第六章 第二节 法拉第电磁感应定律

 

 

 

为了使驾驶员及时获取汽车各系统工作状况的相关信息，保证汽车可靠而安全地行驶，在驾驶员前方的面板上装有各种仪表。一般汽车上常见的仪表有车速里程表、发动机转速表、电流表、燃油表、水温表、机油压力表等。如图 6–15（a）所示是汽车发动机转速表，用来指示发动机的运行情况。图中转速表的单位以“1/min × 1 000”表示，即转速表显示发动机 1 min 转多少千转，驾驶员可随时知道发动机的运转情况，使发动机保持最佳工作状态。

常见的发动机磁电式转速表的转速测试装置应用了电磁感应原理，如图 6–15（b）所示。测试装置中的磁性传感器主要由永久磁体和感应线圈构成。转轮安装在发动机转轴上，感应线圈与其对应并固定在适当位置。汽车行驶时转轮被带动旋转，每转一个齿，齿的凹凸引起感应线圈内产生一个感应电流脉冲，其变化频率等于被测转速与转轮上齿的个数的乘积。测试装置中的信号处理器把 1 min 内接收到的脉冲数转变成相应的电压，应用电磁感应原理驱动转速表指针，驾驶员便可实时观察发动机的转速了。

穿过闭合回路的磁通量发生变化，就有感应电流，表明回路中存在电动势。这种由于磁通量的变化而引起的电动势叫做感应电动势 (induced electromotive force)。产生感应电动势的那部分导体相当于一个“电源”。在电磁感应现象里，感应电流的大小随回路中电阻的大小变化而变化，但感应电动势的大小则与回路中的电阻大小无关，即使回路断开，感应电动势依然存在，感应电动势比感应电流更能反映电磁感应现象的本质。

在如图 6–16 所示的实验中，每次将条形磁体插入（或抽出）感

 

应线圈，穿过感应线圈的磁通量变化量均相同。留意磁体插入（或抽出）感应线圈所用时间的长短与观察到的灵敏电流计指针偏转角度大小的关系。实验发现，条形磁体插入（或抽出）感应线圈所用时间越短，磁通量变化得越快，灵敏电流计指针偏转角度越大，表示感应电流越大，即感应线圈中产生的感应电动势越大。反之，感应电动势越小。

若线圈的面积不变，感应电动势大小与线圈内磁感应强度变化有何关系呢？

 

大量的实验证明，当线圈回路包围的面积保持不变，仅磁感应强度发生变化时，线圈中产生的感应电动势 E 与 \(\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\) 成正比，即 E ∝ \(\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\)。

实验又发现：在匀强磁场中，当线圈回路包围的面积发生变化时也会产生感应电动势。

可以看出，感应电动势的大小与磁通量变化的快慢有关。磁通量变化的快慢可以用磁通量的变化量与所用时间的比表示，也称为磁通量的变化率；即感应电动势的大小跟磁通量的变化率有关。精确的实验表明：回路中感应电动势的大小，跟穿过这一回路的磁通量的变化率成正比，这就是法拉第电磁感应定律（Faraday’s law of electromagnetic induction）。

如果 t₁ 时刻穿过闭合回路的磁通量为 Φ₁，t₂ 时刻穿过闭合回路的磁通量为 Φ₂，在较

 

短的时间 Δt = t₂ – t₁ 内，磁通量的变化量为 ΔΦ = Φ₂ − Φ₁，则磁通量的变化率为 \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\)。用 E 表示闭合回路中的感应电动势，则

\[E = k\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

式中 k 是比例常量。在国际单位制中，电动势的单位是伏（V）、磁通量的单位是韦伯（Wb）、时间的单位是秒（s），这时 k = 1。于是法拉第电磁感应定律就可以表示为

\[\color{#945E55}E = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

如果闭合回路是由截面积相同的 n 匝线圈密绕而成，这样的线圈可以看成是由 n 个单匝线圈串联而成，因此整个线圈中的感应电动势就是单匝线圈感应电动势的 n 倍，即

\[\color{#945E55}E = n\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

我们可以用上述公式计算感应电动势的大小，再用楞次定律判断感应电流的方向。

 

示例 1 一螺线管的匝数 n = 400、截面积 S = 0.20 m²，其内部存在向左的匀强磁场，磁感应强度 B 逐渐增加且均匀变化，如图 6–18 所示。设磁感应强度的变化率 \(\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\) = 0.10 T/s，电阻 R 为 10 Ω，忽略螺线管导线的电阻，试求：

