第十章 第二节 电阻定律

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图 10–12  形形色色的电阻器

 

如图 10–13 所示，在用伏安法测一根细铁丝的电阻时，我们发现，将其两端直接接入电路和将铁丝对折头尾相连再接入电路，两次测得的电阻值不同。若将细铁丝换成形状相同的细铜丝，测得铜丝的电阻值与铁丝的也不同。我们知道，电阻（resistance）是一个物理量，表示导体对电流阻碍作用的大小，通常用 R 表示；电阻是导体本身的一种特性，不同的导体，电阻大小一般不同；电阻越大，表示导体对电流的阻碍作用越大。同样的铁丝为什么两次测量的电阻值不同呢？相同形状的铁丝与铜丝的电阻值为什么又不同呢？

1．研究金属导体电阻与长度的关系

采用粗细均匀的长金属电阻丝，按如图 10–14 所示的电路连接。不断改变导线与电阻丝

 

的接触点 A 的位置，依次记录电压表、电流表的示数及连入电路的电阻丝的长度 L，随后根据电压表、电流表的示数计算连入电路部分的电阻丝的电阻值 R，最终绘制 R–L 图像，判断导体电阻与长度的关系。

2．研究金属导体电阻与横截面积大小的关系

采用材料及长度相同、横截面积不同的电阻丝，分别接入如图 10–15 所示的电路 a、b 两端。记录电压表及电流表的示数，计算出电阻丝阻值 R，绘制电阻丝阻值 R 与横截面积 S 的 R–S 图像，从而判断导体电阻与横截面积间的关系。

3．研究金属导体的电阻与材料的关系

采用横截面积、长度相同但材料不同的金属电阻丝，分别连入如图 10–15 所示的电路 a、b 两端。通过记录电压表、电流表的示数，计算电阻丝阻值 R，判断材质是否影响电阻阻值。

 

实验表明：在温度不变时，导体的电阻 R 与导体的长度 L 成正比，与导体的横截面积 S 成反比，与构成它的材料有关，即

\[\color{#975F85}R = \rho \frac{L}{S}\]

这就是电阻定律（law of resistance）。式中 ρ 叫做材料的电阻率（resistivity），电阻率的单位是欧姆·米，符号为 Ω·m。不同材料的电阻率 ρ 是不同的，它的数值是由导体的材料性质所决定的，反映了材料的导电性能。在一定的温度下，对同一种材料而言，ρ 不变。如表 10–2 所示为一些常见导体材料在温度为 20 ℃ 时的电阻率。

表 10–2  一些常见导体材料在温度为 20 ℃时的电阻率

导体	电阻率 ρ/(Ω·m)	导体	电阻率 ρ/(Ω·m)
银	1.6×10−8	铁	1.0×10−7
铜	1.7×10−8	汞	9.6×10−7
铝	2.9×10−8	锰铜合金*	4.4×10−7
钨	5.3×10−8	镍铜合金**	5.0×10−7
铂	1.0×10−7	镍铬合金***	1.0×10−6

 

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示例  一根长 L = 10 m 的铁丝，质量 m = 0.156 kg。试求其在温度为 20 ℃ 时的电阻。（铁的密度 D = 7.8×10³ kg/m³）

分析：由电阻定律公式 R = ρ \(\frac{L}{S}\) 可知，若求铁丝的电阻 R，必须知道铁丝的电阻率 ρ、长度 L 和横截面积 S。其中 ρ 可以由表 10–2 查得，L 已知，S 则要通过铁丝的质量 m、密度 D 和长度 L 来求得。

解：设铁丝的体积为 V，横截面积为 S，由 m = DV = DSL 得

\[S = \frac{m}{{DL}}\]

将上式代入电阻定律公式，则铁丝的电阻

\[R = \rho \frac{{D{L^2}}}{m} = \frac{{1.0 \times {{10}^{ - 7}} \times 7.8 \times {{10}^3} \times {{10}^2}}}{{0.156}}\;\Omega = 0.5\;\Omega \]

前面讨论电阻和电阻率时我们都假定“温度不变”，那么温度对导体的电阻有何影响呢？下面我们就先来做一个实验。

 

