第二章 1 实验：探究小车速度随时间变化的规律

世界上第一条商业运行的磁悬浮列车——“上海磁浮”，已于 2003 年 10 月 1 日正式运营。据报道，上海磁浮线路总长 33 km，一次试车时全程行驶了约 7 min 30 s，其中以 430 km/h 的最高速度行驶约 30 s。磁悬浮列车的行驶速度比汽车快得多，是不是它的加速度也会很大？

学过这一章后请你根据报纸上的数据，再按照实际情况给出一些简化的假设，自己尝试着估算它的加速度。

表 1 小车在几个时刻的瞬时速度

位置编号	0	1	2	3	4	5	6	…
时间 t /s	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
v1 /（m·s−1）
v2 /（m·s−1）
v3 /（m·s−1）
…

第二章  匀变速直线运动的研究

课程标准的要求

1.1.3  通过实验，探究匀变速直线运动的特点，能用公式、图像等方法描述匀变速直线运动，理解匀变速直线运动的规律，能运用其解决实际问题，体会科学思维中的抽象方法和物理问题研究中的极限方法。

1.1.4  通过实验，认识自由落体运动规律。结合物理学史的相关内容，认识物理实验与科学推理在物理学研究中的作用。

1.1.1  了解近代实验科学产生的背景，认识实验对物理学发展的推动作用。

一、本章教材概述

研究变速运动，应该从最简单的变速运动开始，匀变速直线运动就是一种最简单的变速运动。上一章学习的参考系和坐标系，为匀变速直线运动的位置和位移的确定奠定了基础；上一章学习了时间、位移、速度和加速度的概念，本章研究的就是匀变速直线运动中这几个物理量之间的定量关系；上一章学习了用打点计时器测速度，本章研究的匀变速直线运动的特点，就是通过用打点计时器测物体速度的实验来研究的。上一章为本章奠定了全面的基础，本章是上一章概念和方法的具体应用。

作为最简单的变速运动，匀变速直线运动的学习为认识其他更复杂的运动创造了条件。了解匀变速直线运动的规律，才能进一步学习平抛运动的规律。认识匀变速直线运动加速度的特点，才有利于进一步认识匀速圆周运动和简谐运动加速度的特点。掌握了匀变速直线运动位移和速度的关系，通过牛顿第二定律，就能进一步推导出动能定理的关系式。可见本章的知识在整个力学中具有基础性的地位。

本章共 4 节课文，其知识线索可分为两部分：第一部分是关于匀变速直线运动及其规律的探究与学习，包括匀变速直线运动的速度与时间、位移与时间、速度与位移的关系，并渗透有关的基本方法；第二部分是匀变速直线运动应用的一个具体案例。

老师们在使用本章教科书时，还应注意编者以下一些具体的考虑。

1．注重获取知识的过程，培养学生的科学思维和研究方法

（1）匀变速直线运动速度与时间关系式的探讨

教科书没有简单地从加速度的定义式 a = $\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$，经过变形得出速度的公式，而是通过分析重物牵引小车这个具体的运动，逐步找出规律的。获取数据，画出 v–t 图像，进而认识到这个小车运动的 v–t 图像是一条倾斜的直线。

接下来引导学生讨论，这样的 v–t 图像表示的是什么运动？根据学生在数学课中对线性函数的了解，以及加速度的定义式可以得出：这是一种加速度不随时间改变的匀变速直线运动。

因此，如果把物体初速度为 v₀ 的时刻 t₀ 作为计时开始的时刻，即 t₀ = 0，把比后任一时刻 t 的速度记为 v，则有

$$a=\frac{v-v_0}{t}$$

教科书进一步让学生根据各项的含义理解该关系式：匀变速直线运动的加速度 a 在数值上等于单位时间内速度的变化量。式中 v₀ 和 a 是不随时间变化的，不同的时刻 t 将对应着不同的速度 v，因而可以得出速度 v 随时间 t 的变化关系

$$v=v_0+at$$

at 是时间 t 内速度的变化量，加上运动开始时速度 v₀ 的值，就是 t 时刻的瞬时速度。

对匀变速直线运动速度与时间关系式的探讨，经历了从实验研究中获取数据→作 v–t 图像→分析 v–t 图像→寻找规律。在看似简单的问题上引导学生经历完整的研究过程，这对刚刚跨入高中大门的学生养成科学的思维习惯和良好的研究态度具有重要的意义。

（2）匀变速直线运动位移与时间关系式的探讨

教科书通过类比匀速直线运动 v–t 图像求位移的方法，引出匀变速直线运动通过 v–t 图像求位移的方法。虽然这是通过匀速直线运动的特殊例子类比得出的，但这种方法具有一般性，是物理学中常用的方法。