（1）螺线管内感应电动势的大小和通过电阻 R 的感应电流方向；

（2）在 Δt = 2.0 s 时间内通过电阻 R 的感应电荷量。

分析：根据法拉第电磁感应定律可以求螺线管内产生的感应电动势大小，根据楞次定律可以判断感应电流的方向，再通过电流和电荷量的关系求出通过电阻的感应电荷量。

解：（1） 由于螺线管内磁场的磁感应强度均匀变化，根据法拉第电磁感应定律，螺线管内感应电动势

E = n\(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\)

                                                                     = nS\(\frac{{\Delta B }}{{\Delta t}}\)

                                                                     = 400×0.20×0.10 V

                                                                     = 8.0 V

根据楞次定律，通电螺线管感应电流的磁场阻碍原磁场的变化，从而可以判断通过电阻 R 的感应电流方向 c → d。

 

（2）螺线管内感应电流的大小

I = \(\frac{E}{R}\) = \(\frac{{8.0}}{{10}}\) A = 0.80 A

则在 2.0 s 时间内，通过电阻 R 的感应电荷量

q = IΔt

                                                                         = 0.80 × 2.0 C

                                                                         = 1.6 C

在不随时间改变的磁场内，闭合回路的一部分导线做切割磁感线运动而使回路磁通量发生变化，这时运动的导体会产生感应电动势，运动的导体相当于一个电源。这种情况下，法拉第电磁感应定律可以表示为一种更简单的形式。

如图 6–19 所示，在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，有一个宽度为 l 的线框 cabd，线框的平面跟磁场方向垂直。设一可移动的导体棒 MN 以速度 v 向右匀速运动，在 Δt 时间内，由位置 MN 移动到 M₁N₁，移动的距离为 vΔt，导体棒与线框包围的“面积”变化量为 ΔS = lvΔt。

在 Δt 时间内，闭合回路 abNMa 的磁通量的变化量

\[\Delta \Phi = B\Delta S = Blv\Delta t\]

根据法拉第电磁感应定律，回路中感应电动势的大小

\[E = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}} = Blv\]

可见，在磁场中导体切割磁感线运动时，导体中产生的感应电动势 E 的大小跟磁感应强度 B、导线的长度 l 和速度 v 成正比。当 B、l、v 三者方向相互垂直时，感应电动势的大小为

\[\color{#945E55}E = Blv\]

根据楞次定律（或右手定则），导线中感应电流的方向为 N → M。

 

如果用一矩形线圈的一条边在匀强磁场中垂直切割磁感线，就能用实验室仪器测量感应电动势，从而验证法拉第电磁感应定律。

 

如图 6–21 所示是世界上第一台发电机—法拉第圆盘发电机。紫铜圆盘的圆心安装在水平转轴上，可以通过一个摇柄绕水平轴在竖直平面内转动，让紫铜圆盘放置在蹄形磁体的两个磁极之间，圆盘的圆心 C 和边缘 D 处各与一个黄铜电刷紧贴，再用导线把这两个电刷与电流表连接起来。当法拉第转动摇柄使紫铜圆盘旋转起来时，观察到电流表的指针发生偏转，说明电路中产生了持续的感应电流。

法拉第圆盘发电机是怎样产生电流的呢？蹄形磁体的两个磁极之间存在磁场，把紫铜圆盘看作是由无数根长度等于半径的紫铜辐条组成的，在转动圆盘时，每根辐条都做切割磁感线的运动。辐条和外电路中的电流表构成闭合电路，电路中产生了感应电流。随着圆盘的不断旋转，任何时刻总有某根辐条能够与电刷接触形成回路，便在电路中形成持续不断的电流。

 

后来，人们在此基础上，将蹄形磁体改为能产生更强磁场的电磁体，用多股导线绕制的线框代替紫铜圆盘，对电刷也进行了改进，就制成了功率较大的可供实用的发电机。目前，即使功率为 100 万千瓦的特大型发电机，也是根据法拉第圆盘发电机的基本原理——电磁感应定律制成的。

从能量角度看，电磁感应现象的本质是通过外力做功将其他形式的能量转化为电能。

在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源。图 6-19 中导体棒 MN 向右运动时，在导体棒内产生 N → M 方向的感应电流。在磁场中，导体棒 MN 因其中通过感应电流而受到向左的安培力作用。为了维持导体棒 MN 做匀速运动，必须有跟安培力大小相等、方向相反的外力克服安培力做功。在外力做功的过程中，外部提供的能量转化为电能。

