第二章 3 匀变速直线运动的位移与时间的关系

匀变速直线运动的位移与时间的关系

由做匀速直线运动物体的 v–t 图像可以看出，在时间 t 内的位移 x 对应图中着色部分的矩形面积。

那么，做匀变速直线运动的物体，在时间 t 内的位移与时间会有怎样的关系？

匀变速直线运动的位移

做匀速直线运动物体的位移可以通过它的 v–t 图像求解。这个方法，对分析匀变速直线运动的位移问题有很好的启示。

图 2.3–1 是某物体做匀变速直线运动的 v–t 图像，初速度为 v₀ ，加速度为 a。做匀变速直线运动的物体，其位移大小可以用 v–t 图像中着色部分的梯形面积来表示（证明见本节“拓展学习”栏目）。

根据图中着色梯形各线段所代表的物理含义以及梯形的面积公式，可以求得位移

$x = \frac{1}{2} (v_{0} + v) t$

将 v ＝ v₀ ＋ at 代入上式，有

$x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

这就是匀变速直线运动位移与时间的关系式^①。如果初速度为 0，这个公式可以简化为 x ＝ $\frac{1}{2}$ at²。

①开始时（0 时刻）物体位于坐标原点，所以在 t 时刻位移的大小等于该时刻物体的位置坐标 x。如果计时开始时物体位于坐标为 x₀ 的位置，那么在 t 时刻位移的大小就是 x − x₀ ，上面的公式就应该写为 x − x₀ ＝ v₀t ＋ $\frac{1}{2}$ at²。

【例题 1】

航空母舰的舰载机既要在航母上起飞，也要在航母上降落。

（1）某舰载机起飞时，采用弹射装置使飞机获得 10 m/s的速度后，由机上发动机使飞机获得 25 m/s² 的加速度在航母跑道上匀加速前进，2.4 s 后离舰升空。飞机匀加速滑行的距离是多少？

（2）飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为 80 m/s，飞机钩住阻拦索后经过 2.5 s 停下来。将这段运动视为匀减速直线运动，此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各是多少？

分析两个问题都是已知匀变速直线运动的时间来计算位移。第（1）问需要用匀变速直线运动的位移与时间的关系式计算。第（2）问中，飞机着舰做匀减速直线运动的加速度需要根据速度与时间的关系式计算。匀减速运动各矢量的方向较为复杂，因此需要建立一维坐标系来确定它们的正负。

解（1）根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式，有

$x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} = 10 m / s \times 2.4 s + \frac{1}{2} \times 25 m / s^{2} \times (2.4 s)^{2} = 96 m$

（2）沿飞机滑行方向建立一维坐标系（图 2.3–2），飞机初速度 v₀ ＝80 m/s，末速度 v＝0，根据匀变速直线运动的速度与时间的关系式，有

$a = \frac{v - v_{0}}{t} = - \frac{v_{0}}{t} = - \frac{80 m / s}{2.5 s} = - 32 m / s^{2}$

加速度为负值表示方向与 x 轴正方向相反。

再根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式，有

$x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} = v_{0} t + \frac{1}{2} \times (- \frac{v_{0}}{t}) \times t^{2} = \frac{1}{2} v_{0} t = \frac{1}{2} \times 80 m / s \times 2.5 s = 100 m$

飞机起飞时滑行距离为 96 m。着舰过程中加速度的大小为 32 m/s² ，滑行距离为 100 m。

速度与位移的关系

这节我们学习了匀变速直线运动的位移与时间的关系式 x ＝ v₀t ＋ $\frac{1}{2}$ at²，上一节我们还学习了匀变速直线运动的速度与时间的关系式 v ＝ v₀ ＋ at。

将上述两个公式联立求解，消去时间 t 可得到

$v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$

这就是匀变速直线运动的速度与位移的关系式。如果在所研究的问题中，已知量和未知量都不涉及时间，利用这个公式求解，往往会更简便。

【例题 2】

动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离是 1 km。某同学乘坐动车时，通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时，屏幕显示的动车速度是 126 km/h（图 2.3–3）。动车又前进了 3 个里程碑时，速度变为 54 km/h。把动车进站过程视为匀减速直线运动，那么动车进站的加速度是多少？它还要行驶多远才能停下来？