其实，把运动物体的位移与其 v–t 图线下的“面积”相联系，在伽利略和笛卡尔那时就已经提上了科学的议事日程，而真正解决问题则是在牛顿和莱布尼兹发明微积分之后。如果说在得出匀变速直线运动的速度公式时，我们重视获取知识的过程而处理了一个“简单”问题的话，那么在这里，我们则是把一个在物理学发展中极为深刻而有效的思维方法，以简化的方式呈现出来了。这样处理的目的是为了防止教学中仅仅侧重知识点的“吞咽”和“套用”，而忽视了科学思维方法的培养。

在物理教学的内容方面，概念的准确和线索的清晰是高中物理教学所必需的，但优秀的物理教学更应该向学生传递一种思考方法、一种科学的视角、一种科学的品位。

2．从重大发现的历史过程领悟科学精神、物理思想和研究方法

对落体运动的研究成为物理学产生和发展的源头之一不是偶然的。尽管对于今天高中物理教学来说，什么是自由落体运动，自由落体运动的规律，以及自由落体运动加速度 g 的测量等，都已不再是什么难题了，但是，“智慧博学的亚里士多德错在哪儿？”“为什么伽利略的工作对于物理学的进步具有极其重要的地位和作用？”“对我们有何教益？”等问题都自然地出现在青少年的头脑之中，也是物理教学理应回答的问题。

在讲授物理学的基本知识的同时，适当地、有选择地介绍重要研究的历史过程是非常必要的：说明当时的背景，怎样提出问题，遇到什么困难，如何获得突破，曾经有过什么曲折和争论……为此，教科书在第 4 节“自由落体运动”一开始就提出了伽利略对亚里士多德落体理论的质疑，并在“科学漫步”中详细地介绍了伽利略研究自由落体运动的方法。这样可以使学生领悟到前辈大师的科学精神、物理思想、研究方法，得其精髓，有所借鉴。

有人说：“学者故章，学问故事的启迪，常常不在学术和学问本身之下。”物理教科书要让学生能从充满哲理的科学故事等多方面吸收科学的信息。为此，教科书还通过“STSE”栏目讲述“从伽利略的一生看科学与社会”的问题，让学生感悟科学与社会的关系。这一切都会成为一座座沟通学生学习物理知识、掌握物理思想、热爱物理科学的桥梁。

3．渗透“微元求和”的思想

科学思维和基本方法的掌握是不可能通过灌输达成的，需要经常、适时地渗透。

“一个变化过程在极短区间内可以认为是不变的”，这是物理学中处理变化问题常用的一种方法。将一个个小区间不变的量求和，就可以解决整个过程变化的问题，这就是微元求和（微积分）。在力学中，一个变速运动在极短时间内可以当作匀速运动来处理；一段变力做功在极短位移内可以当作恒力做功来处理；在电磁学中，一个变化的电场（或磁场），在极短的时间内可以当作恒定电场（或磁场）来处理。在上一章讲瞬时速度的概念时，用某一极短时间内的位移 Δx 与时间间隔 Δt 的比来表示变速运动的瞬时速度，就包含着这种思想，随后用打点计时器测变速运动纸带的瞬时速度，这种思想又一次得到渗透。在本章中，该思想在教学中多次出现，一次又一次让学生得以感受、不断加深。匀变速直线运动位移与时间的定量关系 x = v₀t + $\frac{1}{2}$at² 的学习中，在“拓展学习”中通过 v–t 图像，运用这种把变速运动的全过程分割成各小段匀速运动的方法，处理了变速求位移的问题；第 4 节的“问题与练习”中，估算傻瓜照相机的曝光时间，学生又一次经历了把自由落体在一段极短时间内的运动当成匀速运动处理的过程。教科书对科学思维与方法的教学采用的是渗透的方式，这对学生掌握科学的思维与方法会起到潜移默化的影响。

4．注重用手边常用的工具做物理实验

学校里使用的一些仪器多数是生产部门专为学校开发的，在生活中又常常用不到这些仪器，例如打点计时器。物理学习中应该善于利用学生手边常用的工具来做实验，这样既可以提高学生解决实际问题的能力，又可以加强学生联系实际的意识。为此，教科书做了一些努力。例如，在“做一做”中让学生利用手机测自由落体加速度，在习题中介绍了“频闪照相”的方法。其实，频闪照相的方法和打点计时器的原理一样，都是在确定的时间间隔内记录运动物体的位置，但频闪照相比打点计时器应用的场合更广泛、更常用。常用的频闪照相方法是用频闪仪提供频闪的光源，而频闪仪学生不易获得，但是学生可以用手机来制作“频闪照片”，这就为学生研究运动学有关的课题提供了很好的工具。教师应该鼓励和引导学生利用手边常用的工具来进行物理实验研究。