设 MN 受到的外力为 F，MN 经过位移 s 所需时间为 Δt，则 MN 的移动速度 v = \(\frac{s}{{\Delta t}}\)，可得由外力对 MN 所做的功

\[{W_外} = Fs = Fv\Delta t\]

设感应电动势为 E，感应电流为 I，则回路在 Δt 时间内消耗的电能

\[{W_电} = IE\Delta t\]

由于 MN 做匀速运动，MN 受到外力 F 与 F 安作用，这两个力大小相等、方向相反。由于 MN 的动能不变，根据能量守恒定律，因此外力对 MN 所做的功全部转化为回路消耗的电能，即

\[Fv\Delta t = {F_1}v\Delta t = BIlv\Delta t = IE\Delta t\]

得                                                                 \(E = Blv\)

与前面给出的计算感应电动势大小的公式一致。可见，当 B、l、v 三者互相垂直情况下，用 E = Blv 计算感应电动势的大小，导体棒 NM 相当于一个电源。

 

 

示例 2 如图 6–23 所示，在一个磁感应强度 B = 0.5 T 的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置两根相距为 l = 0.1 m 的平行光滑金属导轨 MN 和 PQ，导轨电阻忽略不计；在两根导轨的端点 N、Q 之间连接一个阻值 R = 0.3 Ω 的电阻；垂直于导轨放置一根与导轨接触良好的金属棒，金属棒在接触点 a、b 之间部分的电阻 r = 0.2 Ω。若金属棒在水平拉力 F 作用下以速度 v = 4.0 m/s 向右做匀速运动，试求：

（1）通过电阻 R 的电流大小和方向；

（2）使金属棒做匀速运动的拉力；

（3）回路中的热功率。

分析：金属棒在水平拉力 F 作用下向右匀速运动垂直切割磁感线，在金属棒中产生了感应电动势。以金属棒为研究对象，根据“右手定则”判断感应电流的方向是 a → b。金属棒和电阻 R 组成的闭合回路中金属棒 ab 部分相当于一个电源。金属棒的电阻相当于这个闭合电路的内阻，外电路的电阻为 R。根据“左手定则”通有感应电流的金属棒在磁场中受到向左的安培力的作用，要保持金属棒匀速运动必定受到向右的水平拉力 F 作用，且水平拉力 F 的大小等于安培力的大小。

解：根据法拉第电磁感应定律，金属棒垂直切割磁感线产生感应电动势为 E_ab = Blv，在金属棒和电阻 R 组成的闭合电路中内阻 r = 0.2 Ω，外电阻 R = 0.3 Ω。

（1）根据闭合电路欧姆定律，通过电阻 R 的电流也就是通过金属棒的电流，电流的大小

I = \(\frac{{{E_{ab}}}}{{R + r}}\)

                                                                     =  \(\frac{{Blv}}{{R + r}}\)

                                                                     = \(\frac{{0.5 \times 0.1 \times 4.0}}{{0.3 + 0.2}}\) A

                                                                     = 0.4 A

电流的方向为从 Q 经 R 到 N。

（2）由于金属棒做匀速运动，金属棒受到安培力的方向向左，外力 F 的方向向右。安培力与外力是一对平衡力，外力 F 的大小

F = F _安 = BIl

                                                                     = 0.5×0.4×0.1 N

                                                                     = 0.02 N

（3）根据焦耳定律，回路中电流的热功率

P_Q = I²（R + r）

                                                                   = 0.4²×（0.3 + 0.2）W = 0.08 W

 

其实，根据能量守恒定律，由于金属棒做匀速运动其动能不变；金属棒始终在水平面上运动，重力势能也不变，即金属棒的机械能不变。外力 F 的机械功率等于回路中的焦耳热功率，即

P_Q = Fv

                                                                           = 0.02×4.0 W

                                                                           = 0.08 W

 

示例 3 如图 6–24 所示，边长分别为 l 与 h、电阻为 R、质量为 m 的金属线框，自上而下匀速穿过宽度为 h、磁感应强度为 B 的匀强磁场区域。求在这个过程中线框产生的热量。

分析：线框匀速穿过匀强磁场的过程可分为两段：

（1）线框刚进入磁场到全部进入磁场，cd 边切割磁感线，根据楞次定律，线框中的感应电流是逆时针方向，根据“左手定则”，由于感应电流，cd 边受到的安培力方向为竖直向上；

