第 2 章 第 3 节 单摆

生活中，我们常看到一些小振幅的摆动现象，类似做简谐运动。例如，当摆钟（图 2-18）的摆做小振幅的摆动时，可近似视为做简谐运动。这种摆动为什么可视为简谐运动？本节我们将在建立单摆模型的基础上，学习单摆振动的规律。

1．单摆的振动

把一根不能伸长的细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可忽略不计，这种装置称为单摆（simple pendulum）。单摆是一种理想化模型。如图 2-19 所示，当摆球静止于点 O 时，球所受重力和线对球的拉力彼此平衡。把球拉离点 O 由静止释放，球沿着以位置 O 为中心的一段圆弧BC 做往复运动，点 O 是单摆振动的平衡位置。当球沿圆弧运动到某点 P 时，球所受拉力 T 与重力 G 在摆线方向上的分力 F'′ 的合力提供向心力，不影响球运动的速度大小；重力沿圆弧切线方向的分力 F 则会改变球沿圆弧运动的速度大小。当球处于平衡位置右侧时，F 指向左方；当球处于平衡位置左侧时，F 指向右方。可见，重力沿圆弧切向的分力 F 提供了使球沿圆弧振动的回复力。

在摆角很小的情况下（通常 θ < 5°），sin θ ≈ \(\frac{x}{l}\)，F 可表示为

F = − mgsin θ ≈ − \(\frac{{mg}}{l}\) mg

式中，l 为摆长，x 为摆球离开平衡位置的位移，负号表示 F 的方向与位移 x 的方向相反。

对一个确定的单摆来说，m、l、g 是一定的，\(\frac{{mg}}{l}\) 是一个常数。上式表明，在摆角很小的情况下，单摆所受回复力大小与摆球位移大小成正比，方向与摆球位移方向相反。由此可知，在摆角很小的情况下，单摆的振动可近似视为简谐运动。

物理聊吧

简谐运动可用振动图像描述。你能用简单可行的实验方法画出单摆做简谐运动的振动图像吗？请设计方案，先与同学讨论交流方案的可行性，再动手做一做。

2．单摆的周期

观察周围现象，你会发现生活中有些摆周期较小，有些摆周期较大。同学们还可自己做一个单摆，测出其周期，并与其他同学所做的单摆进行比较。你会发现，不同单摆的周期往往不同。单摆的周期由哪些因素决定呢？

我们可这样猜想：可能与单摆装置本身有关，如摆球质量、摆长；还可能与振幅有关……

下面我们采用控制变量法来进行相关探究。

实验与探究

探究影响单摆振动周期的因素

取两个摆长和摆球质量都相等的单摆（图 2-20），将两摆球拉离平衡位置，其中一个摆球拉到摆角约 4° 处，另一个摆球拉到摆角约 2° 处，皆由静止释放。比较两个单摆的周期，探究周期与振幅的关系。

取两个摆长相等、摆球质量不等的单摆，将两摆球拉至相同的摆角，由静止释放。比较两个单摆的周期，探究周期与摆球质量的关系。

取两个摆长不等、摆球质量相等的单摆，将两摆球拉至相同的摆角，由静止释放。比较两个单摆的周期，探究周期与摆长的关系。

请重复以上实验，自行设计表格，记录并分析数据，你可得出什么结论？

进一步研究表明，单摆做简谐运动的周期 T 与摆长 l 的算术平方根成正比，与重力加速度 g 的算术平方根成反比，关系式可表示为

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \]

上式称为单摆周期公式，是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。

在同一地点，重力加速度是一定的，摆长相等的单摆具有相同且恒定不变的振动周期，单摆周期与振幅及摆球质量皆无关。人们利用单摆的这一性质来计量时间，制成了摆钟。如果能测出单摆的摆长和周期，也可利用单摆的周期公式测量当地的重力加速度。

素养提升

能在熟悉的问题情境中运用简谐运动、弹簧振子和单摆等物理模型解决机械振动的问题；能分析与机械振动相关的问题，通过推理得到结论并能解释；能用与机械振动相关的证据解释生产生活中的机械振动现象；能从相互作用和能量等不同角度认识机械振动，能质疑他人的观点。

——科学思维

节练习

1．关于单摆做简谐运动，下列说法正确的是

A．经过平衡位置时所受的合力为 0               B．经过平衡位置时所受的回复力为 0

C．回复力是重力和摆线拉力的合力               D．回复力是重力沿圆弧切线方向的分力

参考解答：D

2．甲、乙两个单摆在同一地点做简谐运动，当甲摆振动 20 次时，乙摆振动了 40 次。求甲、乙两摆的振动周期之比和摆长之比。

参考解答：2∶1，4∶1

3．如图所示，光滑圆槽的半径 R 远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点 O 远些，丙球在槽的圆心处。请比较它们第一次到达点 O 的先后顺序，并说明理由。

参考解答：甲球和乙球先同时到达 O 点，丙球后到达 O 点。

两个小球同时又由图示位置由静止释放后，因光滑槽半径远大于小球运动的弧长，它们都做简谐运动，等效摆长都是槽的半径 R，则它们的周期相同，都为 T = 2π\(\sqrt {\frac{R}{g}} \)，到达槽底部的时间都是 t_甲 = t_乙 = \(\frac{T}{4}\) = \(\frac{\pi }{2}\)·\(\sqrt {\frac{R}{g}} \)。根据自由落体运动的位移时间公式 h = \(\frac{1}{2}\)gt² 可得丙球到达 O 点的时间 t_丙 = \(\sqrt 2 \)·\(\sqrt {\frac{R}{g}} \)，由此可得 t_甲 = t_乙 < t_丙，即甲球和乙球同时到达 O 点。丙球后到达 O 点。

4．已知在月球上重力加速度约为 1.6 m/s²。若做一单摆，使其在月球上的振动周期为 2.0 s，那么摆长应为多少？

参考解答：l = 0.16 m

5．某单摆及其振动图像如图所示。

（1）若取从 E 指向 G 为正方向，α 为最大摆角，则图像中点 O、A、B、C、D 分别对应单摆中的哪个位置？一个周期内回复力为正且减小、并与速度同方向的时间范围是多少？势能增加且速度为正的时间范围是多少？

（2）单摆摆球多次通过位置 E 时，哪些相关物理量发生了变化？

（3）单摆的摆长是多少？（取重力加速度 g = 10 m/s²，π² = 10）

参考解答：（1）E、G、E、F、E，1.5 ~ 2 s，0 ~ 0.5 s

（2）同一位置，位移肯定相同，摆线张力相同，回复力相同故加速度相同，速度大小相同，故动能相同，但速度方向不同。即速度发生了变化。

（3）l = 1 m

6．某同学用单摆测定一座山的海拔，在山顶上他测得摆长为 l 的单摆做简谐运动的周期为 T。已知引力常量为 G，地球质量为 M，地球半径为 R。求山顶的海拔。

参考解答：h = \(\frac{T}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{GM}}{l}} \) − R

发布时间：2022/5/8 上午10:03:23  阅读次数：3318