第3章 第1节 匀速圆周运动快慢的描述

圆周运动是很常见的运动，它有什么特点？我们该如何描述？本节将学习如何用线速度、角速度、周期、频率和转速等物理量来描述匀速圆周运动的快慢。

1．线速度

物体在做圆周运动时，可能时快时慢，也可能快慢不变。怎样描述物体做圆周运动的快慢呢？仔细观察钟表指针的转动，会发现指针上的每一点经过相等时间各自都会转过相等的弧长。我们把在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动称为匀速圆周运动（uniform circular motion）。匀速圆周运动是一种最简单的圆周运动。正常工作时，电风扇叶片、光盘（图 3-1）、齿轮等上面每一点的运动都可视为匀速圆周运动。

如何描述匀速圆周运动的快慢呢？

如图 3-2 所示，当自行车车轮匀速转动时，A、B 两点在相同时间内绕轴心转过的角度是一样的，但 B 点通过的弧长比 A 点通过的弧长更长，通常我们说 B 点比 A 点运动得快。物理学中，将做匀速圆周运动的物体上某点通过的弧长 s 与所用时间 t 之比称为匀速圆周运动的线速度（linear velocity），用符号 v 表示，即

\[v = \frac{s}{t}\]

显然，对某一确定的匀速圆周运动，同一点的线速度的大小在各个时刻都是相等的。

线速度是矢量，不仅有大小，而且有方向。线速度的方向是怎样的呢？

我们知道，做曲线运动的物体在某点的速度方向，是沿曲线在该点的切线方向。因此，圆周运动线速度的方向总是沿圆周的切线方向。例如，在高速转动的圆盘砂轮上打磨金属器件时，产生的火星沿着圆周的切线方向飞出（图 3-3）；下雨天转动雨伞时，水滴也是沿着圆周的切线方向飞出的。

做匀速圆周运动的物体，其上任意一点的线速度大小不变，但方向却时刻都在变化。例如，图 3-2 中，当车轮做匀速圆周运动时，A 点的线速度大小不变，但随着 A 点的转动，A 点的切线方向发生了改变，因此 A 点线速度的方向也发生了改变。

2．角速度

如图 3-4 所示，在自行车大、小齿轮轮缘上的 A、B两点贴上不同颜色的彩纸，当齿轮匀速转动时，在相同时间内，观察到 A、B 两点的彩纸通过的弧长相等，故这两点的线速度大小相等。同时我们还发现，B 点绕圆心转过的角度比 A 点的大，通常可以说，小齿轮转动得快。因此，也可以用半径转过的角度 φ 与所用时间 t 的比来描述物体转动的快慢（图 3-5）。物理学中，将半径转过的角度 φ 与所用时间 t 之比称为匀速圆周运动的角速度（angular velocity），用符号 ω 表示，即

\[\omega = \frac{\varphi }{t}\]

在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s。对某一确定的匀速圆周运动，角速度是不变的。

3．周期、频率和转速

物体做匀速圆周运动时，总是每隔一段相等的时间就重复原来的运动，我们称这样的运动为周期性运动。在自然界中，除了匀速圆周运动，还有一些运动也是周期性运动，如人的心跳和呼吸、钟摆的摆动、昼夜的更替、潮汐的涨落等。我们把周期性运动每重复一次所需要的时间称为周期（period），用符号 T 表示。匀速圆周运动的周期等于物体运动一周所用的时间。地球自转的周期是一天，而绕太阳公转的周期是一年，我们说地球的自转比公转快；钟表秒针的周期比分针和时针的周期短，我们说秒针比分针和时针转得快（图 3-6）。因此，周期也可用来描述匀速圆周运动的快慢：周期越短，运动越快；周期越长，运动越慢。

在物理学中，通常也用频率来描述周期性运动的快慢。在一段时间内，运动重复的次数与这段时间之比称为频率（frequency），用符号 f 表示。频率的大小等于周期的倒数，即f＝\(\frac{1}{T}\)，单位是赫兹，符号为 Hz。显然，频率越高表示运动越快，频率越低表示运动越慢。

在生产生活中，还常用转速来描述匀速圆周运动的快慢。例如，发电机、电动机转动的快慢就是用转速来表示的。转速是物体一段时间内转过的圈数与这段时间之比，用符号 n 表示，单位是转每秒（r/s）或转每分（r/min）。当转速 n 以转每秒为单位时，转速与频率大小相等，即 n＝f 。转速也是计算机硬盘（图 3-7）和光驱性能的重要指标。你知道现在硬盘和光驱的最大转速是多少吗？

4．线速度、角速度和周期的关系

线速度、角速度和周期都可用来描述匀速圆周运动的快慢。人们从不同的角度、运用不同的物理量来判断运动的快慢，会得出不同的结果。那么，这三个物理量之间有什么关系呢？

如图 3-8 所示，物体 P 沿半径为 r 的圆周做匀速圆周运动，周期为 T，在一个周期内转过的角度为 2π，转过的弧长为 2πr，这时的线速度和角速度的大小分别为

\[v = \frac{{2\pi r}}{T},\omega = \frac{{2\pi }}{T}\]

由以上两式可得出

\[v = r\omega \]

上式描述了线速度和角速度之间的关系。该式表明：在匀速圆周运动中，当半径一定时，线速度与角速度成正比；当角速度一定时，线速度与半径成正比；当线速度一定时，角速度与半径成反比。例如，在相互啮合的齿轮中，各齿轮轮缘的线速度 v 的大小相等，但半径 r 不同，因此角速度 ω 不同。