（2）线框从磁场中离开，ab 边切割磁感线。线框中的感应电流是顺时针方向，ab 边受到的安培力方向仍然是竖直向上。

其实，根据楞次定律，感应电流总是起到“阻碍”线框下落的作用。现在线框下落，无论是线框的 ab 边还是 cd 边处于磁场范围内，“阻碍”作用必然表现为线框受到向上的阻力作用，即由于感应电流，ab 边或 cd 边受到的安培力总是向上。感应电流做功使机械能转变成内能。

解：线框在穿过磁场区域过程中，只有一条边切割磁感线，线框中产生的感应电动势 E 与感应电流大小始终不变。以线框为研究对象，线框所受重力方向竖直向下，安培力方向始终竖直向上。因为线框做匀速直线运动，所以线框所受重力和安培力是一对平衡力，即

\[mg = BIl\]

其中 I = \(\frac{E}{R}\) = \(\frac{{Blv}}{R}\)，得

\[\tag{1}\label{1}{mg = B\frac{{Blv}}{R}l}\]

\[ = \frac{{{ B^2}{l^2}v}}{R} \]

线框进入磁场和离开磁场都做匀速直线运动，所用时间均为 t = \(\frac{h}{v}\)。

电流做的总功

\[\begin{array}{l}W = 2{I^2}Rt\\ = 2\frac{{{B^2}{l^2}vh}}{R}\end{array}\]

可知线框产生的热量

\[\tag{2}\label{2}{Q = W = 2\frac{{{B^2}{l^2}vh}}{R}}\]

 

将①式代入②式得

\[Q = 2mgh\]

还可以换一个思路考虑。因为线框下落过程中速度不变，即线框的动能不变，所以线框产生的热量是由重力势能转变成电能再转变而来的。在线框通过磁场的过程中，重力势能减少了 2mgh，根据能量守恒定律线框产生的热量 Q 一定等于 2mgh。

由此例可知，在解决与电磁感应相关的实际问题时，有时用能量守恒定律可以相当简单快捷。

本节编写思路

首先，建立感应电动势概念；其次，通过对实验的定性分析，探索感应电动势的大小跟哪些因素有关。然后，在感应线圈截面积不变情况下，依据通过线圈的磁通量与感应电动势之间关系的实验探究和理论分析引入法拉第电磁感应定律。得出计算感应电动势大小的 一般表达式 E = \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\)；最后，再利用法拉第电磁感应定律分析“导线切割磁感线时的感应电动势”的特殊情况，并通过用实验验证。

本节教学的重点是法拉第电磁感应定律，难点是对磁通量、磁通量的变化量以及磁通量变化率的理解。学习法拉第电磁感应定律，不仅要求掌握其数学表达式，更重要的是能够应用该定律解决实际问题。

正文解读

发动机磁电式转速表的转速测试装置中，齿轮凸凹相间的轮齿每次经过感应线圈端部时，类似于教材必修三第十一章第三节图 11 – 25 所示实验中，通电线圈A 中的软铁棒从线圈中插入和拔出，都会引起感应电流。

 

教材图 6 – 16 所示的实验中当条形磁铁插入或拔出感应线圈时在闭合电路中产生感应电流。类比闭合电路中要维持电流，一定存在电源电动势。因此电磁感应现象中一定存在电动势，这种由磁通量变化而引起的电动势称为感应电动势。

用导线将电源、用电器和开关串联组成的闭合回路，虽然断开开关电流为零，但是电源电动势仍然存在。同样，电磁感应现象中即使感应电流为零也仍然存在感应电动势。在图 6 – 16 所示实验中，如果断开连接灵敏电流计的导线，当条形磁体插入或拔出感应线圈时，感应线圈的两端仍然存在感应电动势。

感应电流的大小与回路的电阻有关，而感应电动势的大小却与回路的电阻无关，所以感应电动势比感应电流更能反映电磁感应现象的本质。

 

关于自主活动：实验中线圈 b 的面积不变，因此实验只能得到感应电动势 E 与磁感应强度的变化率 \(\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\) 成正比的结论。

 

此处设置自主活动旨在理解磁通量 Φ、磁通量的变化量 ΔΦ 与磁通量的变化率 \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) 这三个物理量，知道它们之间的联系和区别。

磁通量 Φ 是状态量，反映的是某一时刻穿过回路磁通量的大小；ΔΦ 是过程量，反映的是某一段时间穿过回路磁通量的变化的大小；\(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) 是穿过回路磁通量的变化率，其数值与 ΔΦ 及所用时间 Δt 都有关系，\(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) 也是 Φ – t 图像中某点切线的斜率，因此，Φ 较大，ΔΦ 不一定大；ΔΦ 较大，\(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) 也不一定大，它们是三个不同的物理量。

