第二章 1 简谐运动

人类生活在运动的世界里，机械运动是最常见的运动。在机械运动中，振动也很常见。琴弦的振动带给人们优美的音乐，地震则可能给人类带来巨大的灾难。本章我们将从最简单的振动开始，学习怎样描述振动，分析振动的特点。

科学是一种方法，它教导人们：一些事物是如何被了解的，不了解的还有些什么，对于了解的，现在了解到了什么程度……

——费恩曼[1]

第二章 1 简谐运动

问题？

钟摆来回摆动，水中浮标上下浮动，担物行走时扁担下物体的颤动，树梢在微风中的摇摆……在生活中我们会观察到很多类似这样的运动。这些运动的共同点是什么？

通过观察我们会发现，上述物体总是在某一位置附近做往复性的运动。

我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动（mechanical vibration），简称振动。

弹簧振子

如图 2.1-1，把一个有小孔的小球连接在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球套在光滑的杆上，能够自由滑动。弹簧的质量与小球相比可以忽略。小球运动时空气阻力很小，也可以忽略。弹簧未形变时，小球所受合力为 0，处于平衡位置（equilibrium position）。把小球拉向右方，然后放开，它就在平衡位置附近运动起来。

我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子（spring oscillator），有时也简称为振子。

弹簧振子是一个理想化模型，它是研究一般性振动的基础。

弹簧振子的位移—时间图像

要想了解弹簧振子运动的特点，就要知道它的位置随时间变化的关系。我们以小球的平衡位置为坐标原点 O，沿着它的振动方向建立坐标轴，规定水平向右为正方向。小球在平衡位置的右边时它的位置坐标 x 为正，在左边时位置坐标 x 为负，这样描述小球的位置既方便，又突出了小球位置变化的特点。小球的位置坐标反映了小球相对于平衡位置的位移，小球的位置—时间图像就是小球的位移—时间图像。

思考与讨论

怎样才能得到小球位移与时间的关系？

要想得到位移与时间的关系，关键在于记录不同时刻小球的位置，为了便于分析，最好是相等时间间隔的位置。利用频闪照相、照相机连拍，或用摄像机摄像后逐帧观察的方式，都可以得到相等时间间隔的不同时刻小球的位置。

图 2.1-2 是图 2.1-1 所示的弹簧振子的频闪照片。频闪仪每隔 0.05 s 闪光一次，闪光的瞬间振子被照亮，从而得到闪光时小球的位置，相邻两个位置之间的时间相隔为 0.05 s。拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像。

选取小球平衡位置为坐标原点，建立如图 2.1-3 所示的坐标系，横轴和纵轴分别表示时间 t 和小球的位移 x。在坐标系中标出各时刻小球球心的位置，用曲线把各点连接起来，就是小球在平衡位置附近往复运动时的位移—时间图像，即 x-t 图像。x-t 图像即振动图像。

做一做

用数码相机和计算机绘制弹簧振子的x-t图像

图 2.1-2 的照片是通过频闪照相得到的。使用数码相机或手机的连拍功能也能得到类似的图片。

轻质弹簧的下端悬挂一个钢球，上端固定，它们组成了一个振动系统，称为竖直弹簧振子。用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动。钢球原来静止时的位置就是振子的平衡位置（图 2.1-4）。

用数码相机拍摄钢球的运动。通常每隔 0.04 s（这个时间间隔通常可以设定）数码相机就会拍摄一帧照片。

拍摄时最好把钢球的位置放在取景框的最左侧。在计算机中建立一个幻灯片的演示文稿，把这些照片插入文稿中的同一张空白幻灯片中，照片会按拍摄时间的先后一帧一帧自动向右平铺开来。把这些照片的上端对齐，便能得到与图 2.1-2 相似的画面。这样就可以在同一个画面上看到钢球在各个不同时刻的位置。

