第七章 第二节 功率
图 7–13 “复兴号”动车组
可结合“STSE”的相关内容，介绍“复兴号”与“和谐号”的研发过程、相关技术参数等。提醒学生注意，功率是描述动车组性能的重要参数之一。
本节编写思路
本节以常见的徒步上楼与乘电梯上楼的情境引出做功的快慢。
通过“自主活动”运用证据分析与论述的过程，建立功率的概念。“拓展视野”介绍功率常用单位“马力”建立的历史。通过“大家谈”运用类比方法，由平均功率的概念得到瞬时功率概念，再由“助一臂”总结平均值与瞬时值的一般关系。借助教材图7–13和“STSE”介绍，由国产机车功率的提升展示我国铁路技术的发展。最后讨论机械工作时的实际功率和额定功率，并在“拓展视野”中介绍汽车发动机功率的实际消耗情况。
在学习过程中经历对变力作用下物体运动情况的分析，有助于提高学生模型建构和科学推理的能力。
人类设计、制造机械的主要目的是借助机械代替人力完成做功的过程。家住大楼高层的人们一般都乘坐电梯上楼，当然也可以徒步登楼，这两种方式克服重力做功相等，但乘电梯上楼更快捷，说明克服重力做功更快。驾驶汽车或骑自行车通过相同的距离，汽车发动机所做的功较多，所需的时间却更少，说明汽车发动机做功更快。
功率的概念在初中已有涉及。“登楼”的例子中，克服重力做功相同，通过生活经验可以判断两种方式的时间长短，并直接判断做功的快慢关系。而驾驶汽车和骑自行车通过相同距离的时间差异显而易见，尽管两种方式中功和时间都不相同，但学生还是较容易判断出做功的快慢。
生活中的大量事例表明，在做功的过程中，做功的快慢也是人们关注的问题。
建筑工人在 1 min 内将质量为 20 kg 的水泥搬到 6 m 高的三楼；工地上的起重机在 20 s 内将质量为 1 t 的建筑材料匀速提升 10 m。比较建筑工人和起重机做功的快慢并简述理由。
此处设置“自主活动”的目的是在引入部分的基础上，通过定量的比较判断做功快慢。
时间相等的情况下，做功越多表示做功越快；做功相同的情况下，所花时间越短，做功越快。在初中我们已经知道，做功的快慢用功率（power）描述。一般情况下，做功可
图 7–14 瓦特
（J．Watt，1736—1819）
能时快时慢，这时可以用一段时间内做的总功 W 与做功时间 t 的比来反映做功的快慢，这个比叫做平均功率。平均功率用 \(\bar P\) 表示，即
\[\color{#357A4A}{\bar P = \frac{W}{t}}\]
平均功率表示做功的平均快慢，类似于用平均速度表示物体位置变化的平均快慢。在国际单位制中，功的单位是 J，时间的单位是 s，所以功率的单位是 J/s。为了纪念英国发明家瓦特（图 7–14），将功率的单位命名为“瓦特”，用符号 W 表示，即 1 W = 1 J/s。功率的常用单位还有千瓦（kW）。功率是标量。
18 世纪后期，瓦特为了测定蒸汽机功率，引入“马力”这一功率单位。当时，瓦特认为一匹马能以 180 磅（相当于 800 N）的力拉着转动半径为 12 英尺（相当于 3.7 m）的磨轮以 144 圈 / 时的转速转动。由此定出 1 马力功率为 32 572 磅·英尺 / 分，经四舍五入后取为 33 000 磅·英尺 / 分。由于这是根据英制计量标准所得，故称为英制马力，即 745.7 W。可是同一时期，德国等采用公制单位的国家对英制计量标准有些“水土不服”，他们采用公制马力作为功率单位。公制马力也称为米制马力，定义为：一匹马于 1 min 内将 75 kg 的物体提升 60 m，即 735.5 W。由于英制马力和公制马力的不一致，在工业革命发展初期给各国的工业生产造成麻烦。
此处设置“拓展视野”的目的是介绍历史上曾用过的功率单位——“马力”，以及单位制对生产生活的重要意义，让学生了解物理单位建立的过程。教师可视情况介绍目前空调功率的单位（如 1 匹、1.5 匹等），引导学生体会物理单位与生产生活之间的广泛联系。
对于恒力与位移方向相同的情况，将功的计算式代入平均功率的定义式，可得
\[\color{#357A4A}{\bar P = \frac{W}{t} = \frac{{Fs}}{t} = F\bar v}\]
式中，F 为恒力的大小，\(\bar v\) 为物体在时间 t 内的平均速度的大小。
回顾以平均速度概念为基础建立瞬时速度概念的过程，如果以平均功率概念为基础，能否建立瞬时功率概念呢？
此处设置“大家谈”的目的是通过类比，由平均功率的概念建立瞬时功率概念，再次体会极限思想在物理学中的应用。教材第 60 页“助一臂”是在这个“大家谈”基础上归纳为平均值与瞬时值的关系。教师可视情况回顾平均加速度与瞬时加速度以作为“助一臂”的一个案例。
随时间变化的物理量都有平均值和瞬时值之分，例如，平均速度和瞬时速度。瞬时值可以看成微小时间段（趋于零的时间段）内的平均值的极限。