磁通量 Φ、磁通量的变化量 ΔΦ 和磁通量的变化率 \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) 三者的关联和区别类似于速度 v、速度的变化 Δv 和速度的变化率 \(\frac{{\Delta v }}{{\Delta t}}\)。

 

在国际单位制中，磁通量的单位“Wb”是按照法拉第电磁感应定律 E = k \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) 定义的：如果在一个闭合线圈中，1 s 内产生的感应电动势为 1 V，磁通量的变化量即为 1 Wb。可见 E、ΔΦ、Δt 的单位分别是“V”“Wb”“s”时，式 E = k \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) 中的 k 必然是 1。

 

\(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) 实际上表示 Δt 这段时间内磁通量的平均变化率，感应电动势 E 是 Δt 这段时间内的平均感应电动势，只有当 Δt 很小（Δt→0）时感应电动势 E 才是瞬时值，表示在某一时刻感应电动势的大小。

 

如果闭合回路由多匝线圈组成，磁通量变化时，每匝线圈中都产生感应电动势。由于匝与匝之间是相互串联的，整个线圈的总电动势就等于各匝所产生的电动势之和。令 Φ₁，Φ₂，…，Φ_n 分别为通过各匝线圈的磁通量，则

E = \(\frac{{\Delta {\Phi _1 }}}{{\Delta t}}\) + \(\frac{{\Delta {\Phi _2}}}{{\Delta t}}\) + … + \(\frac{{\Delta {\Phi _n}}}{{\Delta t}}\) = \(\frac{{\Delta ({\Phi _1} + {\Phi _1} \cdots  + {\Phi _n})}}{{\Delta t}}\) = \(\frac{{\Delta \Psi }}{{\Delta t}}\)

式中 Ψ = Φ₁ + Φ₂ + … + Φ_n 叫做磁通匝链数。如果穿过每匝线圈的磁通量相同，均为 Φ，则 Ψ = nΦ，感应电动势

E = \(\frac{{\Delta \Psi }}{{\Delta t}}\) = n \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\)

 

此处设置大家谈旨在深化对法拉第电磁感应定律中各个物理量的理解。

由平均电流 I = \(\frac{q}{{\Delta t}}\)，则 q = IΔt；根据闭合电路欧姆定律 I = \(\frac{E}{{R + {R_外}}}\)，此处线圈的电阻为 R，外电路电阻 R_外 = 0，所以 I = \(\frac{E}{R}\)，即 q = IΔt = \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) Δt；根据 n 匝截面积相同的线圈的法拉第电磁感应定律 E = n \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\)，则

q = IΔt = n \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\)×\(\frac{{\Delta t }}{{R}}\) = n \(\frac{{\Delta \Phi }}{{R}}\)

线圈的截面积 S 一定，磁通量 Φ = SB，则

q = n \(\frac{{\Delta \Phi }}{{R}}\) = nS \(\frac{{\Delta B }}{{R}}\)

由此可见，感应电动势 E 与磁通量变化的快慢有关，通过线圈横截面的电量 q 只与磁通量变化的多少有关。

 

按照磁通量发生变化原因的不同，感应电动势产生的机理可分为两种情况：

（1）导体在不变的磁场中做切割磁感线运动，产生的感应电动势叫做动生电动势；

（2）因磁场的变化而引起磁通量发生变化，产生的感应电动势叫做感生电动势。

动生电动势的起因来自洛伦兹力的作用，感生电动势的起因则源于另一种电场，英国物理学家麦克斯韦注意到了这种电磁感应现象的特殊性，他认为感生电动势是由变化着的磁场产生的，导线回路中的感生电动势只是这种电场的一种表现；即使没有任何导体存在，只要磁场随时间变化，这种电场也是存在的。

随时间变化的磁场产生的电场叫做涡旋电场或感生电场。涡旋电场的存在已为包括电磁波在内的许多实验事实所证实。理论上，涡旋电场的假说正是麦克斯韦电磁场理论的基本假设之一。

静电场和涡旋电场的比较参见本节资料链接。

 

此处设置实验型“自主活动”的目的是验证导线以不同的速度 v 垂直切割匀强磁场中磁感线时产生的感应电动势 E 与速度 v 成正比。改变线圈的匝数等效为改变导线的长度，又能验证感应电动势 E 与导线的长度 l 成正比，即通过此实验可以验证 E ∝ lv，写成等式为 E = klv。考虑到导线在大小一定的磁场中垂直切割磁感线，感应电动势还应该与磁感应强度成正比，得到在国际单位制中感应电动势为

