第 3 章 第 2 节 电阻

我们知道，导体的电阻与导体的长度、横截面积及材料有关。那么，导体的电阻与这些因素有怎样的定量关系呢？本节我们将学习电阻公式及电阻的应用。

1．导体电阻与相关因素的定量关系

测量导体电阻的方法有多种。常用的方法是伏安法测电阻，即用电压表和电流表分别测出导体两端的电压和导体中的电流，由公式 R =  求出导体的电阻。下面，我们通过实验来探究导体的电阻与导体的长度、横截面积及材料的定量关系。

实验与探究

探究电阻与相关因素的关系

首先探究导体电阻与导体长度的关系。实验前需准备一组横截面积和材料都相同的金属导线。按图 3 – 6 所示连接电路，将导线接入图中 A、B 两端点，读出电压表和电流表的示数，算出这根导线的电阻。把两根相同的导线串联，接入电路的 A、B 两点，再读出电压表和电流表的示数，算出两根导线串联时的电阻。

图 3 – 6 伏安法测电阻电路图

再串联第三根、第四根……算出相应的电阻。由此得到电阻大小与长度的定量关系是什么？

将若干长度和材料都相同、横截面积不同的导线，分别接入图中 A、B 两点进行测量，可得到电阻大小与横截面积的关系是什么？

若只改变导线的材料，得到的结论是什么？

大量精确的实验表明，导体的电阻 R 与其长度 l 成正比，与其横截面积 S 成反比，还与导体的材料有关，即

\[R = \rho \frac{l}{S}\]

这就是电阻与其影响因素的定量关系，通常称为电阻公式，也习惯称它为电阻定律。式中的比例系数 ρ 是反映材料导电性能的物理量，称为材料的电阻率（resistivity）。在国际单位制中，式中 R 的单位是欧姆，简称欧，符号为 Ω； ρ 的单位是欧姆米，符号为 Ω·m。

实际上，导线的电阻不仅与其长度、横截面积和材料有关，还与温度有关。通常，金属材料的电阻率一般会随着温度的升高而变大，但绝缘体和半导体的电阻率大多会随着温度的升高而减小。

研究导体电阻的变化规律，可在导体两端加不同电压，测出通过导体的电流，以横坐标表示电压，纵坐标表示电流，画出 I-U 图像，根据图像来分析电阻的变化。这样的 I-U 图像称为导体的伏安特性曲线。图 3-7 是导体 A、B 的伏安特性曲线，都是通过原点的直线，直线的斜率等于导体电阻的倒数。具有这种伏安特性的电学元件称为线性元件。金属导体的伏安特性曲线一般是线性的，但半导体和气态导体的伏安特性曲线是非线性的。

物理聊吧

图 3-8 是某次实验得到的小灯泡的伏安特性曲线。观察曲线，你能确定小灯泡的电阻随电压怎样变化吗？为什么会发生这样的变化？请与同学交流你的看法。

例题

如图 3-9 所示，把一个长方体铜柱的 a、b 端，c、d 端，e、f 端分别接入电路，已知其电阻率为 ρ_铜，计算接入电路中的电阻分别是多大。

分析

由题意可知，导体铜柱的长度和横截面积可直接得出，铜的电阻率已知，因此可直接用电阻公式计算电阻。但接入方式不同，导体的长度和横截面积是不同的。

解

当接入 a、b 端时，电阻 R_ab = ρ_铜 \(\frac{l}{{mn}}\)；

当接入 c、d 端时，电阻 R_cd = ρ_铜 \(\frac{m}{{ln}}\)；

当接入 e、f 端时，电阻 R_ef = ρ_铜 \(\frac{n}{{lm}}\)。

讨论

从以上计算可以看出，一定材料、一定几何形状的导体的电阻还与其接入电路的具体方式有关。

策略提炼

在运用电阻公式分析问题时，要正确判断导体两个接入端之间的距离为导体长度，与长度方向垂直的截面为横截面。

迁移

在上题中，如果已知铜的电阻率 ρ_铜 = 1.7×10⁻⁸ Ω·m，m = 2 cm，n = 4 cm，l = 8 cm，请分别计算题中三种接入方式的电阻大小。若将此长方体铜柱重新熔制成一个正方体，其相对的两端面间电阻又为多大？

解答：（1）R_ab = 1.7×10⁻⁶ Ω，R_cd = 1.06×10⁻⁷ Ω，R_ef = 4.25×10⁻⁷ Ω，R_ab > R_ef > R_cd。

（2）R = 4.25×10⁻⁷ Ω

2．电阻的应用

电阻（图 3-10）在生产生活中有着广泛的应用。

收音机的音量调节、音响混频控制台上可滑动的声音控制系统、一些台灯的亮度调节等，都要用到可变电阻。

高压电线绝缘子长期暴露在空气中，会因沉积灰尘污垢而漏电。所以，要在绝缘子表面涂一层釉，使之光滑而不易沾染污垢。同时，把它制成有一节节皱褶的形状，可增大漏电电流沿表面流过的距离，增大绝缘子的电阻，减少漏电（图 3-11）。

人体实际上也是一个可变电阻。干燥的皮肤在低电压下电阻很大；当电压较高、皮肤潮湿时，人体电阻会变小，触电后电流很容易达到危险水平，对人体造成伤害甚至导致死亡。

科学书屋

贴片电阻

随着技术的飞速发展，电子产品的集成化程度越来越高，对元器件的体积、性能等提出了更高要求。贴片电阻由于其体积小、稳定性好、精度高等优点，已逐步取代色环电阻等传统电阻。贴片电阻的阻值常用三位（或四位）数字表示（图 3-12），例 如，“103” 表示“10 000 Ω”，“5 102” 表示“51 000 Ω”。若有小数，则用 R 表示小数点位置，如“4R3”表示“4.3 Ω”，“R100”表示“0.100 Ω”。