课时安排建议

第 1 节  实验：探究小车速度随时间变化的规律                2 课时

第 2 节  匀变速直线运动的速度与时间的关系                   2 课时

第 3 节  匀变速直线运动的位移与时间的关系                   2 课时

第 4 节  自由落体运动                                                      2 课时

第 1 节  实验：探究小车速度随时间变化的规律 教学参考

1．教学目标

（1）通过实验探究物体运动的速度随时间变化的规律，提升实验设计、处理信息、做出解释等科学探究方面的能力。为建构匀变速直线运动的模型奠定基础。

（2）描绘物体运动的 v–t 图像，并通过对拟合成的图线观察、思考，找出物体速度变化的规律。

（3）经历探究小车速度随时间变化的规律，体会研究直线运动的一般思路。

（4）学习借助计算机数表软件绘制 v–t 图像，并选择适当的函数拟合数据，得到物体速度随时间变化的规律。

2．教材分析与教学建议

节教科书首先以“寻求一种运动的特点和规律，一般要先研究某个具体事例”这一基本思路人手。然后基于探究的问题，在上一章掌握了测量物体做直线运动速度方法的基础上，主要从实验思路、进行实验、数据记录、数据分析等方面层层深入，展开探究过程。本节的重点是探究实验的设计与数据记录，难点是数据分析。

（1）实验思路

实际物体的运动大部分都是变速运动，但加速的情况可能各不相同。那么如何研究物体的变速运动特点？

学生在日常生活和初中学习中对匀速直线运动有一个初步的认识，但对常见的变速直线运动却无感性认识。因此教科书没有直接绐出匀变速直线运动的定义，而是先从小车的变速运动出发，研究某种实际变速运动的特点，进而再抽象归纳出匀变速直线运动的模型。这样有利于学生在感性认识的基础上建构物理模型，理解物理概念，解决实际问题。

在第一章学生学会了用打点计时器测量物体的速度以及通过绘制 v–t 图像研究物体运动规律的方法，但对通过实验定量研究某种运动规律的过程还很陌生。因此，教师首先应启发学生提炼探究问题，引导学生设计探究方案——通过实验仪器记录小车运动的位移、时间，从而求出瞬时速度，分析速度随时间的变化规律。

（2）进行实验

上面讨论了探究小车速度随时间变化规律的实验方案，此处要根据实际的实验仪器落实实验步骤，进行实验。

为了使实验的结果具有更普遍的意义，实验应改变槽码的质量测量三次（或三次以上），也就是测量不同的加速运动。教师在此处要进一步规范实验操作，特别是打点计时器的正确使用方法，提高实验技能。

（3）数据记录和处理

要跟学生说明，小车运动开始时速度小，纸带上的点迹较密，测量这些点迹的距离相对误差较大，所以要舍去过于密集的点，以一个间距适当处的点作为计时起点。在测瞬时速度时，应使各计数点的时间间隔相等，为保证测量精度和计算方便，通常可以取计数点间的时间间隔为 0.1 s。学生应明确纸带上打出的点迹和计数点间的区别与联系，会计算计数点间的时间间隔，测量不同计数点间的位移。

实验记录表格的设计也是学生处理分析实验数据能力的体现，教师可以让学生自主设计，然后再与教科书的表格比较。例如，教科书的表格中没有直接记录测量某点瞬时速度时的位移，学生也可以设计更完整的记录表格，如表 2–1。

表 2–1  小车在几个时刻的瞬时速度

位置编号	0	1	2	3	4	5	6	……
时间 t/s
位置 xm/m
位移 Δx/m
速度 v/（m·s−1）

表中 x_n 指各计数点到计时起点的距离，实验中可以用一根米尺对各计数点一次全部测量出来，而不必挪动尺子，以免造成累积的测量误差。Δx 指计算某计数点的瞬时速度时，所取时间间隔 Δt 内对应的位移，Δx 用表中上一行 x_n 的数据即能求出。表中没有记录时间间隔 Δt，因为一般计算各点瞬时速度时 Δt 都取相同的值。

为达到更好的教学效果，实验中应保证小车的运动基本上是匀加速直线运动，因此要注意控制以下实验条件：

①打点计时器固定在长木板的一端，纸带安装在小车后部并穿过限位孔后，既要与木板平面平行，又要与小车、定滑轮、槽码拉线在一条直线上，且沿长木板纵轴中心线方向。

②选择在木板上受到阻力小、各车轮受力均衡的小车，保障小车运动过程沿木板纵轴方向。

③实验中小车的加速度不要太小，以免相对误差较大，影响实验效果。如果由于加速度较大，纸带上点迹较少，可以考虑选取计数点时用 0.08 s 或 0.06 s 的时间间隔，以保证能测量六组以上的瞬时速度数据。