分析由于把动车进站过程视为匀减速直线运动，因此可以应用匀变速直线运动的速度与位移关系式计算动车的加速度。本题加速度方向跟速度方向相反，因此需要建立一维坐标系来处理相关物理量的正负号。

解沿动车运动方向为正方向建立一维坐标系。把动车通过 3 000 m 的运动称为前一过程，之后到停下来称为后一过程。

设在前一过程中的末位置为 M 点。初速度 v₀ ＝ 126 km/h ＝ 35 m/s，末速度 v_M ＝ 54 km/h ＝ 15 m/s，位移 x₁ ＝ 3 000 m。

对前一过程，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式，有

$a = \frac{v_{M}^{2} - v_{0}^{2}}{2 x_{1}} = \frac{{(15 m / s)}^{2} - {(35 m / s)}^{2}}{2 \times 3 000 m} = - 0.167 m / s^{2}$

对后一过程，末速度 v ＝ 0，初速度 v_M ＝ 15 m/s。

由 v² ＝ v_M² ＋ 2ax₂，有

$x_{2} = \frac{v^{2} - v_{M}^{2}}{2 a} = \frac{0 - {(15 m / s)}^{2}}{2 \times (- 0.167) m / s^{2}} = 674 m$

动车进站的加速度大小为 0.167 m/s² ，方向与动车运动方向相反；还要行驶 674 m 才能停下来。

从第 2 节和第 3 节的例题可以看到，只有建立了坐标系，速度、加速度等物理量的正负号才能确定。

匀变速直线运动位移公式的推导

图 2.3–4 甲是某物体以初速度 v₀ 做匀变速直线运动的 v–t 图像。如果我们像图 2.3–4 乙那样，把物体的运动分成几个小段，例如 $\frac{t}{5}$ 算一个小段，每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示。在每一小段内，可粗略认为物体以这个速度做匀速直线运动。因此，我们以每小段起始时刻的速度乘时间 $\frac{t}{5}$ ，近似地当作各小段中物体的位移。在 v–t 图像中，各段位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表。5 个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个运动过程中的位移。

如果以这 5 个小矩形的面积之和算出的位移代表物体在整个过程中的位移，显然位移就少算了。为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如图 2.3–4 丙所示，用所有这些小段的位移之和，近似代表物体在整个过程中的位移。小矩形越窄，多个小矩形的面积之和越接近物体的位移。

可以想象，如果把整个运动过程分割得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能非常精确地代表物体的位移了。这时，很多很多小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起成了一个梯形 OABC（图 2.3–4 丁）。这个梯形的面积就代表做匀变速直线运动的物

体从开始（此时速度是 v₀ ）到 t 时刻（此时速度是 v ）这段时间间隔的位移。

上面这种分析问题的方法具有一般意义，原则上对于处理任意形状的 v–t 图像都适用。对于图 2.3–5 所示的运动物体的位移，可用其 v–t 图像着色部分图形的面积来表示。

在处理较复杂的变化量问题时，常常先把整个区间化为若干个小区间，认为每一小区间内研究的量不变，再求和。这是物理学中常用的一种方法。

1．以 36 km/h 的速度行驶的列车开始下坡，在坡路上的加速度等于 0.2 m/s² ，经过 30 s 到达坡底。求坡路的长度和列车到达坡底时的速度。

2．以 18 m/s 的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在 3 s 内前进 36 m。求汽车的加速度及制动后 5 s 内发生的位移。

3．速度、加速度的测量通常比位移的测量要复杂些，而有的时候我们只需比较两个物体运动的加速度大小，并不需要知道加速度的具体数值。例如，比较两辆汽车的加速性能就是这样。如果已知两个物体在相同时间内从静止开始匀加速直线运动的位移之比，怎样根据运动学的规律求出它们的加速度之比？