在生活实际中，有时还需要关注力在特定时刻做功的快慢。物理学中，用瞬时功率表示力在某一时刻做功的快慢。当力与瞬时速度的方向相同时，力的大小 F 与瞬时速度大小 v 的乘积就是瞬时功率 P，即
此处设置“助一臂”是供教师视情况介绍恒力做功瞬时功率的一般表达式。
\[\begin{array}{l}P = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta W}}{{\Delta t}}\\ = {\bf{F}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta {\bf{s}}}}{{\Delta t}}\\ = {\bf{F}} \cdot {\bf{v}}\end{array}\]应提醒学生注意，一般情况下，瞬时功率 P = Fvcosα。此式对变力做功的瞬时功率也适用。
\[\color{#357A4A}{P = Fv}\]
功率是生活中常用的物理概念。例如，人类心脏跳动的功率约 1.4 ~ 1.5 W；手机充电器的功率约 5 W；人在运动状态下所消耗功率的数量级为 102 W；运动员的最大瞬时输出功率、家用微波炉和摩托车的输出功率数量级均为 103 W；而家用轿车、万吨级巨轮和喷气客机发动机输出功率的数量级分别为 105 W、106 W和 108 W；远程火箭发动机输出功率的数量级可达 1013 W，太阳辐射总功率的数量级则为 1026 W。图 7–15 所示为这些功率的数量级“阶梯”。
图 7–15 功率的数量级“阶梯”
教材图 7–15 形象化地展示了生活中常见功率数量级的对比情况，帮助学生建立常见功率数量级的感性认识。可提醒学生，本图中各功率“柱体”的高度按对应数量级对数的比例绘制。
我国铁路的发展，从国产机车动力功率的提升可以窥其一斑。20 世纪 70 年代的上游型蒸汽机车和东方红型内燃机车功率约 1 000 kW，80 年代的东风型内燃机车功率约 1 300 kW，90 年代的韶山型内燃机车功率约 4 000 kW；2007 年投入运营的和谐号 CRH1 型电力动车组功率约 5 000 kW；2017 年投入运营的“复兴号”动车组（图 7–13）功率则可达 10 000 kW。与此同时，列车运行速度也飞速提升。以从上海到北京的列车为例，70 年代约需 20 h，2000 年缩短到约 10 h，2017 年“复兴号”运行后仅需约 4.5 h。我国铁路技术的迅猛发展，已实现古人“千里江陵一日还”的梦想。
此处设置“STSE”是为了展示我国高铁技术的飞速发展，引导学生体会我国综合国力的提升，加强民族自豪感与社会责任感。
机械做功的快慢与机械的结构和性能有关，每一台机械在正常状态下长时间工作的功率不应超过某一最大值，这个最大值称为机械的额定功率。
机械实际运行时的功率叫做实际功率。如果实际功率长时间超过额定功率就可能损坏机械或缩短机械的使用寿命。
示例 一台起重机以 2.1×103 N 的牵引力将质量 m = 200 kg 的货物由静止开始竖直向上匀加速提升。如果该起重机的额定功率 P0 = 5×103 W，g 取 10 m/s2。
示例综合牛顿定律和功率概念的应用。第（1）小题运用牛顿定律分析恒力作用过程，然后通过功率与速度关系计算时间；第（2）小题功率不变而作用力为变力，无法用牛顿定律直接求解最终速度，引导学生综合物体匀速运动时的受力情况与额定功率的概念解出最终速度。
（1）求货物做匀加速运动的时间。
（2）起重机达到额定功率后即保持瞬时功率 Pt 不变，分析此后货物的运动情况。
分析：货物向上做匀加速运动的过程中，牵引力保持不变，所以，牵引力的瞬时功率不断增大。当牵引力的瞬时功率增大至额定功率时，若继续保持牵引力大小不变，则牵引力的瞬时功率将突破额定功率。因此，当牵引力的瞬时功率等于额定功率时，匀加速运动阶段结束。此后，起重机若以额定功率运行，则牵引力逐渐减小，但速度继续增大；当牵引力大小等于货物重力大小时，货物将开始匀速上升。
解：（1）以货物为研究对象，它受到重力与牵引力两个力的作用，以向上为正方向，设牵引力为 F，货物由静止开始向上做匀加速运动的加速度为 a。由牛顿第二定律可得
\[F - mg = ma\]
则 \(a = \frac{{F - mg}}{m} = \frac{{2.1 \times {{10}^3} - 200 \times 10}}{{200}}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}} = 0.5{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\)
以货物从静止开始运动为初始时刻，经过时间 t，起重机瞬时功率达到额定功率，货物的匀加速运动阶段结束，则货物的瞬时速度
\[{v_1} = at\]
牵引力的瞬时功率为 \({P_t} = {P_0} = F{v_1} = Fat\)