简谐运动

从获得的弹簧振子的 x-t 图像（图 2.1-3）可以看出，小球位移与时间的关系似乎可以用正弦函数来表示。是不是这样呢？还需要进行深入的研究。

思考与讨论

如何确定弹簧振子中小球的位移与时间的关系是否遵从正弦函数的规律？

数学课中我们已经学过正弦函数的有关知识。要想确定弹簧振子中小球的位移与时间的关系是否遵从正弦函数的规律，可采用下面的方法。

方法一：假定图 2.1-3 中的曲线是正弦曲线，测量它的振幅和周期，写出对应的正弦函数的表达式。需要注意的是，这个表达式中计时开始时位移应该是 0，随后位移开始增加并为正值。

然后，在图 2.1-3 的曲线中选小球的若干个位置，用刻度尺在图中测量它们的纵坐标（位移），将每一个位移对应的振动时间代入表达式求出函数值，比较这一函数值与测量值，看一看二者是否相等。若可视为相等，则这条曲线就是一条正弦曲线。

方法二：在图 2.1-3 中，测量小球在各个位置的横坐标和纵坐标。把测量值输入计算机中，作出这条曲线，看一看小球的位移—时间关系是否可以用正弦函数表示。

通过仔细分析会发现，图 2.1-3 所示小球位移与时间的关系是正弦函数关系。

如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t 图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动（simple harmonic motion）。简谐运动是最基本的振动。图 2.1-1 中小球的运动就是简谐运动。

练习与应用

本节共 2 道习题，第 1 题让学生模拟振动曲线的记录装置，体会描述笔尖振动的位移-时间图像的生成过程，让学生更好的理解简谐运动的 x-t 图像。第 2 题考查学生理解简谐运动 x-t 图像的能力，引导学生发现简谐运动中的对称性。

1．如图 2.1-5，两人合作，模拟振动曲线的记录装置。先在白纸中央画一条直线 OO′，使它平行于纸的长边，作为图像的横坐标轴。一个人用手使铅笔尖在白纸上沿垂直于 OO′的方向水平振动，另一个人沿 OO′的方向匀速拖动白纸，纸上就画出了一条描述笔尖振动情况的 x-t 图像。

请完成这个实验，并解释：横坐标代表什么物理量？纵坐标代表什么量？为什么必须匀速拖动白纸？如果拖动白纸的速度是 5×10^-2 m/s，在横坐标轴上应该怎样标出坐标的刻度？

参考解答：横坐标代表时间，纵坐标代表铅笔尖相对于平衡位置的位移，因为在白纸上，要用相等的距离表示相等的时间间隔，所以只有匀速拖动白纸才能保证获得相等的时间间隔。如果拖动白纸的速度是 5×10⁻² m/s，在横坐标上可以以每 5 cm 为 1 格，每格表示 1 s。

2．图 2.1-6 是某质点做简谐运动的振动图像。根据图像中的信息，回答下列问题。

（1）质点离开平衡位置的最大距离有多大？

（2）在 1.5 s 和 2.5 s 这两个时刻，质点的位置在哪里？质点向哪个方向运动？

（3）质点相对于平衡位置的位移方向在哪些时间内跟它的瞬时速度的方向相同？在哪些时间内跟瞬时速度的方向相反？

（4）质点在第 2 s 末的位移是多少？

（5）质点在前 2 s 内运动的路程是多少？

参考解答：（1）0 cm

（2）在 1.5 s，质点的位置坐标 x = 7 cm，在 2.5 s 时，质点的位置坐标 x = − 7 cm；在这两个时刻，质点都向 x 轴的负方向运动。

（3）质点在 0 ~ 1 s 和 2 ~ 3 s相对于平衡位置的位移方向跟它的瞬时速度方向相同，质点在 1 ~ 2 s 和 3 ~ 4 s 相对于平衡位置的位移方向跟它的瞬时速度方向相反。

（4）0

（5）20 cm

发布时间：2020/8/17 下午8:32:20  阅读次数：3579