第二章 第三节 匀变速直线运动的规律

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图 2–15   列车过站不停

 

自由落体运动是一种匀加速直线运动。在日常生活中，我们还会遇到各种加速度不同的直线运动，譬如，飞机、汽车和高层建筑观光电梯由静止启动后的加速度就各不相同。即便是同一辆汽车，在不同状态下的加速度也可能不同。除了匀加速直线运动，还有速度随时间均匀减小的匀减速直线运动。图 2–15 所示的列车驶过无需停靠的车站时会先做一段匀减速直线运动以降低车速；过站以后，再做一段匀加速直线运动以恢复原先的正常车速。匀加速直线运动和匀减速直线运动统称为匀变速直线运动。为了研究匀变速直线运动的规律，可以从初速度为零的匀加速直线运动开始。

小车由静止起从斜面上向下运动（图 2–16 ）。小车运动的 v–t 图像如图 2–17 所示，也是一条过原点的直线。该直线表示小车在做初速度为零的匀加速直线运动；直线

 

的斜率表示速度随时间增加的快慢程度，即加速度的大小。因此，初速度为零的匀加速直线运动与自由落体运动类似，只要把自由落体运动公式中的重力加速度 g 换成物体的加速度 a，把竖直方向的位移 h 换成物体沿直线运动的位移 x，即可由描述自由落体运动规律的关系式得到初速度为零的匀加速直线运动的规律，即

\[ \color{#035C87}{v = at}\]

\[\color{#035C87}{x = \frac{1}{2}a{t^2}}\]

由上述两式可得到初速度为零的匀加速直线运动的速度与位移的关系

\[\color{#035C87}{{ v^2} = 2ax}\]

 

示例   某机场起飞跑道长度为 l，我国自行研制的大型客机 C919 将在该跑道起飞，飞机起飞速度为 v。假设飞机从静止开始加速到起飞速度 v 的过程为匀加速直线运动，飞机正常起飞所需的加速度 a 至少应多大？

分析：在飞机起飞速度确定的条件下，飞机起飞的加速度受到跑道长度的限制。由初速度、末速度和最大位移，根据匀变速直线运动的规律可分析飞机起飞的最小加速度大小 a。

解：已知飞机的初速度大小 v₀ = 0，末速度大小为 v，设起飞阶段飞机的位移为 x，由 v² = 2ax 可得飞机的加速度大小为

\[a = \frac{{{v^2} }}{{2x}}\]

可见，飞机起飞阶段位移 x 越大，正常起飞所需的加速度 a 越小。x 最大也只能为机场跑道的全长，即 x = l 时，飞机所需的加速度最小，为 \(\frac{{{v^2}}}{{2l}}\)。

即飞机正常起飞所需的加速度大小至少为 \(\frac{{{v^2}}}{{2l}}\)。

 

初速度为零的匀加速直线运动的 v–t 图像是一条过原点的斜直线，这个结果是把物体开始运动的瞬间作为计时起点得到的。如果把计时起点取在物体运动一段时间之后， v–t 图像如图 2–18 所示，此图反映了物体做初速度为 v₀ 的匀加速直线运动的规律。物体在初始时刻的速度为 v₀， t₁ 时刻的速度为 v₁，图像的斜率为物体的加速度大小 a，图像中直线与时间轴所围“面积”就是物体在 0 ~ t₁ 时间内位移 x 的大小。

由初速度不为零的匀加速直线运动的 v–t 图像可推得：

物体速度 v 与时间 t 的关系为

\[\color{#035C87}{v = {v_0} + at}\]

位移 x 与时间 t 的关系为

\[\color{#035C87}{x = {v_0}t + \frac{1}{2}a{t^2}}\]

在上述两式中消去时间 t ，即可得到速度 v 与位移 x 的关系为

\[\color{#035C87}{{ v^2} = v_0^2 + 2ax}\]

做匀加速直线运动的物体，加速度保持不变。但是，我们不能简单地认为，物体具有恒定加速度时其速度一定增加。加速度是矢量，如果加速度的方向与初速度的方向相同，物体的速度大小随时间均匀增加，做匀加速直线运动；反之，如果加速度的方向与初速度的方向相反，则物体的速度大小将随时间均匀减小，做匀减速直线运动。

