第二章 第一节 机械振动 简谐运动

 

 

在事物运动、变化发展的过程中，某些特征可能多次重复出现，自然界中以此为特点的周期性运动十分普遍。昼夜交替、潮起潮落、季节变换就是地球周期性运动的反映；岁月更迭，时间流逝，数千年来，人们发明了多种计时装置，它们都利用了事物的周期性规律。

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我们在必修课程中已经学习了直线运动、曲线运动，以及牛顿运动定律和机械能守恒定律。在本章中，将认识简谐运动的特征、探究单摆的运动规律，理解机械振动的规律，了解受迫振动的特点，了解共振的条件及应用。在学习中，运用力与运动的关系和能量的观念认识简谐运动的特征，进一步加深对质点运动的认识。在学生实验中，用传统方法和现代信息技术获取和处理实验数据，分析实验图像，得出实验结论，初步体验通过实验构建知识的乐趣，提升科学探究的能力。本章也是学习机械波的基础。

 

 

自然界中有各种各样的振动，我们生活在振动的世界中。汽车、火车、飞机在运行时都发生振动；蚊子翅膀每秒振动数百次，发出我们听得见的声音；各种乐器正是由于振动才能产生美妙的音乐；对于人体来说，心脏跳动、肺的呼吸、脑电波的涨落等也都是振动；地震则是一种强烈的、有很大破坏性的振动。你一定有过如图 2–1 所示荡秋千的体验，秋千的运动也是一种振动。振动是自然界中普遍存在的运动形式。

如图 2–2 所示，质量为 m 的小球套在水平光滑金属杆上，轻质螺旋弹簧一端固定，另一端与小球连接，这样就构成了一个最简单的振动系统——弹簧振子(spring oscillator)。构成弹簧振子的小球可视为质点。

小球在 O 点不受弹簧弹力的作用（弹簧既不伸长也不压缩），在运动方向上合力为零，在物理学中 O 点称为平衡位置。一旦小球受到扰动离开 O 点，它就会受到指向 O 点的弹力作用，最远只能到达 B、C 两点处。于是，小球在弹力的作用下将不断在 O 点两侧来来回回，做周期性的往复运动。弹簧振子的运动是一种典型的振动。

物体在某一位置附近的往复运动称为机械振动（mechanical vibration），简称振动。

小球在平衡位置两侧的运动具有重复性。如何比较直观地描述不同时刻小球的位置呢？

以平衡位置为坐标原点 O，沿小球的振动方向建立坐标轴（x 轴），小球在平衡位置右侧时，相对平衡位置的位移为正；在平衡位置左侧时，相对平衡位置的位移为负。在垂直于 x 轴的方向建立时间轴（t 轴）。图 2–3（a）描述了弹簧振子在 9 个连续的间隔相等的时刻偏离平衡位置 O 的位移。

将图 2–3（a）逆时针旋转 90°，用平滑的曲线把球心的位置连接起来，如图 2–3（b）所示，便得到振动过程中小球相对平衡位置的位移与时间的关系图像。进一步抽象后可得

 

图 2–3 振动位置与时间的关系

如图 2–3（c）所示的 x–t 图像，称为小球的振动图像。

如果没有能量损耗，小球将会在弹簧弹力的作用下持续往复运动，这样的运动称为自由振动。由于振动具有周期性，随着记录时间的增加，图 2–3（c）所示的图像会不断重复。因此，只需要研究图 2–3（c）所示这一段时间内的运动就可以推测后续任意时刻振动物体相对平衡位置的位移。振动的物体从某一位置出发到第一次回到该位置，并保持与出发时相同运动方向的过程称为一次全振动。图 2–3（c）所示就是一个全振动过程的 x–t 图像。通过研究一次全振动就能知道振动的全过程。

可以证明，弹簧振子的振动图像与正弦或余弦图像一致。弹簧振子的这种振动称为简谐运动（simple harmonic motion）。简谐运动是最简单、最基本的振动。一切复杂的振动都可以看作是由若干个不同的简谐运动合成的。

 