E = Blv

 

能量守恒定律是自然界的普遍规律，也是物理学的重要规律。电磁感应现象的实质是不同形式能量转化的过程。产生和维持感应电流存在的过程就是其它形式的能量转化为感应电流电能的过程。

在电磁感应现象中外力克服安培力做功，在机械能减少的同时产生电能，产生的电能是从机械能转化而来的；当电路闭合时感应电流做功，电能转化为其他形式的能，如在纯电阻电路中电能全部转化为电阻的内能，即放出焦耳热，在整个过程中总能量守恒。

安培力做功的过程是电能转化为其它形式能量的过程，安培力做多少功，就有多少电能转化为其他形式能量。安培力做负功的过程是其它形式能量转化为电能的过程，克服安培力做多少功，就有多少其它形式能量转化为电能。

洛伦兹力对运动电荷不做功，为什么导体棒切割磁感线却可以产生感应电动势？参见本节资料链接。

 

此处拓展视野将学习内容扩展至导线运动方向和磁感应强度并不垂直的情形。

导体切割磁感线产生感应电动势的计算公式为

E = Blvsinθ

其中 v 与 l 垂直，θ 为 B 和 v 之间的夹角。

图 6 – 22 通过速度分解理解上述公式，如果将磁感应强度 B 分解为 B_∥ 和 B_⊥，也能得出相同的结果。

上式中如果 v 为瞬时速度，则求得的感应电动势 E 为瞬时电动势；如果 v 为平均速度，则感应电动势 E 为平均电动势。

 

发生电磁感应现象时常常伴随着其他现象发生。当闭合回路产生感应电动势时，电路中就会产生感应电流。感应电流的大小与电路的电阻有关。同时，感应电流在磁场中受到安培力的作用，通过感应电流将电磁感应定律与闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律和能量守恒定律联系起来。

 

示例 3 中的线框所受的安培力为 F_安 = BIl。线框通过匀强磁场区域时安培力做功为

W = 2F_安h = 2BIlh

= 2B \(\frac{{Blv}}{R}\) lh

= 2 \(\frac{{{B^2}{l^2}vh}}{R}\)

= 2mgh

线框通过匀强磁场区域过程中安培力做的功等于电流做的总功，也等于线框产生的内能，符合能量守恒定律。

问题与思考解读

1．参考解答：（1）闭合线圈垂直于磁场方向，磁感应强度逐渐增大，通过线圈的磁通量也增大，但单位时间内磁感应强度的增加量变小，通过线圈磁通量的增加量也变小，即磁通量的变化率减小，如图 1 中曲线（1）所示

图 1

（2）闭合线圈垂直于磁场方向，磁感应强度为零，通过线圈磁通量也为零。磁感应强度从零开始增大，单位时间内通过线圈的磁通量也增大，即通过线圈的磁通量的变化率不为零，如图 1 中曲线（2）所示，t = 0 时刻，磁通量为零，磁通量的变化率不为零。

（3）闭合线圈垂直于磁场方向，磁感应强度逐渐减小，通过线圈的磁通量也逐渐减小，但单位时间内磁感应强度的减小量变大，即通过线圈的磁通量的变化率变大，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势一定增大，如图 1 中曲线（3）所示。

（4）闭合线圈垂直于磁场方向，磁感应强度逐渐减小，通过线圈的磁通量也逐渐减小，但单位时间内磁感应强度的减小量变小，即通过线圈的磁通量的变化率变小，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势一定减小，如图 1 中 曲线图（4）所示。

命题意图：理解磁通量、磁通量的变化量、磁通量的变化率和感应电动势的物理意义。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

2．参考解答：因为 \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) = S \(\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\) = a² \(\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\) = 0.1² \(\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\) = 0.01 \(\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\)，所以磁通量随时间的变化趋势与磁感应强度随时间的变化趋势相同，但两者的单位和大小均不同，Φ – t 图像如图 2（a）所示。

在 0 ~ 2 s 内，感应电动势为负值，大小为 E₁ = n \(\frac{{\Delta {\Phi _1 }}}{{\Delta t}}\) = nS \(\frac{{\Delta {B_1}}}{{\Delta t}}\) = na² \(\frac{{\Delta {B_1}}}{{\Delta t}}\) = 200×0.1²×\(\frac{2}{2}\) V = 2 V。