从 I–U 图线不是一条直线可知，电阻不是一个常数。由实验可知，随着流过小灯泡的电流的增加，小灯泡灯丝的温度逐渐升高。温度对灯丝的电阻存在影响，灯丝温度变化时，它的电阻发生了变化。从实验获得的图线可知，灯丝电阻随温度升高而增大。小灯泡的灯丝在正常发光时的电阻值比不发光时大很多。电阻随温度的变化主要是由于导体材料的电阻率随温度发生了变化。尽管如此，在中学物理中，除非特别指出，一般不考虑温度对电阻变化的影响。

利用金属的电阻跟温度的关系，可以制成电阻温度计。通常用铂电阻丝做成的温度计叫做铂温度计，它比汞温度计更精确，且测量范围更广。

电阻器（resistor）是用导体材料制成的、在电路中对电流起一定阻碍作用的电子元件，在日常生活中也常常被直接称为电阻。人们根据电阻定律，设计生产出各种各样的电阻器（图 10–12）来满足社会生产生活实际需要。作为重要基础电子元件，电阻器在工业生产中有着重要而且广泛的应用。

本节编写思路

本节从各种各样的电阻器引入，过渡到影响金属导体电阻因素的研究，落实课标“3.2.2  通过实验，探究并了解金属导体的电阻与材料、长度和横截面积的定量关系”的要求。

随着电阻定律的得出，学生经历了完整的科学探究过程。要重视“假设”环节的落实，然后通过实验进行验证，实验时体现控制变量的思想方法。

通过“自主活动”，了解温度对导体电阻的影响；通过“STSE”，了解超导的相关知识，拓展学习视野。

正文解读

节首图展示了若干种类的电阻器，拓展学生视野。电阻器往往被简称为电阻，而电阻又被用作一个物理量。注意二者的区别。与此类似的还有电容、电感。

 

此处“大家谈”是为后面的教学内容做铺垫。教学时，注意引导学生提出“假设”。从某种意义上来说，所有的实验都是验证性实验，除了验证已知规律外，还可以验证头脑中的假设。假设的提出必须基于一定的依据。此处可引导学生根据以往学习的知识提出导体电阻大小可能与长度和面积有关。

以下有关假设的依据可以作为教学参考：

移动滑动变阻器的滑片可以改变它的电阻，这说明导体的电阻跟它的长度有关（长度越长，电阻越大）；传统熔丝的粗细不同，规格不同，这说明导体的电阻跟它的横截面积有关（横截面积越大，电阻越小）；电线常用铜丝制造，而不用铁丝，说明导体的电阻跟它的材料有关。

对于假设的实验验证，采用教师演示实验的方式。如果学校条件允许，也可以在教学时让学生进行实验。该实验过程为后续的“测量金属丝的电阻率”学生实验打下了基础。

 

此处“大家谈”旨在引导学生辨析电阻和电阻率两个概念。

1．定义不同。电阻用电压和电流的比值 U/I 来定义，即 R = \(\frac{U}{I}\)。电阻率是描述材料导电性能的物理量。某种材料的电阻率数值上等于单位长度、单位横截面积该材料圆柱体的纵向电阻。

2．物理意义不同。电阻值的大小表示的是导体对电流阻碍作用的大小，是导体本身的一种性质。导体的电阻越大，对电流的阻碍作用就越大。电阻率的大小表示的是材料的导电性能的好坏，是材料本身的一种性质。材料的电阻率越大，其导电性能就越差。

3．二者关系。依据公式 R = \(\frac{{\rho L}}{S}\) 可知：长度 L 相同、横截面积 S 相同时，电阻率 ρ 大的材料制成的导体，其电阻 R 越大。所以，在制作定值电阻时，应该用电阻率大的材料（灯丝、电炉丝也是如此）；在制造导线时，应选用电阻率小的材料。

 