振动物体在平衡位置两侧往复运动。在图 2–3（a）中，OB = OC。OB、OC 的长度是振动物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅（amplitude），用符号 A 表示，单位是 m。

简谐运动是一种周期性运动。振动物体完成一次全振动所需的时间称为振动的周期（period），用符号 T 表示。振动的周期反映振动的快慢；周期越短，振动越快。完成全振动的次数与所用时间之比称为振动的频率（frequency），用符号 f 表示。频率也反映了振动的快慢；频率越高，振动越快。周期与频率的关系是

\[\color{#62547B}{f = \frac{1}{T}}\]

在国际单位制中，周期 T 的单位是 s；频率 f 的单位是赫兹，符号是 Hz，1 Hz = 1 s⁻¹。

简谐运动的位移与时间的关系式，可以用余弦（或正弦）函数表示为

\[\color{#62547B}{x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}t} \right)}\]

 

本节编写思路

本节通过分析生活实例和弹簧振子的运动，引出机械振动的概念。按照从特殊到一般、由形象到抽象的思路，着重讨论了简谐运动的运动学特征。

本节内容按以下思路展开：

1．通过抽象弹簧振子模型、观察振子的运动过程，用图像的方法研究振子的位置随时间的变化情况，得出弹簧振子的振动图像。

2．根据弹簧振子的振动图像，从运动学角度初步建立简谐运动的概念，认识简谐运动的周期性。

3．用振幅、周期和频率描述简谐运动的运动学特征，给出简谐运动的位移 – 时间关系式。

学习本节内容，将经历观察分析、描图拟合、归纳概括的过程，有助于学生提高模型建构、科学推理的能力，增强证据意识。本节内容是进一步学习简谐运动动力学特征的基础。

正文解读

通过联系生活实例和已有的振动发声知识，感受振动的普遍性。

 

用弹簧振子引入简谐运动的运动规律是因为该装置可以形象、直观地呈现出振动和简谐运动的动态过程和运动图像。

 

这里利用类似频闪照相的方式获得小球的位置和对应的时刻。根据获得的数据描绘位置随时间变化的图像，分析图像，归纳运动的特点和规律。也可以利用位移传感器直接得到类似的结果。

 

由振动图像可得振子在任意时刻的位置，可知振动的振幅、周期和频率，可确定振子的运动方向。需要注意的是，图像表示的是振子位置随时间变化的规律，不是振子运动的轨迹。

 

这里以弹簧振子为例，从振子位移随时间变化的规律，即振子的运动学特征出发，直接给出简谐运动的概念。实际上，在一般情况下，判断振子是否做简谐运动还需考虑其受力条件，相关讨论可见本书第 43 页资料链接。

 

此处“STSE”旨在通过联系乐音频谱的知识体会简谐运动是最简单、最基本的机械振动，感悟自然现象背后蕴含着简单的物理规律。

 

教材仅给出振子从正的最大位移开始计时的简谐运动表达式 x = Acos(\(\frac{{2\pi }}{T}\) t)，该表达式与教材图2 – 3（c）对应。

 

相位描述了振子的振动状态，关于相位的进一步理解可见本书第 44 页资料链接。

问题与思考解读

1．参考解答：拍摄皮球上下运动的视频，用视频分析软件获得皮球的位移 – 时间图像。不难发现，皮球的位移 – 时间图像不是正弦或余弦图像。因此，皮球的上下运动不是简谐运动

提示：此处不需要从动力学视角来分析简谐运动的条件。

命题意图：将真实的运动与简谐运动建立联系，了解简谐运动的特点。

主要素养与水平：运动与相互作用观念（Ⅰ）。

 

2．参考解答：（1）振幅为 20 cm，周期为 4 s。

（2）1.5 s 时刻质点的位置在 14.1 ~ 14.2 cm 之间，2.5 s 时刻质点的位置在 − 14.2 ~ − 14.1 cm 之间。

（3）在 1.5 s 时刻质点向 x 负方向运动，2.5 s 时刻质点也向 x 负方向运动。

提示：本题也可根据数学三角函数表达式进行推理。

命题意图：从 x – t 图像中提取简谐运动的各类信息。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；解释（Ⅱ）。