则 \(t = \frac{{{P_0}}}{{Fa}} = \frac{{5 \times {{10}^3}}}{{2.1 \times {{10}^3} \times 0.5}}{\rm{s}} \approx 4.8{\rm{s}}\)
（2）由于起重机保持额定功率运行，故 4.8 s 后牵引力减小，速度继续增大，牵引力与速度乘积保持不变。由牛顿第二定律可知，货物做加速度减小的加速运动。当牵引力减小到与重力相等时，货物将匀速上升。此时
\[F = mg\]
则 \({v_2} = \frac{{{P_0}}}{F} = \frac{{{P_0}}}{{mg}} = \frac{{5 \times {{10}^3}}}{{200 \times 10}}{\rm{m/s}} = 2.5{\rm{m/s}}\)
即货物最终以 2.5 m/s 的速度匀速上升。
在解决上述问题的过程中，我们默认起重机的实际功率就是牵引力对货物做功的功率。事实上，除了提升重物做功以外，由于克服内部机件的摩擦等，起重机做的功还会消耗在其他方面。
为了简化起见，一般情况下我们也默认汽车发动机的功率即驱动力的功率。所以，当汽车上坡或阻力较大时，若发动机以额定功率工作，驾驶员往往通过使汽车减速来获得更大的驱动力。
汽车发动机输出的功率有一部分通过散热片和排气管散逸，输入至传动和驱动系统的功率只是发动机输出功率的另一部分。即使如此，传动和驱动系统水泵和内部机件的运作也会消耗一部分功率，余下的才是真正意义上的驱动功率。
此处设置“拓展视野”的目的是因为中学物理教学涉及汽车发动机功率时，常将问题做简化处理。事实上，汽车发动机的功率通常仅有30%左右用于驱动汽车，相关问题见教材第 85 页第 10 题，供教师选用。
- 用表格或图示的方式列举额定功率的数量级分别为 100 W、101 W、102 W 和 103 W 的家用电器。
- 判断下列关于功率的说法是否正确，并简述理由。
（1）做功时间越长，功率越小。
（2）做功越多，功率越大。
（3）作用力越大，功率越大。
（4）物体速度越大，功率越大。
- 某同学从一楼到二楼，第一次走上去，第二次跑上去，比较两次克服重力做功的功率。
图7–16
- 2018 年上海中心国际垂直马拉松赛于 11 月 25 日上午盛大举行，近千名选手参加比赛。我国一位女选手用时 20 min 55 s抵达终点。上海中心大厦（图 7–16）楼高 632 m，共计 127 层，比赛赛道终点设在 119 层，选手们经历了 3 398 级台阶的考验，在终点 552 m 的高空俯瞰最美的上海全城风光，顿时忘却了疲劳，纷纷在上海之巅记录自己的成功时刻。
根据上述材料，试估算该女选手比赛过程中克服重力做功的平均功率。
图7–17
- 举重运动员在图 7–17 所示的抓举过程中，将 150 kg 的杠铃举高了 63 cm，所用的时间是 0.8 s。求这一过程中运动员举杠铃的平均功率。
- 两个物体从离地相同高度处先后做自由落体运动和平抛运动并落至水平地面。试比较这两个物体在落至水平地面过程中重力的平均功率。
- 某电动汽车的部分动力性能参数如表 7–1 所示。若该汽车沿平直公路由静止开始做加速度 a = 1.5 m/s2 的匀加速直线运动，当车速达到 v1 = 72 km/h 时，电机恰好以额定功率工作，此后电机的功率保持不变。假设行驶过程中汽车受到的阻力大小恒定。
（1）分析说明电机达到额定功率后，汽车的加速度和速度的变化情况。
（2）电机以额定功率工作时，汽车的最大速度为多少？
（3）该汽车充满电后，以上述方式运动的总时间为多少？
表 7–1
|
动力电池容量 / (kW·h) |
48.3 |
|---|---|
|
电机额定功率 / kW |
85 |
|
整车质量 / kg |
1 710 |
问题与思考解读
1．参考解答：见下表
|
额定功率数量级 |
家用电器 |
|
100 W |
手电筒、手机、门铃 |
|
101 W |
台灯、净水机、手机充电器、单人电热毯 |
|
102 W |
电扇、电视、计算机、电冰箱、洗衣机 |
|
103 W |
电饭锅、电热水器、微波炉、空调 |
命题意图：通过查阅相关资料，形成对家用电器功率数量级的认识，增强节能意识。
主要素养与水平：能量（Ⅰ）；证据（Ⅰ）
2．参考解答：（1）不正确。功率 P = \(\frac{W}{t}\)，时间长，做功也可能更多，无法确定功率的大小。
（2）不正确。功率 P = \(\frac{W}{t}\)，做功多，时间也可能更长，无法确定功率的大小。
（3）不正确。功率 P = Fv，作用力大，速度可能很小，无法确定功率的大小。
（4）不正确。功率 P = Fv，速度大，作用力可能很小，无法确定功率的大小。
命题意图：通过问题辨析，加深对功率概念的理解。
