第二章 4 单摆

问题？

生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内往复运动。将一小球用细绳悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。小球的摆动是否为简谐运动呢？

如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆（simple pendulum）。单摆是实际摆的理想化模型。显然，单摆摆动时摆球在做振动，下面我们来研究单摆的运动情况。

研究单摆时还有一个条件：与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。

为了更好地满足这个条件，实验时我们总要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。

思考与讨论

用什么方法探究单摆的振动是否为简谐运动？

可以用两种不同方法来研究上述问题：一种方法是分析单摆的回复力，看其与位移是否成正比并且方向相反；另一种方法是分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系。

下面我们采用第一种方法来分析。

单摆的回复力

如图 2.4-1，单摆摆长为 l、摆球质量为 m。将摆球拉离平衡位置 O 后释放，摆球沿圆弧做往复运动。当摆球沿圆弧运动到某一位置 P 时，摆线与竖直方向的夹角为 θ。此时摆球受到重力 G 和摆线拉力 F_T 的作用。重力 G 沿圆弧切线方向的分力 F ＝ mgsin θ，正是这个力充当回复力，迫使摆球回到平衡位置 O。

回复力 F 与小球从 O 点到 P 点的位移 x 并不成正比也不反向。但是，当摆角 θ 很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线，可认为 F 指向平衡位置 O，与位移 x 反向。圆弧\(\stackrel{{\mbox{$\Large{\frown}$}}}{OP}\)的长度可认为与摆球的位移 x 大小相等，即

\[\sin \theta \approx \theta = \frac{{\stackrel{{\mbox{$\Large{\frown}$}}}{OP}}}{l} \approx \frac{l}{x}\]

如果角 θ 很小，用弧度表示的 θ 与它的正弦 sin θ 近似相等。

因此，单摆振动的回复力 F 可表示为

\[F = - \frac{{mg}}{l}x\]

式中负号表示回复力与位移的方向相反。对一个确定的单摆来说，摆球质量m和摆长l是一定的，\(\frac{{mg}}{l}\)可以用一个常量k表示，于是上式可以写成

\[F = - kx\]

可见，单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。

做一做

如图 2.4-2，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样。

单摆的周期

一条短绳系一个小球，它的振动周期较短。悬绳较长的秋千（图2.4-3），周期较长。单摆的周期与哪些因素有关？

下面我们通过实验来研究这个问题。

实验

探究单摆周期与摆长之间的关系

如图 2.4-4，在铁架台的横梁上固定两个单摆，按照以下几种情况，把它们拉起一定角度后同时释放，观察两摆的振动周期。

1．两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同（都在小偏角下）。

2．两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同。

3．两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同。

比较三种情况下两摆的周期，可以得出什么结论？

实验表明：单摆做简谐运动的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大；单摆的周期与摆球质量和振幅无关。

单摆周期与摆长之间有什么定量的关系呢？

做一做

改变摆长l，测出对应的单摆周期T（在小偏角下）。根据你的实验数据，尝试在坐标纸上画出T-l图像或T-l² 图像。它们分别是什么曲线？你能根据图像判断单摆周期与摆长的关系吗？

为了找出单摆周期与摆长之间定量的关系，荷兰物理学家惠更斯进行了详尽的研究，发现单摆做简谐运动的周期 T 与摆长 l 的二次方根成正比，与重力加速度 g 的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。惠更斯确定了计算单摆周期的公式

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \]

单摆周期公式的发现，为人类利用简谐运动定量计时提供了可能，并以此为基础发明了真正可持续运转的时钟。

科学漫步

从日晷到原子钟

在人类文明进步和科学技术发展的历史长河中，人类活动与时间测量的精度是密不可分的。很久很久以前，我们的祖先记录时间是利用天体的周期性运动。例如利用太阳和月亮相对自己的位置等来模糊地定义时间。

后来，人们从观察自然现象到逐渐发明了日晷、水钟、沙漏等人造计时装置，这标志着人造时钟开始出现（图 2.4-5）。

当钟摆等可长时间周期性运动的振荡器出现后，人们把能产生确定的振荡频率的装置，作为时间频率标准，并以此为基础发明了真正可持续运转的时钟。

从 20 世纪 30 年代开始，随着晶体振荡器的发明，小型化、低能耗的石英晶体钟表代替了机械钟，广泛应用在电子计时器和其他各种计时领域。

20 世纪 40 年代开始，科学家们利用原子超精细结构跃迁能级具有非常稳定的跃迁频率这一特点，发展出比晶体钟更高精度的原子钟。

随着激光冷却原子技术的发展，利用激光冷却的原子制造的冷原子钟（图 2.4-6）使时间测量的精度进一步提高。到目前为止，地面上精度最高的冷原子喷泉钟已经达到每 3 亿年只有 1 s 的误差，更高精度的冷原子光钟也在快速发展中。

近年来，科学家们将激光冷却原子技术与空间微重力环境相结合，有望在空间轨道上获得比地面上的线宽要窄一个数量级的原子钟谱线，从而进一步提高原子钟的精度，这将是原子钟发展史上又一个重大突破。

练习与应用

本节共 4 道习题，第 1 题和第 2 题巩固和强化学生对单摆周期公式的运用和理解。第 3 题和第 4 题考查和培养学生把公式和图像相相互转换的能力。

1．一个理想单摆，已知其周期为 T。如果由于某种原因（如转移到其他星球）自由落体加速度变为原来的 \(\frac{1}{2}\)，振幅变为原来的 \(\frac{1}{3}\)，摆长变为原来的 \(\frac{1}{4}\)，摆球的质量变为原来的 \(\frac{1}{5}\)，它的周期变为多少？

参考解答：\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)T

2．周期是 2 s 的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，已知月球上的自由落体加速度为 1.6 m/s² ，它在月球上做 50 次全振动要用多少时间？

参考解答：摆长约为 1 m，50 次全振动约 250 s。

3．图 2.4-7 是两个单摆的振动图像。

（1）甲、乙两个摆的摆长之比是多少？

（2）以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从 t ＝ 0 起，乙第一次到达右方最大位移时，甲摆动到了什么位置？向什么方向运动？

参考解答：（1）1∶4；（2）甲处于平衡状态，此时正向左方移动。

4．一条细线下面挂着一个小球，让它自由摆动，画出它的振动图像如图 2.4-8 所示。

（1）请根据图中的数据计算出它的摆长。

（2）请根据图中的数据估算出它摆动的最大偏角。

参考解答：（1）1 m；（2）2.3°

发布时间：2020/8/23 下午7:59:17  阅读次数：4417