第五章 第三节 圆周运动

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图 5–23  摩天轮

 

如果物体运动的轨迹是圆周，我们就说物体在做圆周运动。当我们坐在图 5–23 所示的摩天轮上，从高空饱览美丽风光的同时，就正在做圆周运动。

在生产、生活和自然界中，许多过程都涉及圆周运动，例如，图 5–24（a）所示的家用洗衣机工作时转筒上的各点，图 5–24（b）所示的旋转餐厅的座椅，图 5–24（c）所示钟表上时针、分针、秒针上的各点等。

 

物体做圆周运动时，如果在任意相等时间内通过的弧长总是相等，这种运动叫做匀速圆周运动（uniform circular motion）。

做匀速圆周运动的物体每经过一段时间会重复之前的运动状态，匀速圆周运动具有周期性。因此，描述匀速圆周运动的方法与描述直线运动、抛体运动的方法相比，有自己的特点。

如图 5–25 所示，做匀速圆周运动的物体从 A 点运动到 B 点，可以用 A、B 两点之间弧长 Δs 与所用时间 Δt 的比来表示速度的大小，即

\[\color{#357A4A}{v = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}}}\]

当 Δt 足够小时，弧 AB 与线段 AB 几乎没有差别，Δs 就等于物体由 A 运动到 B 的位移大小，这时的 v 就是物体在这一位置的瞬时速度大小。

与所有曲线运动一样，物体做圆周运动时，它在任意位置的速度方向就是该位置圆周的切线方向，如图 5–26 所示。

物体做匀速圆周运动的速度大小不变，方向不断变化，因此，匀速圆周运动是变速运动，这里的“匀速”指的是速率不变，即速度大小不变。

 

如图 5–27 所示的小电扇转动时，每个叶片转得一样快，同一叶片上的各点也转得一样快，但是这些点的速度大小不一定相同。

可见，做圆周运动的物体既可看作沿着圆弧做曲线运动，也可看作绕圆心转动，仅用速度来描述圆周运动的快慢是不够的。物理学中用角速度（angular velocity）来描述物体转动的快慢。

如图 5–28 所示，做匀速圆周运动的物体从 A 点运动到 B 点，可以用圆弧 AB 所对应的圆心角 Δφ 与所需时间 Δt 的比来表示角速度大小。角速度用 ω 表示，则有

\[ \color{#357A4A}{\omega = \frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}}}\]

在国际单位制中，角度的单位是弧度（rad），时间的单位是秒（s），角速度的单位是弧度 / 秒（rad/s）。

做匀速圆周运动物体的角速度保持不变。

研究圆周运动时，为了区别于角速度 ω，速度 v 又可叫做线速度（linear velocity）。

 

 

匀速圆周运动具有周期性，做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期（period），用符号 T 表示。在国际单位制中，周期的单位是秒（s）。

技术上常用转速描述圆周运动的快慢。物体沿圆周运动的圈数与所用时间的比叫做转速，常用符号 n 表示。在国际单位制中，转速的单位是转 / 秒（r/s）。

与线速度和角速度相比，周期更容易被观察和测量，常用来比较圆周运动的快慢，周期越小，转动越快。

线速度、角速度、周期都可以描述匀速圆周运动的快慢。一个做匀速圆周运动的物体，设运动的半径为 r，则其做匀速圆周运动的周期 r 与角速度 ω、线速度 v 之间的关系为

\[ \color{#357A4A} {T = \frac{{2\pi }}{\omega }\;,\;T = \frac{{2\pi r}}{v}}\]

 

其运动的线速度与角速度大小的关系为

\[ \color{#357A4A} {v = \omega r}\]

 

 

示例  已知地球的半径 R = 6.37×10³ km，上海位于北纬 30° 附近。问：

（1）位于赤道上的物体随地球自转的角速度和线速度分别是多大？

（2）位于上海的物体随地球自转的线速度是多大？

分析：地球自转时，随地球一起运动的所有物体都在绕着地轴做匀速圆周运动，因此，它们的角速度、周期均与地球的相同。而线速度的大小则与物体所处位置的地理纬度有关，如图 5–29 所示。

解：（1）物体随地球自转的周期 T = 24 h。根据做匀速圆周运动物体的角速度与周期的关系，可得赤道上物体的角速度为

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{24 \times 3600}}\;{\rm{rad/s}} \approx 7.27 \times {10^{ - 5}}\;{\rm{rad/s}}\]

设赤道上的物体随地球转动的线速度为 v₁，运动半径为 r₁，则有 r₁ = R。根据做匀速圆周运动物体的线速度与角速度的关系可得

\[{v_1} = \omega {r_1} = 7.27 \times {10^{ - 5}} \times 6.37 \times {10^6}\;{\rm{m/s}} \approx 463\;{\rm{m/s}}\]

（2）设位于上海的物体随地球转动的线速度为 v₂，运动半径为 r₂，由上海所在纬度，则有 r₂ = Rcos30°。根据做匀速圆周运动物体的线速度与角速度关系可得

\[{v_2} = \omega {r_2} = 7.27 \times {10^{ - 5}} \times 6.37 \times {10^6} \times {\rm{cos30}}^\circ \;{\rm{m/s}} \approx 401\; {\rm{m/s}}\]

问题与思考解读

1．参考解答：两种说法均错误。根据 v = ωr 可知，线速度还与运动半径有关，角速度大的物体如果运动半径很小，线速度有可能小；根据 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 可知，物体做匀速圆周运动，周期越大，角速度越小。

命题意图：通过辨析，巩固对匀速圆周运动的线速度、角速度、周期之间关系的认识。

主要素养与水平：科学论证（Ⅱ）。

 