由于匀加速直线运动和匀减速直线运动的加速度都保持不变，所以又被统称为匀变速直线运动。

在确定正方向后，我们便可用“正”“负”号表示位移、速度、加速度的方向。这样，匀减速直线运动就与匀加速直线运动的规律相同了，它们统称为匀变速直线运动的规律。

 

示例  汽车以 100 km/h 的速度行驶于高速公路上的平直车道内。驾驶员突然发现前方 100 m 处发生了交通事故，在不宜变换车道的情况下随即紧急制动。若汽车刹车性能良好，可在 5 s 内刹停。试分析该汽车是否会发生交通事故。

分析：可将驾驶员紧急制动后汽车的运动视为匀减速直线运动。先根据速度随时间变化的规律求得汽车制动的加速度 a，再根据位移随时间变化的规律求出制动距离。通过比较制动距离与紧急制动时汽车到事故地点的距离即可判断该车是否会发生交通事故。

解：将驾驶员紧急制动后汽车的运动视为匀减速直线运动。以车前进的方向为正方向，已知汽车的初速度 v₀ = 100 km/h ≈ 27.8 m/s，刹停时汽车的末速度 v = 0 m/s，运动时间 t = 5 s，由 v = v₀＋at 可得汽车制动的加速度

\[a = \frac{{v - {v_0} }}{t} = \frac{{0\;{\rm{m/s}} - 27.8\;{\rm{m/s}}}}{{5\;{\rm{s}}}} \approx - 5.6\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]

加速度 a < 0 是因为其方向与车前进的方向相反。

由位移与时间的关系可得汽车的刹车距离

\[x = {v_0}t + \frac{1}{2}a{t^2} = 27.8\;{\rm{m/s}} \times 5\;{\rm{s}} + \frac{1}{2} \times ( - 5.6\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}) \times {(5\;{\rm{s}})^2} = 69\;{\rm{m}}\]

因为 x = 69 m < 100 m，所以该汽车不会发生交通事故。

 

利用汽车从开始刹车到静止过程的 v–t 图像也可求出汽车的制动距离，从而判断汽车是否会发生交通事故。你可以试一试。

示例中求得的制动距离与交通法规中要求的车距相差比较大，其原因是没有考虑驾驶员的反应时间。反应时间是指从驾驶员发现突发情况到采取措施间的短暂间隙时间，在这段时间内车辆依旧以原车速行驶。驾驶员的反应时间往往因人而异，顶级赛车运动员的最短反应时间可达 0.104 s，一般人的反应时间在 0.7 s 左右，且反应时间与驾驶员的年龄、

 

注意力集中程度、驾驶经验和体力状态等因素均有关。人在饮酒后的反应时间会成倍增加，所以规定严禁酒驾，违者将承担相应的法律责任！

如果考虑到驾驶员的反应时间，示例中汽车的制动距离还会增加。因此，在高速公路上车速超过 100 km/h 的汽车应当与同车道前车保持 100 m 以上的距离是具有科学依据的。

 

问题与思考解读

1．参考解答：（1）6 m/s²。提示：第 3 s 的位移为 3 s 末的位移减去 2 s 末的位移。（2）108 m。（3）33 m。提示：第 6 s 的位移为 6 s 末的位移减去 5 s 末的位移。（4）24 m/s。提示：以第 3 s 末的速度为这 21 m 运动的初速度。

命题意图：相关运动规律的应用需要关注符号与运动过程及运动状态的对应关系。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

2．参考解答：60 m/s，90 m。提示：在实际情况中，火箭上升的过程为变加速运动。此题仅研究最初 5 s 火箭的运动，将这段运动视为匀变速直线运动。应用相应的关系式即可获得结果。

命题意图：从文字表述中提取有用的信息，转化为物理问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

3．参考解答：以舰载机为对象，将其视为质点。设空气静止（无风）。若航母静止，舰载机在航母上由静止开始加速起飞，以最大加速度通过 x = 200 m 距离的末速度增大为 vʹ = \(\sqrt {2ax} \) ≈ 49 m/s，该速度小于起飞的最小速度 50 m/s。因此舰载机必须借助航母获得一定的初速度。航母匀速行驶，舰载机相对航母静止起飞，其借助航母获得 1 m/s 的速度，即可获得相对空气 50 m/s 的起飞速度。

命题意图：从文字表述中提取有用的信息，把文字转化为物理条件，再将物理条件转化为数学公式。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