此处的“自主活动”目的是通过实验展示出电阻随温度改变而改变的现象，可以采用教材给出的方案，也可以采用加热电阻观察电路电流变化等其他方案。

在教材图 10 – 17 中，随着电压的不断增加，图线出现了弯曲，根据电阻 R = \(\frac{U}{I}\)，可知图像中任何一点与原点的连线斜率表示电阻阻值 R 倒数的大小，即 \(\frac{1}{R}\)。由图可知，随着电压的不断增加，小灯的电阻阻值也不断增加。在教学中可以指导学生讨论电阻阻值随电压的增加的变化情况。

电路元器件中有一类被称为线性元件，其伏安特性曲线是一条过坐标原点的斜线，即满足两端电压与电流成正比关系。电路元器件中电压与电流为非线性关系的则称为非线性元件，常见的非线性元件有二极管、三极管、热敏电阻和光敏电阻等，了解它们的伏安特性有助于电路设计时的选择。

问题与思考解读

1．参考解答：如果插头和插座的接触不良，接触面很小，根据电阻定律，截面积小处导体的电阻较大，则会在此处产生较大的热量；也可能是接触面金属氧化，导致电阻率升高，电阻增大，在此处产生较大的热量。

命题意图：引导学生观察生活现象，并运用所学知识解释现象。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

 

2．参考解答：1 m

命题意图：学会查表获取电阻率的数据，会使用电阻定律进行相关物理量的求解计算。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

 

3．参考解答：ABCD – 接线柱；E – 金属杆；F – 瓷筒；G – 金属丝；H – 支架；P – 滑片。滑片触头滑动的时候，接入电路中的导体长度近似连续变化，从而实现电阻连续变化。

命题意图：让学生更加了解滑动变阻器的结构，破解滑动变阻器接入电路的难点。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

 

4．参考解答：过原点分别连接 a、b、c、d 四个点的直线，根据直线的斜率表示电阻的大小可知，a、b 两电阻的大小最为接近。

命题意图：了解伏安特性曲线的物理意义。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

5．参考解答：镍铜合金

命题意图：巩固串并联电路特点、电阻定律等内容。

主要素养与水平：模型建构（I）；科学推理（I）；科学论证（Ⅱ）。

 

6．参考解答：由于体内脂肪几乎不导电，而肌肉和水分等身体成分则容易导电，所以脂肪秤可以通过测量人体生物电阻来计算体内脂肪、水分以及其他组织成分的比率。

命题意图：利用所学知识了解生活中科技产品的原理，进一步激发学习兴趣。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

资料链接

金属电阻率与温度的关系

实验表明，纯金属的电阻率会随温度变化而变化。在 0 ℃ 附近，当温度的变化范围不大时，电阻率与温度之间近似地存在着如下的线性关系：

ρ = ρ₀（1 + αt）

式中 ρ 表示金属在 t ℃ 时的电阻率，ρ₀ 表示金属在 0 ℃ 时的电阻率。不同材料的温度系数 α 不同，大多数常见金属的 α 值在 0.003 / ℃ 到0.007 / ℃ 之间。

在室温下，金属导体的电阻率约为 10⁻⁸ ~ 10⁵ Ω·m；绝缘体材料的电阻率大于 10⁸ Ω·m；半导体材料的电阻率介于两者之间，为 10⁻⁵ ~ 10⁸ Ω·m。半导体的电阻率随温度变化的规律与金属导体大不相同。在常温附近，半导体的电阻率一般随温度的升高而急剧减小，而且变化也不是线性的。