 

3．参考解答：若振子从 O 点开始向右运动，且 M 点在 O 右侧，则 \(\frac{1}{4}\) T = （6 + \(\frac{2}{2}\)）s = 7 s，T = 28 s。若振子从 O 点开始向右运动，且 M 点在 O 点左侧，则 \(\frac{3}{4}\)T = （6 + \(\frac{2}{2}\)）s = 7 s，T ≈ 9.33 s。

命题意图：能从不同的角度将文字描述转化为简谐运动的过程，知道简谐运动的对称性。

主要素养与水平：模型建构（Ⅲ）；质疑创新（Ⅱ）。

 

4．参考解答：如图 1 所示

命题意图：体会绘制简谐运动图像的过，通过比较评价所画图像的质量。

主要素养与水平：解释（Ⅱ）；科学本质（Ⅰ）。

 

5．参考解答：甲：x = 10sin \(\frac{\pi }{2}\) t cm，乙：x = 5sin（πt + π）cm

命题意图：从图像中获取简谐运动的特征信息，用关系式表示运动的过程，感悟形与数的结合，体会振动的周期性。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学本质（Ⅰ）。

 

6．参考解答：根据表中的数据和图线，可猜测振子质量 m 与振动周期 T 的二次方成正比。以 m 为纵坐标，T² 为横坐标，在 m – T² 图像中描出数据点，这些数据点大致分布在一条直线上，并把数据点拟合成一条几乎过原点的直线，可验证猜想。T 与 m 的关系为：T = k \(\sqrt m \)，k = 0.44 s/kg^1/2。

命题意图：能从已获得的实验数据表和图线中发现数据的特点，能处理数据，探寻规律，得到结论。

主要素养与水平：问题（Ⅰ）；解释（Ⅲ）。

资料链接

简谐运动的判据

以弹簧振子为例。符合胡克定律的某轻弹簧一端固定，一端与质量为 m、可以视为质点的物体相连，物体置于光滑水平面上，在水平方向物体除受弹簧的弹力外，不受其他外力的作用。以物体的平衡位置为坐标原点建立 O – x 坐标，当物体偏离平衡位置位于 x 处时，在水平方向物体仅受弹力 F 作用，设弹簧的劲度系数为 k，则

\[F =  - kx\tag{1}\label{1}\]

由牛顿定律并令 ω² = \(\frac{k}{m}\) 可得

\[\frac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{t^2}}} + {\omega ^2}x = 0\tag{2}\label{2}\]

通常称式（2）为弹簧振子运动所满足的动力学方程。式中 ω 即为简谐运动的圆频率，仅由振动系统自身的物理性质决定。

由（2）式可解得

\[x = A\cos (\omega t + \varphi )\tag{3}\label{3}\]

式中 A、φ 为积分常量，由初始条件决定。

上述式（1）、（2）、（3）均可作为物体做简谐运动的判断依据，但其意义与适用范围不同。

式（1）表示物体受到了一个线性回复力的作用，在机械运动范畴，如果物体受到这一形式的外力作用，则可以判定物体将做简谐运动。当然，式中的 k 不一定是弹簧的劲度系数，仅表示 F 与 – x 成正比，k 为比例常量，这类力称为“准弹性力”。

在力学中，用式（1）和（2）作为物体是否做简谐运动的判据是等价的，但式（2）在其他领域有更普遍的意义。实际上任一物理量只要满足式（2），该物埋量随时间的变化就满足简谐运动的规律。如 LC 电路中电容器上所带电荷量 Q 满足方程

\[\frac{{{{\rm{d}}^2}Q}}{{{\rm{d}}{t^2}}} + \frac{1}{{LC}}Q = 0\]

此方程的形式与式（2）一致，其解也是正弦或余弦函数，说明电量随时间也以简谐运动的规律变化，但这并不是机械运动，因此也就不存在如式（1）所表示的线性回复力。由此可见，用某一物理量所满足的形如式（2）的动力学方程作为是否做简谐运动的判据，可以适用于各类形式的运动。