4．滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式。飞机跑道的前一部分是水平的，跑道尾段略微向上翘起（图 2.3–6）。飞机在尾段翘起跑道上的运动虽然会使加速度略有减小，但能使飞机具有斜向上的速度，有利于飞机的起飞。假设某飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加

速直线运动，前一段的加速度为 7.8 m/s² ，位移为 180 m，后一段的加速度为 5.2 m/s² ，位移为 15 m，求飞机离舰时的速度有多大？

5．神舟五号载人飞船的返回舱距地面 10 km 时开始启动降落伞装置，速度减至 10 m/s，并以这个速度在大气中降落。在距地面 1.2 m 时，返回舱的四台缓冲发动机开始向下喷气，舱体再次减速。设最后减速过程中返回舱做匀减速直线运动，并且到达地面时恰好速度为 0，求最后减速阶段的加速度。

6．一辆肇事汽车在紧急刹车后停了下来，路面上留下了一条车轮滑动的磨痕。警察为了判断汽车刹车时速度的大小，测出路面上车轮磨痕的长度为 22.5 m。根据对车轮和路面材料的分析可以知道，车轮在路面上滑动时汽车做匀减速直线运动的加速度大小是 5.0 m/s² 。请你根据以上条件，计算汽车刚开始刹车时的速度是多少？

第 3 节匀变速直线运动的位移与时间的关系教学参考

1．教学目标

（1）能利用 v–t 图像得出匀变速直线运动的位移与时间关系式 x = v₀t + $\frac{1}{2}$ at²，进一步体会利用物理图像分析物体运动规律的研究方法。

（2）能推导出匀变速直线运动的速度与位移关系式 v² – v₀² = 2ax，体会科学推理的逻辑严密性。

（3）能在实际问题情境中使用匀变速直线运动的位移公式解决问题，体会物理知识的实际应用价值。

（4）了解 v–t 图像围成的面积即相应时间内的位移。提高应用数学研究物理问题的能力，体会变与不变的辩证关系。

2．教材分析与教学建议

教科书以匀速直线运动的 v–t 图像围成的面积 vt 等于时间 t 内的位移 x 提出问题，通过类比给出做匀变速直线运动的物体其位移也等于 v–t 图像围成的梯形面积，由此得出位移与时间关系式 x = v₀t + $\frac{1}{2}$ at²。接着通过典型例题的讲解，分析解决匀变速直线运动的问题，特别是加速、减速等不同实际情况中各矢量正、负号的正确使用方法。最后结合速度、位移与时间的关系式，推导出速度与位移的关系式 v² – v₀² = 2ax，并通过例题使学生体会如何根据实际情况选择适当的公式来分析解决匀变速直线运动的问题。

匀变速直线运动的位移与时间的关系式是本节教学的难点，因为二者不像匀速运动中是简单的线性关系，学生从已有的数理知识不易直接推导出正确的结论。教科书在正文部分没有详细推导位移公式，但是渗透了用 v–t 图像所围面积求位移的积分思想。学生在后继的学习中对此会逐步加深体会。在节后的“拓展学习”栏目中，用分割求和的思想推导出位移公式，并将这种求位移的方法推广到一般直线运动中，体现了方法的普适性。教科书这样处理，既保证大多数学生在适当的难度下体验用“面积”求位移的思想方法，又使有兴趣的学生能深入钻研这个问题，进一步提高数理与科学论证结合的能力，满足不同学生的发展需求。

（1）问题引入

匀变速直线运动位移与时间的关系比较复杂，以学生现有的实验探究和数学推导能力不易分析出来。因此本节开始先从分析匀速直线运动的位移问题入手，引导学生发现匀速直线运动位移 x 的数值可以用 v–t 图像中时间 t 内的图线与两坐标轴所围的矩形面积大小来表示。此后再提出求匀变速直线运动的位移的问题，目的是引发学生借鉴、迁移，思考如何求物体在一段时间内的位移。

提出问题的更重要的目的是引发学生将 v–t 图像上的“面枳”与位移建立联系。为进一步启发学生的思考，也可以设计让物体连续经历速率不同的匀速运动过程，如图 2–3。学生可以得出用各矩形面积之和 v₁t₁ + v₂（t₂ – t₁）+ v₃（t₃ – t₂）表示物体运动时间 t₃ 内的总位移，从而搭设思维台阶，方便学生形成逻辑推理的链条。