2．参考解答：如果客人指的是两个茶杯的角速度一样大，则这个判断正确；如果客人指的是两个茶杯的线速度一样大，则这个判断不正确。两个茶杯随转盘一起运动，角速度都与转盘的角速度相同，但由于运动的半径不同，所以两个茶杯运动的线速度大小不同。比较做圆周运动物体的快慢时，应该说明比较的是角速度还是线速度。

命题意图：讨论身边常见的情境有助于养成用物理知识理解身边事物的习惯。进一步理解线速度、角速度是从不同角度对圆周运动快慢进行描述的，培养从多角度看待事物的意识，增强运动的观念。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学论证（Ⅱ）。

 

3．参考解答：时针针尖每 12 h 运动一圈，秒针针尖每 60 s 运动一圈，所以时针针尖运动的周期大。根据 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 即可得到时针针尖的角速度小。

命题意图：建立匀速圆周运动的模型，关注身边的圆周运动，理解周期和角速度。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

4．参考解答：根据 T = \(\frac{{2\pi r}}{v}\) 可求得周期为 314 s。由 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 求得角速度为 0.02 rad/s。

命题意图：建立匀速圆周运动模型，运用公式计算周期和角速度。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）。

 

5．参考解答：（1）链轮与飞轮的齿数之比就是两轮的半径之比，r₁∶r₂ = 2∶1，链轮的转速与踏板的转速相同，为 n₁ = 1.5 r/s，其角速度 ω₁ = 2πn₁；传动中链轮边缘的线速度与飞轮边缘的线速度大小相等，即 ω₁r₁ = ω₂r₂；由后轮的周长 l 可求出其半径为 r₃ = \(\frac{l}{{2\pi }}\)，则自行车的行驶速度大小 v = ω₂r₃ = \(\frac{{{n_1}{r_1}l}}{{{r_2}}}\) = 2n₁l = 6 m/s。

（2）由 v = \(\frac{{{n_1}{r_1}l}}{{{r_2}}}\) 可知，r₁∶r₂ 取最大时自行车行驶速度最大，r₁：r₂ 取最小时自行车行驶速度最小，v_max = \(\frac{48}{15}\)n₁l，v_min = \(\frac{28}{28}\)n₁l，可得 \(\frac{{{v_{\max }}}}{{{v_{\min }}}}\) = \(\frac{16}{5}\)。

命题意图：从较为复杂的实际情境中建立匀速圆周运动模型，建议教师给学生有关自行车行驶速率与轮缘线速度大小之间关系的提示。通过分析、演绎的过程讨论自行车运动速率与链轮、飞轮各种组合的关系，培养科学思维，并为学期活动作铺垫。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

6．参考解答：我们观察近处的飞鸟和远处的飞机时，在同一段时间内，眼睛与飞鸟连线转过的角度大于眼睛与飞机连线转过的角度，据此得出鸟比飞机快的结论，这是用角速度来判断飞鸟与飞机的快慢。而飞机的飞行速度远大于飞鸟的飞行速度，这个速度指的是线速度。实际上，在人们的潜意识里，往往以观察者自身为中心，将物体绕自己运动的角速度作为依据，来判断物体运动的快慢。

命题意图：用学过的知识对生活中容易引起困惑的现象作出合理的解释，培养科学论证的能力。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

参考链接

圆周运动的角量描述

质点做圆周运动时，可以用角量来描述。

当一质点在 xOy 平面内绕原点 O 做半径为 R 的圆周运动时，其位置可以用质点的坐标 x、y 描述，由于 x² + y² = R²，x、y 两个量中只有一个是独立的，所以描述这样的运动只需一个坐标值即可。为方便描述，可以用原点 O 和质点之间的连线与 x 轴正方向之间的夹角 θ 来描述质点的位置。如图 6 所示，如果在时刻 t，质点在 A 点，半径 OA 与 x 轴成 θ 角，则 θ 就是质点在 t 时刻的角位置。如果在时刻 t + Δt，质点到达 B 点，半径 OB 与 x 轴成 θ + Δθ 角，那么质点在 Δt 时间内绕点 O 运动的角位置增量就是 Δθ。

与平均速度的定义类似，Δθ 与 Δt 之比就是 Δt 时间内质点绕点 O 运动的平均角速度，用 \(\bar \omega \) 表示，即

\[\bar \omega  = \frac{{\Delta \theta }}{{\Delta t}}\]

如果 Δt 趋近于零，相应的 Δθ 也趋近于零，而比值趋近于某一极限值，即

\[\omega  = \frac{{{ \rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}t}}\]

式中，ω 叫做 t 时刻质点的瞬时角速度（简称角速度），它是一个矢量，方向如图7所示。

设质点在某一时刻的角速度为 ω₀，经过时间 Δt 后，角速度变为 ω，Δω = ω – ω₀ 叫做这段时间内的角速度增量。Δω 与 Δt 之比叫做这段时间内质点绕点 O 运动的平均角加速度，用 \(\bar \alpha \) 表示，即

\[\bar \alpha  = \frac{{\Delta \omega }}{{\Delta t}}\]

如果 Δt 趋近于零，相应的 Δω 也趋近于零，而比值趋近于某一极限值，即

\[\alpha  = \frac{{{\rm{d}}\omega }}{{{\rm{d}}t}}\]

式中，α 叫做 t 时刻质点的瞬时角加速度（简称角加速度）。

角位移的单位是 rad（弧度），角速度的单位是 rad/s（弧度每秒），角加速度的单位是 rad/s²（弧度每二次方秒）。

质点做匀速圆周运动时，角速度 ω 是常量，角加速度 α 为零；质点做变速圆周运动时，角速度 ω 不是常量，角加速度 α 也可能不是常量，如果角加速度 α 为常量，就是匀变速圆周运动。