（4）数据分析

实验测出了小车在各相等时间间隔的瞬时速度，教师可以让学生分析这些数据，看看有什么规律。引导学生运用计算或绘制 v–t 图像的方法分析运动规律。数据分析可以参考如下教学片段。

教学片段

分析小车速度随时间变化的特点

师：请大家分析实验表格中的数据，小车速度随时间的变化有什么规律？

生：速度越来越大。

师：速度变化的快慢呢？应该怎么分析？

生：可以求相邻数据点间的加速度。如 0、1 两点间的 a₀₁，1、2 两点间的 a₁₂，……，然后比较这些加速度的大小，看物体速度变化快慢的规律。

师：同学们的方法很好，请大家按这个方案求一下各个加速度，看看有什么规律？

生：（计算后）各段加速度的大小比较接近，相差不多。

师：通过数据分析，关于小车速度随时间的变化可以得出什么结论？

生：小车的加速度基本保持不变，说明速度随时间的变化是均匀的。

师：如果不计算加速度，用什么方法可以形象地看出小车速度随时间变化的规律？

生：可以绘制 v–t 图像。

师：请大家建立坐标系，根据自己组的数据合理标度坐标轴，描出各数据点，并分析数据点分布有什么特点。

生：在 v–t 直角坐标系中描出的数据点，基本都落在一条直线上。

师：从大家研究的实际运动中可以近似抽象出一种理想化的运动模型，其 v–t 图像是一条倾斜的直线，这种理想情况下小车的速度变化有什么规律？

生：小车的速度随时间是均匀增加的，即运动中小车的加速度保持不变。

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在分析小车的 v–t 囹像时，要注意实际情况的理想化。学生测得的数据可能不是严格在一条倾斜的直线上。此时教师应将多组数据和图像呈现在学生面前，让他们体会到实际运动的 v–t 图像都是接近于一条倾斜的直线，进而建立一个理想化的运动模型——v–t 图像是一条倾斜的直线。为下节匀变速直线运动模型的建立打下基础。

学生的探究结论为建立匀变速直线运动模型奠定了基础。为使学生认识到这种匀变速运动的普遍性，建议教师可以让不同的小组研究不同的变速运动（每种运动可以设置 4 ~ 5 组学生探究），除了书上的实验方案，还可以有小车沿斜面滑下、木块在水平面减速、钩码拉动滑块在气垫导轨上加速运动等，测出数据，作出 v–t 图像，找出速度变化的规律，从而抽象出匀变速直线运动的模型。这样学生的感性认识更加丰富，拓宽了今后研究动力学问题的视野。

（5）借助计算机绘制 v–t 图像

现在应用计算机进行科学研究是非常普遍的情况，因此教师在教学中，也应逐步培养学生应用信息技术进行学习和研究的能力。教科书中介绍了应用 WPS 表格软件绘制 v–t 图像以及得出 v–t 图像数学解析式的方法。建议有条件的学校，教师指导学生应用前面实验的数据绘出 v–t 图像，得到运动规律，并进行误差分析。为了论证线性规律的合理性，教师也可以让学生在寻找趋势线规律时，把趋势线选项设置成二次函数或其他非线性函数，从图像和方差判断出不合理性。应用 Excel 软件的绘图功能也可以完成相关绘图和数据处理，教师可以根据学生计算机的软件安装情况进行指导。

通过数表软件处理数据，学生体验到这种数据处理的便捷和精确。教师可以鼓励学生在进行探究学习时应用这种方法。但需要说明的是，教学中还是要加强学生亲自动手绘制、拟合图像和寻找规律的研究方法和能力的培养。

3．“练习与应用”参考答案与提示

本节共安排了 2 道练习题。第 1 题培养学生通过“剪贴纸带法”从不同角度思考 v–t 图像问题。第 2 题要求学生通过描点法画出 v–t 图像，增强对物理过程的理解。

1．（1）如图 2–1所示。

（2）剪下的纸条长度表示 0.1 s 时间内位移的大小，可以近似认为速度 v = $\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}$，由于时间间隔相同（为 0.1 s），所以纸条长度 Δx 可以认为表示单位时间的位移，即速度。

提示：每段纸带长度都与相等时间间隔内的位移一一对应，纸条的长度正比于这段位移的平均速度，因此用纸条的段数表示时间（横轴），用纸条的长度表示速度（纵轴），体现了等效的思想，这是一种利用图像处理数据的方法。

 

2．（1）15；16；18；19；21；23；24

（2）如图 2–2 所示。

提示：选定原点；以横轴表示时间，选定标度，在时间轴上确定各个时刻的位置；以纵轴表示速度，选定标度，在速度轴上确定备个速度值的位置；根据表格的数据在坐标系中确定每组数据所对应的位置；用直线拟合各点，使直线尽量多的通过数据点或使数据点均匀分布于直线两侧。