例题

某滑动变阻器的结构如图 3-13 所示，A、B 是绕在绝缘筒上的电阻丝的两个接线柱，C、D 是金属杆的两个接线柱。电阻丝上能够与滑片 P 接触的地方的绝缘漆已被刮去，使滑片 P 能把金属杆与电阻丝连接起来。把 A 和 C 接线柱接入电路中，当滑片 P 由 B 向 A 移动时，接入电路的电阻将由大变小，这是为什么？你是否可以设计出另外几种连接方案，使滑片 P 移动时接入电路的电阻由大变小？

分析

根据滑动变阻器的结构特点，金属杆的电阻可忽略而视为导线。当将 A、B 中的一端与 C、D 中的一端相连时，移动滑片 P 可改变接入电路中的电阻丝的长度，从而改变电阻。滑动 P 时，接入电路中的电阻丝越长，则接入电路中的电阻就越大，反之越小。

解

将 A 和 C 接线柱接入电路中，实际接入电路的电阻为 PA 段，当 P 向 A 端滑动时，接入电路中的电阻丝变短，电路中的电阻由大变小。

同理，还有三种连接方案可达到这一目的：①将 A 和 D 接线柱接入电路中，P 向 A 滑动；②将 B 和 C 接线柱接入电路中，P 向 B 滑动； ③将 B 和 D 接线柱接入电路中，P 向 B 滑动。

讨论

只有当滑动变阻器的滑片滑动时，接入电路中的电阻丝长度发生了改变，滑动变阻器接入电路的方式才是正确的。请判断：只将 C、D 端接入电路是否正确？只将 A、B 端接入电路呢？

策略提炼

滑动变阻器通过改变接入电路中电阻丝的长度来改变电路中的电流或电压。凡是不能改变滑动变阻器接入电阻丝长度的连接方法都是不正确的。

若滑动变阻器串联在电路中，为了保护电路，在电路接通前，通常要移动滑动变阻器的滑片使接入电路的阻值最大。

迁移

滑动变阻器在使用中要正确连接并将滑片置于合适的位置。如果上题中滑动变阻器上A、B 间缠绕电阻丝部分的绝缘筒长度为 l，电阻丝总电阻为 R，现电路中需接入 \(\frac{1}{4}\)R～ \(\frac{3}{4}\)R 的可调电阻，应如何连接接线柱和调节滑片？

节练习

1．电炉、电阻器的电阻丝一般用电阻率大的合金来制作，而引出线一般用电阻率小的铝线或铜线，这是为什么？高压输电线一般用铝线而不用铜线，这又是为什么？

参考解答：根据电阻定律，当导线横截面积、长度一定时，电阻率越大，电阻越大。电炉的电阻丝需要的是发热，所以要用电阻率大的合金。不能让引出线发热，所以引出线要用电阻率小的线。

虽然铝的电阻率比铜大，但大得不多；用铝的造价比用铜的造价低得多；铝的密度比铜小得多，相同体积的铝线的重量就要小得多，架设线路时要容易得多，铺设线路的设施成本要小得多。多方面的因素综合考虑后，高压输电线一般用铝线，而不用铜线。

2．一根粗细均匀的细铜丝，原来的电阻为 R，则

A．截去 \(\frac{1}{3}\)，剩下部分的电阻变为 \(\frac{1}{3}\)R

B．均匀拉长为原来的 2 倍，电阻变为 2R

C．对折后，电阻变为 \(\frac{1}{4}\)R

D．均匀拉长，使截面积为原来的 \(\frac{1}{2}\)，电阻变为 4R

参考解答：CD

3．两电阻 R₁、R₂ 的伏安特性曲线如图所示，可知电阻大小之比 R₁∶R₂ 等于

A．1∶3        B．3∶1        C．1∶ \(\sqrt{3}\)          D．\(\sqrt{3}\) ∶1

参考解答：A

4．一根铜导线长度是 60 cm，横截面积是 0.5 mm²，它的电阻是多少？一根输电用的铜导线长度是 10 km，横截面积是 1 cm²，它的电阻又是多少？为什么做电学实验时可以不考虑连接用的导线的电阻，而输电线路需要考虑导线的电阻？（已知常温下 ρ_铜 = 1.7×10⁻⁸ Ω·m）

参考解答：R_铜 = 2.04×10⁻² Ω，R_铜′ = 1.7 Ω

输电线路距离远，长度大，有很大的电流通过，即使电阻较小，由 P = I²R 可知，将会在线路上产生较多热，消耗电能且影响供电质量和线路安全。而电学实验用的导线较短，电阻很小。所以做电学实验时可以不考虑连接用的导线的电阻，而输电线路需要考虑导线的电阻。

5．如图所示，一只鸟站在一条通电的铝质裸导线上，导线的横截面积为 185 mm²，导线上通过的电流为 400 A，鸟两爪间的距离为 5 cm，铝的电阻率 ρ = 2.9×10⁻⁸ Ω·m。求鸟两爪间的电压。在解题过程中你对小鸟的电阻做了怎样的近似处理？为什么？

参考解答：U = 3.12×10⁻³ V

在解题过程中，对小鸟的电阻做了断路处理，因为小鸟的电阻比小鸟两爪间铝线的电阻大得多。

课堂练习或知识点的检测

关于电阻率，下列说法正确的是

A．材料的电阻率决定导体的电阻，横截面积和长度材料

B．材料的电阻率会随温度的变化而变化

C．材料的电阻率等于单位长度的电阻

D．电阻率的国际单位为 Ω·m

参考解答：BD

发布时间：2022/4/18 下午4:50:38  阅读次数：2587