物理聊吧

在一些机器内部装有很多相互啮合的大小齿轮（图 3-9）。当机器转动时，有人说小齿轮比大齿轮转得快，也有人说它们的速度大小实际上是一样的。为什么会有不同的说法？你怎么看？

例题

常见的转动传递方式有皮带传动、链条传动、摩擦传动和齿轮传动。图 3-10 是一种皮带传动装置示意图，A、B 两点分别是两轮轮缘上的点，C 是 O₂B 连线的中点，大轮与小轮的半径之比为 2∶1。若皮带不打滑，试分别求出 A、B、C 这三个点的线速度、角速度和周期的比例关系。

分析

皮带不打滑，所以两轮轮缘上和皮带接触的 A、B 两点具有大小相等的线速度。又因为 B、C 在同一个转轮上绕同一轴转动，所以 B、C 两点具有相同的角速度。可从 A、B、C 三点运动的这些联系，结合线速度与角速度的关系求解。

解

A、B 具有大小相等的线速度，即 v_A∶v_B＝1∶1。

又因为 B 与 C 在同一个转轮上，所以 B、C 具有相同的角速度，即 ω_B∶ω_C＝1∶1。

再由 v＝rω 及 r_B＝2r_C 可得

\[{v_{\rm{B}}}:{v_{\rm{C}}} = 2:1\]

因此

\[{v_{\rm{A}}}:{v_{\rm{B}}}:{v_{\rm{C}}} = 2:2:1\]

由 r_B＝2r_A 及 ω＝\(\frac{v}{r}\)可得

\[{\omega _{\rm{A}}}:{\omega _{\rm{B}}} = 2:1\]

因此

\[{\omega _{\rm{A}}}:{\omega _{\rm{B}}}:{\omega _{\rm{C}}} = 2:1:1\]

由 T＝\(\frac{{2\pi }}{\omega }\)可得

\[{T_{\rm{A}}}:{T_{\rm{B}}}:{T_{\rm{C}}} = 1:2:2\]

讨论

计算结果表明，小轮的角速度大于大轮的角速度，小轮转动更快。小轮通过传动装置带动大轮能够降低转速。例如，电机的转速一般很快，为了得到适当的转速，通常电机通过传动装置带动大轮降低转速。如果大轮通过传动装置带动小轮，会怎么样呢？请结合生活中的例子进行分析。

策略提炼

挖掘一些隐含条件，弄清哪些物理量相等，是解决此类问题的关键。一般情况下，皮带传动的轮缘上各点具有大小相等的线速度，同轴转动的转轮上各点具有相同的角速度。

迁移

地球绕地轴自转示意如图3-11所示。设地球上两点A、B 的纬度分别是φ₁ 和φ₂ ，试分别求出这两点的线速度之比和角速度之比。

节练习

1．在匀速圆周运动中，保持不变的物理量是

A．速度        B．速率        C．角速度            D．周期

【BCD】

2．某传动装置如图所示。右轮的半径为 r，a 是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为 2r。b 点在小轮上，到小轮中心的距离为 r。c 点和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在转动过程中链条不打滑，下列说法正确的是

A．a 点与 b 点的线速度大小相等

B．a 点与 d 点的角速度大小相等

C．a 点与 c 点的线速度大小相等

D．b 点与 d 点的周期相等

【CD】

3．如图所示，某变速自行车有多个半径不同的链轮和多个半径不同的飞轮，链轮与脚踏共轴，飞轮与后车轮共轴。自行车就是通过改变链条与不同飞轮和链轮的配合来改变车速的。当人骑该车使脚踏板以恒定的角速度转动时，若不变换链轮，应如何选择飞轮才能使自行车行进的速度最大？请说明理由。

【解答】当人骑该车使用脚踏板以恒定的角速度转动时，若不改变链轮，应选择半径最小的飞轮才能使自行车行进的速度最大。因为飞轮和链轮通过链条传动时线速度大小相同，在线速度一定的情况下，飞轮半径最小时，角速度最大，从而使与其共轴的后轮获得最大的角速度，使自行车获得最大的行进速度。

4．若某飞机做匀速圆周运动的轨迹半径为 3 000 m，线速度为 150 m/s，则飞机运动的周期、频率、转速和角速度分别是多少？

【解答】T＝40π s，f＝\(\frac{1}{{40\pi }}\)Hz，n＝\(\frac{1}{{40\pi }}\)r/s，ω＝0.05 rad/s

5．有同学设计了测量玩具枪的子弹速度的方法。如图所示，直径为 d 的纸制圆筒以角速度 ω 绕轴 O 匀速转动，现把枪口对准圆筒，使子弹沿截面直径穿过圆筒。若圆筒旋转不到半周时，子弹在圆筒上留下 A、B 两弹孔，已知 OA、 OB 的夹角为φ，不计圆筒对子弹速度的影响，那么子弹的速度为多大？

【解答】v＝\(\frac{{d\omega }}{{\pi - \varphi }}\)

*6．如图所示，半径为 R 的水平圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动。若在圆心 O 正上方 h 处沿与半径 OA 平行的方向水平抛出一个小球，要使小球在圆盘上的落点为 A，求：

（1）小球做平抛运动的初速度；

（2）圆盘转动的角速度。

【解答】（1）v＝R\(\sqrt {\frac{g}{{2h}}} \)

（2）ω＝kπ\(\sqrt {\frac{{2g}}{h}} \)（k＝1，2，3…）

发布时间：2021/2/20 下午3:17:20  阅读次数：3102