量子理论对电阻的解释概要

20 世纪物理学飞速发展的一个重要方面便是将量子力学应用于固体的研究，关于电导的量子理论是典型的成果之一。

量子理论应用于固体，发展出能带理论，解决了固体中电子能量状态的问题，从而奠定了用量子理论研究固体物理性质的基础。我们知道对孤立原子而言，核外电子分布在一系列分立的能级上；由低到高，电子按量子力学的泡利不相容原理占据各能级。在固体中，由于原子间存在较强的相互作用，原子能缀“分裂”成一定宽度的能带。为了便于理解，我们来考察最简单的氢分子。氢分子由两个氢原子组成。氢原子的核外只有一个电子，处在 1 s 能级上。当两个氢原子组成氢分子时，由于原子间距离较近，两个原子的 1 s 波函数会彼此交叠，原子间存在相互作用，从而使 1 s 能级分裂成两个能级（通常称为分子轨道）：一个是能量较低的成键轨道，一个是能量较高的反键轨道。两个电子都占据成键轨道，一个自旋向上，一个自旋向下。对于由数密度约 10²⁹ / m³ 的原子组成的固体，原子能级也要分裂成密密麻麻距离极小的能级，形成所谓的能带。每个原子能级对应一个能带，能带宽度随原子能级高低而不同。对内层原子能级展宽而成的能带而言，由于相邻原子间内层电子波函数交叠较少，能带较窄，甚至类似原子能级；而外层电子能级展宽而成的能带较宽，可达电子伏特的量级。每个能带里的能级数都和固体中的原子数相等，可见能级分布之密；也是所以称为能带的原因。固体中的电子由低到高占据能带中的能级，因此这些能带又称许可带。相邻许可带之间存在电子不能占据的能量范围，称为禁带。实际情形能量较高的许可带的能量也可能彼此交叠，呈现比这里介绍的简单图画更为复杂的情形。

量子理论认为占据许可带能级的电子可以一定的速度在整个固体里运动而不束缚于一个特定的原子核附近。但是，在一个被电子占满的许可带（满带）里，如有一个向某方向运动的电子，必相应地有一个以大小相同的速度向相反方向运动的电子，从而对电流的贡献彼此抵消。于是，我们将这种情形简称为满带电子不导电。对固体而言，在温度不太高时能量较低的许可带都是满带；只有价电子占据的能带（称为价带）可能不满。如果电子填充的最高的能带价带也是满带，这样的固体便不能导电，这就是绝缘体。如果价带虽是满带，但和上面最靠近的一个许可带之间隔开的禁带不太宽，价带上部能量较高的电子有可能通过热激发等过程跃迁到上面的许可带，使这两个许可带都成为部分被占据的能带而能导电，这就是半导体的情形。对于金属，价带是被部分占据的，从而使金属成为能导电的导体。这就是能带论对固体具有不同电导率的解释。

在有限温度下，金属表现出现一定的电阻，经典理论认为这是由于自由电子和晶体原子的碰撞。但量子理论认为如果晶体中的原子实严格按周期性规律排列，电子在其中运动状态不会改变，即是不受散射的。用经典理论看就是电子不遭遇碰撞，犹如水下虽然礁石密布，但游鱼依然随心所欲畅游其中不会撞得头破血流。经典的电子论认为即使原子实严格按周期性排列，只要挡在电子前面照撞不误。而且，带负电的电子如真的和带正电的原子实相撞会中和成中性原子而使导电的自由电子减少。这也是经典的电导理论的困难。量子理论认为，实际的晶体都存在散射因素，使电子运动的漂移速度不会持续增加而在恒定电场作用下达到稳定的数值，从而表现一定的电阻率；严格周期性的原子排列产生对电子的严格周期性势场，在周期场中运动的电子不受散射，因此这里的散射因素就是指对严格周期性势场的偏离。这种偏离主要来自两种物理因素。一是存在杂质，杂质原子和母体金属原子不同，引进的势场也不同，从而造成对严格周期场的偏离；另一是我们熟知的金属原子的热运动，就是原子在其平衡位置附近的振动，称为晶格振动。晶格振动使原子偏离平衡位置，电子经受的势场偏离严格周期场。而且，温度愈高振动愈烈，对周期场的偏离愈大，对电子散射愈甚，电阻愈高。这就是熟知的金属电阻率要随温度上升而增高。

以上我们的讨论实际上认为金属中的每个价电子都对电导有贡献。但量子理论认为，其实只有少量能量处于费米能级（如有一电子能级的能量和费米能级相等，该能级为电子占据的概率就是 1/2。对金属而言，在绝对零度，低于费米能级的电子能级全被电子占满，而费米能级以上的电子能级全空）附近的电子对电导有贡献，因为只有费米能级附近能量较高的电子有可能改变其能量状态，才有可能从外场吸收能量并对电导作出贡献。计算表明这部分电子只占电子总数约亿分之一，但每个电子的贡献都很大，其余百分之 99.999 999 的价电子对电导几无影响。