在 2 ~ 4 s 内，感应电动势为正值，大小为 E₂ = n \(\frac{{\Delta {\Phi _2}}}{{\Delta t}}\) = nS \(\frac{{\Delta {B_2}}}{{\Delta t}}\) = na² \(\frac{{\Delta {B_2}}}{{\Delta t}}\) = 200×0.1²×\(\frac{{2 - ( - 2)}}{2}\) V = 4 V。

在 4 ~ 6 s 内，感应电动势为负值，大小 E₃ = E₁。E – t 图像如图2（b）所示。

图 2

命题意图：理解图像所表示的磁通量的变化量、磁通量的变化率和感应电动势。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅲ）；科学推理（Ⅲ）。

 

3．参考解答：导线框内磁通量减小，根据楞次定律感应电流的方向为顺时针方向；

\(\bar E\) = \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) = \(\frac{{B{L^2} - \frac{1}{2}B{L^2}}}{{\Delta t}}\) = \(\frac{{B{L^2}}}{{2\Delta t}}\)

命题意图：理解在匀强磁场中线圈包围磁场有效面积变化计算磁通量的变化率，进而计算感应电动势。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

4．参考解答：线圈内磁感应强度减小，根据楞次定律感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，由右 手螺旋定则可知线圈中感应电流的方向为顺时针方向，所以通过电阻的电流方向为 b→a。

根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为

E = n \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) = nπr₂² \(\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\) = nπr₂² \(\frac{{{B_1}}}{{{t_1}}}\)  = \(\frac{{n\pi r_2^2{B_1}}}{{{t_1}}}\)

根据闭合电路欧姆定律，感应电流为

I = \(\frac{E}{{R + 2R}}\) = \(\frac{{\frac{{n\pi r_2^2{B_1}}}{{{t_1}}}}}{{3R}}\) = \(\frac{{n\pi r_2^2{B_1}}}{{3{t_1}R}}\)

命题意图：计算由磁感应强度发生变化引起的多匝线圈的感应电动势，结合闭合电路欧姆定律计算感应电流。理解公式中的“面积”不是线圈的截面积，而是线圈包围磁场的面积。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

5．参考解答：如图 3 所示，导体棒与导轨接触点为 M 和N，“∠”型导轨的夹角为 θ，导体棒与导轨单位长度的电阻为 λ。则经过时间 t，导体棒和导轨之间的距离为 ON = vt，导体棒切割磁感线的长度为 MN = vt tanθ，倾斜部分导轨的长度为 OM = \(\frac{{vt}}{{\cos \theta }}\)。

图 3

感应电动势为        E = B（vt tanθ）v = （Bv² tanθ）t

感应电流为             I = \(\frac{E}{R}\) = \(\frac{{(B{v^2}\tan \theta )t}}{{\lambda (vt + vt\tan \theta  + \frac{{vt}}{{\cos \theta }})}}\) = \(\frac{{Bv\tan \theta }}{{\lambda (1 + \tan \theta  + \frac{1}{{\cos \theta }})}}\)

外力的功率为        P = P_电 = EI = （Bv² tanθ）t \(\frac{{Bv\tan \theta }}{{\lambda (1 + \tan \theta  + \frac{1}{{\cos \theta }})}}\) = \(\frac{{{ B^2}{v^3}{{\tan }^2}\theta }}{{\lambda (1 + \tan \theta  + \frac{1}{{\cos \theta }})}}\) t

回路中产生的焦耳热为        Q = I²Rt = P_电t = \(\frac{{{B^2}{v^3}{{\tan }^2}\theta }}{{\lambda (1 + \tan \theta  + \frac{1}{{\cos \theta }})}}\) t²

图 4 为感应电动势、感应电流、外力的功率和回路中产生的焦耳热随时间变化的关系

图 4

命题意图：理解导体切割磁感线产生感应电动势的相关概念，结合闭合电路欧姆定律分析电流、电功率和焦耳热随时间的变化规律。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

6．参考解答：（1）导线框的边长为 a = 0.20 m，其 dc 边刚进入磁场时产生感应电动势为

E = Bav = 1.0×0.20×0.10 V = 0.020 V

等效电路图为

导线框每条边的电阻 R = r = 1.0 Ω。感应电流大小为

I = \(\frac{E}{{3R + r}}\) = \(\frac{{0.020}}{{3 \times 1.0 + 1.0}}\) A = 5.0×10⁻³ A= 5.0 mA