主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；交流（Ⅰ）。
3．参考解答：克服重力做的功 W 等于 mgh，两次上楼过程做功 W 相等，第一次走上去，所用时间 t1 比第二次跑上去的时间 t2 长。由功率 P = \(\frac{W}{t}\)，走上去的功率 P1 小于跑上去的功率P2。
命题意图：将真实情境抽象为模型化情境，为第4题做铺垫。
主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。
4．参考解答：可认为选手的平均功率就是其克服重力做功的功率，P = \(\frac{W}{t}\) = \(\frac{mgh}{t}\)。估计选手质量约为 60 kg，比赛时间为 1 255 s，高度 552 m。故其功率 P = \(\frac{mgh}{t}\) = \(\frac{{60 \times 10 \times 552}}{{1225}}\) W ≈ 3×102 W。
命题意图：将真实情境转化为模型化情境，从题目信息中分析提取有效信息。
主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；能量（Ⅰ）。
5．参考解答：可认为选手的平均功率就是其克服杠铃重力做功的功率，故其功率 P = \(\frac{W}{t}\) = \(\frac{mgh}{t}\) = \(\frac{{150 \times 9.8 \times 0.63}}{{0.8}}\) kW ≈ 1.16 kW。
命题意图：将真实情境转化为模型化情境。
主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；能量（Ⅰ）。
6．参考解答：平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，故两者的运动时间相等。
重力的平均功率 P = \(\frac{W}{t}\) = \(\frac{mgh}{t}\)，高度 h 相等，时间 t 相等，而两物体质量大小关系未知，故功率大小关系也无法确定。
命题意图：综合运动规律分析问题。
主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。
7．参考解答：（1）在运动的方向上，汽车受到驱动力 F 和阻力 F阻 的作用，由牛顿第二定律知合外力 F合 = F – F阻 = ma。由题意知，汽车达到额定功率后，汽车的速度继续增大，但功率保持不变，由 P = Fv 知，驱动力 F 将减小，合外力 F合 将减小，加速度 a 将减小，速度增加直至加速度减小至零后保持以最大速度匀速运动。
（2）车速达到 v1 = 72 km/h = 20 m/s 时，电机恰好以额定功率工作，由 P = Fv 知，此时 F1 = \(\frac{P}{{{v_1}}}\) = \(\frac{{85000}}{{20}}\) = 4.25×103 N
由牛顿第二定律知 F合 = F1 – F阻 = ma，所以 F阻 = F1 – ma = （4 250 − 1 710×1.5）N = 1 685 N。
汽车保持功率不变以最大速度匀速运动时，F2 = F阻 = 1 685 N。
由 P = F2vm 知 vm = \(\frac{P}{{{F_2}}}\) = \(\frac{{85000}}{{1685}}\) m/s ≈ 50.45 m/s ≈ 182 km/h。
（3）汽车做匀加速直线运动过程中，电机功率随时间均匀增加，此过程用时 t1 = \(\frac{v_1}{a}\) = \(\frac{{20}}{{1.5}}\) s ≈ 13.3 s，平均功率 \(\bar P\) = \(\frac{P}{2}\)。故这一过程电机耗能 W1 = \(\bar P\)t1 = \(\frac{{85000}}{{2}}\)×\(\frac{{20}}{{1.5}}\) J ≈ 5.67×105 J ≈ 0.16 kW·h。汽车以额定功率行驶时，电池剩余能量 W2 = W − W1 =（48.3 − 0.16）kW·h = 48.14 kW·h，则汽车以额定功率行驶的时间 t2 = \(\frac{{{W_2}}}{P}\) = \(\frac{{48.14}}{{85}}\) h ≈ 0.57 h = 2 052 s。故汽车以上述过程运动的总对长 t = t1 + t2 =（13.3 + 2 052）s = 2 065.3 s ≈ 34.4 min。
命题意图：综合牛顿运动定律分析问题。
主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。
发布时间：2022/2/10 上午10:37:37 阅读次数：3424