（2）匀变速直线运动的位移

匀变速直线运动的位移用 v–t 图像的梯形面积表示。首先把梯形的边长所对应的各物理量表示出来，求解梯形面积，得到匀变速直线运动位移与时间的关系，把位移写成

$\begin{matrix} ① & x = \frac{1}{2} (v_{0} + v) t \end{matrix}$

再利用上节学过的速度与时间的关系式

$\begin{matrix} ② & v = v_{0} + a t \end{matrix}$

②代入①，则得到匀变速直线运动位移与时间的关系式

$\begin{matrix} ③ & x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} \end{matrix}$

有的学生可能会问，①式为什么不是匀变速直线运动位移与时间的关系式？教师可以说明由②式可知，末速度 v 还与时间有关，要进一步表达成时间的函数。③式则是一个初速度为 v₀、加速度为 a 的匀变速直线运动，经过时间 t 的位移的普遍表达式。

经过以上教学过程，虽然学生已经知道了匀变速直线运动位移与时间的关系式，但它与学生从小就熟悉的路程等于速度乘以时间的公式形式上是不一样的，需进一步分析，以加强学生对公式物理意义的理解，为正确使用公式做好准各。关于公式含义的讨论可以参考下面的教学过程。

教学片段

对匀变速直线运动位移公式的理解

师：匀变速直线运动的位移与时间的关系式为 x = v₀t + $\frac{1}{2}$ at²，式中 x 的含义是什么？是位置还是位移？

生：x 是物体在时间 t 内的位移，如果认为物体在 t = 0 时刻位于坐标原点，则 x 也是物体在时刻 t 的位置。

师：如果物体在做匀减速运动，在使用上式分析问题时，需要注意什么？

生：（经讨论）若以初速度方向为正方向，则加速度 a 代入数据时要用负数。

师：如果物体运动的初速度为 0，做匀加速运动，它的 v–t 图像是什么样的？匀变速直线运动的位移与时间关系式是什么？

生：初速度为 0 的匀加速直线运动的 v–t 图像是一条过原点的直线，时间 t 内图线与坐标轴围的图形是三角形，所以位移与时间的关系式可用三角形面积求出为 x = $\frac{1}{2}$ at²。

上一节和本节研究了匀变速直线运动的规律，分别学习了匀变速直线运动的速度与时间、位移与时间的关系。对于这个新的运动形式和比较复杂的规律，还应通过联系实际生活场景的例题，加强学生对匀变速直线运动模型的感性认识和正确使用公式的训练。

教科书的例题包括舰载机起飞时的匀加速过程和着舰时的匀减速过程。题目情境比较新颖，信息量也比较多，也是学生高中阶段分析比较综合问题的开始，教师在讲解例题时应注意培养学生解决问题的思路、方法和规范。例如，学生在解题中应注意以下几点：

①将文字叙述的过程以情境图表示出来。例如，在一条直线上标出飞机匀加速的起点、终点、位移以及初速度、加速度方向等。

②将题目中所给的数据与公式中的字母含义对应起来。例如匀加速的初速度 v₀ = 10 m/s、加速度 a = 25 m/s² 等。

③建立适当的坐标系，明确各矢量的方向与坐标轴正方向的关系，用以判断该矢量在代入公式时的正负号。

④注意正确书写各物理量单位，并用来辅助检查公式中的量是否正确。

对初学者来说，本节的另一个难点是如何选择适当的公式来分析和解决匀变速直线运动的问题。实际应用时这些公式还有很多具体的表现形式，因此学生常常觉得头绪太多，无从下手。教师可以通过例题引导学生根据已知条件和要解决的问题分析物理量之间的相互联系，合理地选择公式。这对锻炼学生的分析综合、推理论证等科学思维是很好的锻炼。