式（3）为简谐运动的表达式。虽然由式（2）可以解得该表达式，但形如式（3）的表达式不一定就是式（2）的解。如物体受到一个周期性外力而做受迫振动时，虽然动力学方程已不是式（2）的形式，但物体做受迫振动的稳定解同样可以表示为

x = Acos（ωʹt + ϕ）

上式虽然与式（3）形式上一致，但式中的 ωʹ ≠ \(\sqrt {k/m} \)，A 和 ϕ 亦不由初始条件确定。因此，如果用式（3）作为简谐运动的判据，还必须对 ω 进行限定，即应由振动系统自身的性质决定。

根据上述讨论可知，用动力学方程作为简谐运动的判据，适用范围更广、更普遍。

相位

由简谐运动的特点可知，如果仅用位置 x 描述振子的运动状态是不够的，因为在某一个位置上，振子可能向 x 轴的正方向运动，也可能向 x 轴的负方向运动，因此除了位置，还需要同时知道振子在该位置处的速度才能确定某一时刻的运动状态。但无论是位置 x = Acos（ωt + φ），还是速度 v = \(\frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}}\) = − ωAsin（ωt + φ），其取值均由 Φ = ωt + φ 决定，因此可以用 Φ 来确定振动的状态，我们把 Φ 称为相位，单位为弧度（rad）。只要振子在某一时刻的相位确定，振子的位置、速度、加速度、能量乃至下一时刻的变化趋势就都能确定。

振动的一个基本特征是运动的周期性，一个周期内的运动规律清楚了，任一时刻运动也就确定了。

因此，当用相位 Φ 描述简谐运动时，Φ 的取值为 φ ~ 2π + φ。

由 Φ = ωt + φ 可知，圆频率表示了相位变化的快慢，而 φ 则反映了 t = 0 时刻的运动状态，我们把 φ 称为初相位，它取决于振子的初始运动状态 x₀ 和 v₀。

可以用图像形象地描述相位的概念，如图 2 所示，对于某一确定的简谐运动 x = Acos（ωt + φ），画坐标轴 x，在 x 轴上取一点 O 为原点，自 O 点出发作一矢量 A，其长度等于简谐运动的振幅 A，它与 x 轴正方向间的夹角为 φ。A 称为振幅矢量，它在 x 轴上的投影 x = Acosφ，即为初位移。

令 A 自 t = 0 开始，以数值等于圆频率 ω 的角速度沿逆时针方向匀速转动。在任一时刻 t，A 与 x 轴正方向间的夹角为 ωt + φ，此时它在 x 轴上的投影 x = Acos（ωt + φ）可以表示质点沿 x 轴做简谐运动。我们把这样的表示方法称为简谐运动的几何表示法，或称矢量表示法。

通常把 A 的端点 M 称为参考点，参考点的运动轨迹称为参考圆，O 为参考圆中心，如图 3 所示。参考点在 x 轴上的投影即为质点位置，而参考点以角速度 ω 运动时，它的投影点的运动就是简谐运动。在任一时刻，参考点 M 的速度、加速度大小分别为 ωA 和 ω²A，它们在 x 轴上的投影分别为 v = − ωAsin（ωt + φ）和 a = − ω²Acos（ωt + φ），这正是振子做简谐运动的速度和加速度。因此利用旋转矢量图可以形象地描述一个周期内简谐运动的运动规律。

振动的相位与物体的振动状态直接对应，因此可以用相位比较两个简谐运动状态的差异。设两个频率相同的简谐运动分别为

x₁ = A₁cos（ωt + φ₁）

x₂ = A₂cos（ωt + φ₂）

它们的相位差为

ΔΦ = Φ₂ – Φ₁ = （ωt + φ₂）−（ωt + φ₁）= φ₂ – φ₁

这两个简谐运动的运动规律并无原则区别，只是在“步调”上相差了一段时间 Δt = \(\frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1 }}}{\omega }\)。