感应电流的方向为 adcba。

在导线框进入磁场过程中 ad 边受到的安培力

F_Aab = BI(a − vt) = 1.0×5.0×10⁻³×(0.20 – 0.10t）N = (1.0×10⁻³ – 5.0×10⁻⁴t）N

（2）导线框进入磁场过程中感应电流产生的焦耳热

Q = I²(3R + r)t = I²(3R + r) \(\frac{a}{v}\) = (5.0×10⁻³)²(3×1.0 + 1.0)×\(\frac{{0.20}}{{0.10}}\) J = 2.0×10⁻⁴ J

（3）导线框进入磁场过程中通过导线的电量

q = It = I \(\frac{a}{v}\) = 5.0×10⁻³×\(\frac{{0.20}}{{0.10}}\) C = 1.0×10⁻² C

命题意图：计算由磁感应强度发生变化引起的感应电动势，综合应用闭合电路欧姆定律计算感应电流、焦耳热和电量，提高科学思维素养。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

7．参考解答：导体棒 ab 穿过磁场区域过程中，受到竖直向下的重力和竖直向上的安培力作用，应用动能定理，得

mgh − W_安 = \(\frac{1}{2}\) m (\(\frac{1}{2}\))² − \(\frac{1}{2}\) mv²

导体棒穿过磁场区域过程中产生的焦耳热

Q_总 = W_安 = mgh + \(\frac{3}{8}\) mv²

已知导体棒的电阻为 r = \(\frac{R}{2}\)，则

Q_总 = \({\bar I}\)²(R + r)t

Q_R = \({\bar I}\)²Rt

电阻 R 产生的焦耳热

Q_R = \(\frac{R}{R+r}\) Q_总 = \(\frac{2}{3}\) Q_总 = \(\frac{2}{3}\) mgh + \(\frac{1}{4}\) mv²

命题意图：根据电磁感应现象中的能量转化和守恒关系分析解决实际问题，应用动能定理和焦耳定律分析和计算，提高能量观念和科学思维素养。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

资料链接

静电场和涡旋电场的比较

	静电场	涡旋电场
相同	对电场中的电荷有作用力	对电场中的电荷有作用力
不同	由电荷激发	由随时间变化的磁场激发
	电场线不闭合的，它起始于正电荷，终止于负电荷	电场线是闭合的
	是保守力场	不是保守力场

 

洛伦兹力和感应电动势

教材第五章第三节叙述：由于洛伦兹力始终与带电粒子的速度方向垂直，洛伦兹力对运动电荷不做功。而导体棒切割磁感线产生感应电动势是由洛伦兹力提供，两者是否矛盾？

其实，本教材第五章第三节中所说洛伦兹力不做功是指洛伦兹力的合力不做功，这里所说的洛伦兹力做功是指洛伦兹力的一个分力做功，两者并不矛盾。洛伦兹力的作用并不是提供能量，而只是传递能量。

如图 6 所示，一段导体 MN 在磁感应强度为 B 的匀强磁场中以速度 v₁ 向右匀速运动，由于该导体在磁场中做垂直切割磁感线运动，因此该导线中产生感应电动势。由于该段导体与导轨组成闭合回路，因此回路中就有感应电流。导体中自由电子定向运动的方向与电流方向相反，设电子运动速度为 v₂，正是由于电子具有相对于导体的定向运动才形成了感应电流。同时导体内的电子还有与导体本身相同的运动速度 v₁，电子受到总的洛伦兹力垂直于合速度 v，所以总的洛伦兹力对电子不做功。

电子在匀强磁场中因具有运动速度 v₁ 而受到的洛伦兹力（所受合力的分力之一）

f₁ = ev₁B = e（vcosθ）B = evBcosθ

电子在匀强磁场中因具有运动速度 v₂ 而受到的洛伦兹力（所受合力的另一分力）

f₂ = ev₂B = e（vsinθ）B = evBsinθ

设导体从 NM 运动到 N′M′ 过程中，电子的位移为 s，则分力 f₁ 做功为

W₁ = f₁ssinθ = evBssinθcosθ

分力 f₂ 做功为

W₂ = − f₂scosθ = − evBssinθcosθ

由此可见洛伦兹力对电子做总功

W₁ + W₂ = 0

导体受到分力 f₂ 作用后，速度必然会逐渐降低，若要保持导体匀速运动，必须要有与分力 f₂ 大小相等方向相反的外力作用于导体，克服 f₂ 的阻碍作用而做功。外力克服阻力做正功输入机械能，再通过另一分力 f₁ 转化为感应电流的能量，即把机械能转化为电能。这也是发电机中能量转换的基本原理。