4．参考解答：将卡车的制动过程视为末速度为零的匀减速直线运动，经计算得卡车制动前车速为 8 m/s。

命题意图：用匀变速直线运动的规律解决刹车制动的真实问题。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；社会责任（Ⅰ）。

 

5．参考解答：v–t 图像如图所示。根据 v–t 图像近似为一条直线可知，小车的运动可视为匀加速直线运动，由图像可知小车的初速度为 1 m/s，加速度约为 6.25 m/s²。

命题意图：通过建立数据表格、运动图像与真实运动之间的联系，判断物体的运动性质及运动状态。

主要素养与水平：解释（Ⅲ）；科学态度（Ⅰ）。

 

6．参考解答：设两段时间长度均为 T，第一段时间的初速度为 v₁，末速度为 v₂，第二段时间的末速度为 v₃。第一段时间内的位移 x₁ = \(\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2}\)T，第二段时间内的位移 x₂ = \(\frac{{{v_2} + {v_3}}}{2}\)T，两段位移之差 Δx = x₂ – x₁ = \(\frac{1}{2}\)（v₃ – v₁）T，将 v₃ = v₁ + 2aT 代入得 Δx = aT²，即在相继两个相同时间段内的位移之差仅与加速度及时间间隔长短有关。

命题意图：通过计算认识匀变速运动相邻相等时间位移差相等的普遍规律。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

7．参考解答：题中变色龙的舌头每秒移动 6 m 可理解为最大速度，即 v_max = 6 m/s，捕食时舌头 0.1 s 伸出 30 cm，可以将变色龙舌头的运动简化为初速度为零的匀加速直线运动。由 x =\(\frac{1}{2}\)at² 得 a = \(\frac{{2x}}{{{t^2}}}\) = \(\frac{{2 \times 0.3{\rm{m}}}}{{{{0.1}^2}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) = 60 m/s²。或由 v_max = at 得 a = \(\frac{{{v_{\max }}}}{t}\) = \(\frac{{6{\rm{m/s}}}}{{0.1{\rm{s}}}}\) = 60 m/s²。与实际情况的差异是变色龙的舌头在伸出去的过程中可能是先加速后匀速的，因此加速度的估算值小于实际值。

命题意图：将一个比较复杂的运动抽象为匀变速直线运动，体会模型建构的思想。在此基础上，对科学推理的过程进行反思和评价，从不同的角度思考问题，培养科学的态度。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；质疑创新（Ⅰ）。

资料链接

相对运动

为了比较形象地理解初速度不为零的匀加速直线运动规律，我们可以考虑如下场景。

输送带保持恒定的速度 v₀ 运行。如图 4 所示，两位旅客 A、B 并排站在输送带上随带一起匀速运动，另一旅客 C 静止站在输送带外。从 A、B 二人同时随输送带到达 C 所在位置 Ⅰ 开始计时，此后 B 在输送带上做加速度为 a 的匀加速运动，A 依旧随输送带一起运动。

经过一段时间 t 后，A 到达位置 Ⅱ，B 到达位置 Ⅲ，C 依旧在位置 Ⅰ 。对于随输送带匀速运动的 A 而言，当 B 到达位置 Ⅲ 时，自己已经到达位置 Ⅱ，因此 A 看到 B 相对自己做初速度为零的匀加速直线运动，位移为 x₂ = \(\frac{1}{2}\)at²。对于地面上的 C 而言，A 相对 C 做匀速直线运动，位移为 x₁ = v₀t；B 相对 C 做初速度不为零的匀加速直线运动，位移为 x。由图可知，x、x₁、x₂ 之间满足 x = x₁ + x₂，因此，B 相对于地面的位移的表达式为 x = v₀t + \(\frac{1}{2}\)at²，即为初速度不为零的匀加速直线运动位移与时间的关系。

在旅客 C 看来，旅客 B 在 0 ~ t 这段时间做初速度为 v₀，末速度为 v_t 的匀加速直线运动，根据加速度的定义可得 a = \(\frac{{{v_t} - {v_0}}}{{t - 0}}\)，经过简单的运算即可得到物体初速度不为零的匀加速直线运动速度与时间的关系式：v_t = v₀ + at，在上述二式中消去时间 t，即可得到速度 v 与位移 x 的关系式：v_t² = v₀² + 2ax。