为加强学生分析和解决问题的能力，除教科书的例题外，建议教师适当补充匀变速直线运动方面的例题。例如：以 30 m/s 的速率运行的列车，接到通知，要在前方小站临时停靠 1 min，接一个重病人上车。列车遂以大小为 0.6 m/s² 的加速度做匀减速直线运动，到小站恰好停止，接上病人。停车 1 min 后列车再以 1.0 m/s² 的加速度匀加速直线启动，直到恢复原来的速度行驶。求列车由于临时停车，共耽误了多少时间？

利用该题可以让学生感受匀速运动、匀加速和匀减速直线运动规律的应用，还可以用 v–t 图像分析问题。建议组织学生分组讨论，鼓励学生用不同的思路分析和解决问题。

（3）速度与位移的关系

速度与位移的关系式 v² – v₀² = 2ax，并不是一个独立的公式，它是从速度与时间、位移与时间的关系式推导出来的，教学中可以先不推导公式，而是让学生分析教科书上的例题 2，使学生亲身经历公式的推导过程，加深对公式的来历、使用条件和简便性的理解。教学可以参考下面的教学片段。

教学片段

速度与位移的关系

教师让学生分析本节教科书上的例题 2，学生发现动车匀减速运动的过程中，已知条件有初速度、末速度和位移，学生已经学过的关于匀变速运动的公式 v = v₀ + at 和 x = v₀t + $\frac{1}{2}$ at² 都有两个未知条件——加速度 a 和时间 t。

师：两个公式都不能直接求出动车进站时的加速度，怎么办？

生：两个公式联立，由公式 v = v₀ + at 表示出时间 t = $\frac{v - v_{0}}{a}$ ，代入 x = v₀t + $\frac{1}{2}$ at² 中，整理后可以得出 a = $\frac{0 - v^{2}}{2 x}$ ，代入已知条件可以求出加速度 a。

师：公式中不含时间，直接把匀变速直线运动的速度和位移联系起来。我们可以将公式变形，得到速度与位移的关系式 2ax = v² – v₀²，在分析不涉及时间的问题时，直接使用会更简便。大家再看一下这道例题的第二问，可以用什么方法求解？

生：因为后一段匀减速直线运动的加速度 a、初速度 v 和末速度（为 0）都已知，直接应用公式得到位移 x = $\frac{0 - v^{2}}{2 a}$ ，就可以直接求出停车前的位移。（可能有的学生还是会应用位移与时间的关系式求解，教师不要干涉，待他们将自己的解答方法与其他同学交流，就可以知道应用速度与位移关系式的优势了。）

表示匀变速直线运动规律有各种形式的公式，例如物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中点时刻的瞬时速度等。教师可以通过例题或课外研究的方式让学生进一步探究匀变速直线运动的规律。但要提醒学生注意公式的使用条件，不可死记硬背、生搬硬套。

（4）匀变速直线运动位移公式的推导

本节将利用 v–t 图像推导匀变速直线运动的位移公式放在“拓展学习”栏目中，供教师根据学生情况选择或学生课后自学。教师可从学生容易理解的匀速直线运动位移的 v–t 图像的矩形面积表示出发，逐步引导学生完成推导。启发学生像教科书上那样等分时间，以多个小矩形面积之和逐步趋近真实的位移，引导学生体会极限思想，得到以梯形面积表示匀变速直线运动位移的结论。

教科书特别强调了这种分割求和方法的普遍性，并给出一个变速直线运动的 v–t 图像，指出图线下的面积数值上也等于对应时间物体的位移。教师此处也应注意对学生微积分思想方法的培养。

对有余力的学生，教师还可以让他们讨论如图 2–4 所示的 v–t 图像中，负的速度和时间轴围成的阴影部分面积的物理意义，以进一步加强对 v–t 图像的数学表达形式和物理意义的理解。

