图像不是一条直线，说明猜测不成立，应该根据图像的形状重新进行猜测，重新定义坐标，直到作出直线为止。由于单摆周期跟摆长的二次方根成正比，这为学生经历这种数据处理过程提供了条件，也让学生体会了图像在定量处理实验数据中的作用。

本部分教学内容侧重实验方案设计、数据分析及结论形成。在对单摆周期的定性研究中，不涉及周期的定量测量，只要通过观察来比较周期大小即可；在定量研究中，建议教师课前完成实验数据的采集，在课堂上直接给出实验数据，直接让学生处理数据，通过数据分析得出实验结论。单摆的安装、单摆周期测量及摆长测量等具体操作细节，建议安排在下节“实验：用单摆测量重力加速度”中进行专门的学习讨论。

 

教学片段

探究单摆周期与摆长之间的关系

单摆振动的快慢可以用周期来描述，让学生观察其摆动，思考并讨论以下问题。

问题 1．你推测单摆周期可能跟什么因素有关？

问题 2．如果想研究单摆周期 T 跟摆球质量 m、摆长 l、振幅 A 之间的关系，需要用什么方法进行研究？说说你的研究思路。

为帮助学生厘清实验思路，建议学生把控制变量法中涉及的物理量全部在表格中有序地呈现出来（表 2–2）。然后引导学生根据实验思路设计实验方案，并进行实验操作，把实验结果记录在表格中。要求学生整理表格中的实验数据，发现其中的规律，形成实验结论，并用证据进行解释交流。

表 2–2  用控制变量法研究 T 与 m、l、A 之间的关系

不变量	变量	单摆的周期 T
摆球质量 m、摆长 l	振幅 A      大
	振幅 A      小
摆球质量 m、振幅 A	摆长 l       大
	摆长 l       小
振幅 A、摆长 l	摆球质量 m  大
	摆球质量 m  小

教师提供单摆振动周期 T 和摆长 l 的实验数据，引导学生用坐标纸绘制图像（也可用软件拟合图像）的办法去发现它们之间的定量关系，指导学生根据猜测来定义坐标系的横、纵坐标，然后判断描绘出来的图像是否为一条直线。

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注意引导学生阅读本节教材后面的“科学漫步”，让学生列举各种计时器，然后在讨论中逐步认识到单摆的出现大大提升了计时的精度，从而体会物理知识在人类文明发展过程中的重要作用。

3．“练习与应用”参考答案与提示

本节共 4 道习题，第 1 题和第 2 题巩固和强化学生对单摆周期公式的运用和理解。第 3 题和第 4 题考查和培养学生把公式和图像相相互转换的能力。

 

1．\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)T

 

2．摆长约为 1 m，50 次全振动约 250 s。

 

3．（1）1∶4；（2）甲处于平衡状态，此时正向左方移动。

 

4．（1）1 m；（2）2.3°