3．“练习与应用”参考答案与提示

本节共安排了 6 道练习题。分别以列车加速、汽车制动、舰载机起飞、返回舱落地等问题为载体建构模型，运用匀变速直线运动规律，科学推理获得结论。第 1 题在熟悉的列车加速问题情境中，练习匀变速直线运动速度公式、位移公式的简单应用。第 2 题练习匀变速直线运动的规律在刹车问题中的应用。在刹车问题中，要能从多个视角审视并检验结论。第 3 题让学生运用初速度为 0 的匀变速直线运动公式分析推理得出加速度之比与位移之比的关系，也为学习第四章探究物体加速度与力、质量的关系作好铺垫。第 4 题、第 5 题以航母舰载机起飞、神舟五号返回舱落地的实际情境运用速度与位移关系式进行推理得出结论，同时弘扬爱国主义精神。第 6 题在汽车刹车问题中，通过分析刹车痕迹运用速度–位移关系式求出初速度，得出汽车是否超速的结论，培养学生运用物理知识解决实际问题的能力。

1．390 m；16 m/s，速度方向沿下坡方向

提示：初速度 v₀ = 36 km/h = 10 m/s，加速度 a = 0.2 m/s²，时间 t = 30 s，根据 x = v₀t + $\frac{1}{2}$ at²，得 x = 10 m/s×30 s + $\frac{1}{2}$ ×0.2 m/s²×（30 s）² = 390 m。

根据 v = v₀ + at，得 v = 10 m/s + 0.2 m/s²×30 s = 16 m/s。

2．4 m/s²，加速度方向与初速度方向相反；40.5 m，位移方向与汽车前进方向相同

提示：初速度 v₀ = 18 m/s，时间 t = 3 s，位移 x = 36 m。若汽车减速到停止，则最大位移为 x_amx = $\frac{v_{0} + 0}{2}$ t = $\frac{1}{2}$ v₀t，代入数据得 x_max = 27 m < 36 m，即汽车在 3 s 内还未停止。根据 x = v₀t + $\frac{1}{2}$ at²，得 a = $\frac{2 (x - v_{0} t)}{t^{2}}$ ，代入数据得 a = − 4 m/s²。

若汽车减速到停止，所用时间 tʹ = $\frac{0 - v_{0}}{a}$ = 4.5 s < 5 s，故 5 s 内发生的位移为 xʹ = $\frac{v_{0} + 0}{2}$ tʹ，代入数据得 xʹ = 40.5 m。

在刹车问题中，求某段时间内的位移或求某个时刻速度时，首先要判断汽车有没有停下，即确定汽车的实际运动时间。

3．初速度 v₀ = 0，根据公式 x = v₀t + $\frac{1}{2}$ at²，得 x₁ = $\frac{1}{2}$ at₁²，x₂ = $\frac{1}{2}$ at₂²。所以，相同时间内 x₁∶x₂ = a₁∶a₂。

4．54.4 m/s

提示：将舰载机看作质点，将舰载机在航母甲板上的起飞分为两个加速过程，沿曲面轨道的运动近似处理为匀加速直线运动。若飞机靠自身发动机起飞，初速度为 0，第一段加速度 a₁ = 7.8 m/s²，位移 x₁ = 180 m，末速度 v₁。根据 v₁² = 2a₁x₁，得 v₁ = $\sqrt{2 a_{1} x_{1}}$ ，代入数据得 v₁ = 53 m/s。

第二段加速度 a₂ = 5.2 m/s²，位移 x₂ = 15 m，末速度 v₂，根据 v₂² – v₁² = 2a₂x₂，得 v₂ = $\sqrt{v_{1}^{2} + 2 a_{2} x_{2}}$ ，代入数据得 v₂ = 54.4 m/s。

5．41.7 m/s²，加速度方向与初速度方向相反

提示：最后减速阶段初速度 v₀ = 10 m/s，末速度 v = 0，位移 x = 1.2 m。根据 v² – v₀² = 2ax，得 a = $\frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 x}$ ，代入数据得 a = − 41.7 m/s²。

6．15 m/s²，速度方向沿汽车前进方向

提示：可以认为汽车刹车做匀减速运动，加速度 a = 5 m/s²，位移 x = 22.5 m，末速度 v = 0。根据 v² – v₀² = 2ax，得 v₀ = $\sqrt{v^{2} - 2 a x}$ ，代入数据得 v₀ = 15 m/s。

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发布时间：2020/8/7 上午9:22:27 阅读次数：11439