第 1 章 功和机械能 第 2 节 功率

在生产生活中，人们不仅关注做功的多少，还关注做功的快慢。例如，借助挖掘机挖土比直接用人工挖土做功快得多（图 1-6）。怎样描述做功的快慢？本节我们将在初中物理的基础上，进一步深化对功率的认识。

图 1-6 挖掘机挖土

1．功率的含义

做功的快慢不仅与做功的多少有关，还与做这些功所耗费的时间有关。物理学中将力所做的功 W 与完成这些功所用的时间 t 之比，称为功率（power），用符号 P 表示，即

P = \(\frac{W}{t}\)

在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用符号 W 表示。如果某力在 1 s 内做 1 J 的功，它的功率就是 1 W。瓦这个单位比较小，在工程技术上常用千瓦（kW）作为功率的单位。

1 kW = 1 000 W

功率是描述做功快慢的物理量，是标量。

2．常见机械的功率

汽车、轮船、火车等交通工具和各种起重机械的动力由内燃机或电动机等动力机械提供，功率是衡量动力机械性能的重要参数。每一种动力机械都有一个长时间工作的最大允许功率，这个功率称为机械的额定功率（rated power）。实际工作时，动力机械的功率可能大于或小于额定功率。例如，汽车爬陡坡时，如果要保持较大速度，实际功率就可能超过额定功率，这对动力机械有害，要尽量避免。汽车在平直公路上缓慢匀速行驶时，实际功率就往往小于额定功率。

一些机械的功率见下表。

表1-1 一些机械的功率

机械的功率表示其做功的快慢。从表中可以看出，随着社会的发展和技术的进步，一些同类型机械的功率越来越大，表示其做功越来越快，即在同样的时间里能够做更多的功。

3．功率与力、速度的关系

当我们用恒力 F 推动书本，让书本在水平桌面上做直线运动时（图 1-7），力 F 对书本做功的功率是多大呢？

图 1-7 手推书本运动

力 F 的方向和书本位移的方向相同，推力 F 所做的功 W = Fs。根据功率的公式 P = \(\frac{W}{t}\) 可得 P = \(\frac{Fs}{t}\)，而其中 \(\frac{s}{t}\) = v，因此，推力 F 做功的功率

P = Fv

从上面推导可见，公式中的 v 是平均速度，对应的功率 P 是 t 时间内的平均功率。若时间间隔很小，我们可将平均速度看成瞬时速度，那么此时的功率 P 可看成该时刻的瞬时功率。当物体受力为变力时，在力与速度方向相同的情况下，功率 P = Fv 仍然成立，此时 v 为瞬时速度，F 为相应时刻的力，P 则为对应的瞬时功率。

由公式 P = Fv 可知，当功率 P 一定时，力 F 与物体运动的速度 v 成反比。例如，机械正常工作时的功率通常是一定的，车床在切削硬的工件时需要用较大的力，因此要降低车床的运转速度。当速度 v 一定时，力 F 与功率 P 成正比。例如，汽车上坡时（图 1-8），司机可通过加大油门，提高发动机的输出功率来增大牵引力。

图 1-8 汽车上坡

例题

一列高速列车总质量 m ＝ 465 t，其额定功率 P ＝ 5 300 kW，在水平直轨道上行驶时，轨道对列车的阻力 F_阻 是车重的 0.018。列车以额定功率工作，取重力加速度 g ＝ 10 m/s²，求：

（1）当行驶速度 v ＝ 10 m/s 时，列车的牵引力和加速度；

（2）列车在水平直轨道上行驶的最大速度。

分析

由已知的速度和额定功率可求出牵引力，再根据牛顿第二定律可求出加速度。列车以额定功率工作，若牵引力 F 大于阻力 F_阻 （图 1-9），列车做加速运动。随着速度的增大，牵引力 F ＝ \(\frac{P}{v}\)  会逐渐减小，当 F ＝ F_阻 时列车的加速度为 0，速度达到最大值 v_max。

解

由题意可知 F_阻 ＝ 0.018 mg。设列车以额定功率工作，当行驶速度 v ＝ 10 m/s 时，牵引力为 F₁ ；行驶速度达到最大值 v_max 时，牵引力为 F₂ 。

（1）由 P ＝ F₁v 得

F₁ ＝ \(\frac{P}{v}\) ＝ \(\frac{{5.3 \times {{10}^6}}}{{10}}\) N ＝ 5.3×10⁵ N

根据牛顿第二定律，有

F₁ – F_阻 ＝ ma

解得

a ＝ 0.96 m/s²

列车的加速度方向与牵引力方向一致。

（2）当 F₂ ＝ F_阻 时，列车行驶速度最大。

由 P ＝ F₂v_max 得

v_max ＝ \(\frac{P}{{{F_阻}}}\) ＝ 63.3 m/s

列车的最大行驶速度方向与牵引力方向一致。

讨论

列车的最大行驶速度与其额定功率成正比，与受到的阻力成反比。因此，要提高列车的最大行驶速度，就需增大发动机的额定功率，并尽量减小阻力。动车组通常由多节动力车厢相连，且外形被设计成流线型。请解释一下其中的道理。

策略提炼

运用功率概念和牛顿第二定律解决列车行驶等问题时，牵引力是连接二者的桥梁。此时，功率公式中的 F 是牵引力。

火车或汽车以额定功率水平行驶，当牵引力等于阻力时，速度最大。

迁移

前面我们讨论了机械以额定功率工作的问题，那么机械不在额定功率下工作的问题又该怎样求解呢？试解答下面的问题。

在符合安全行驶要求的情况下，通过减少汽车内放置的物品和控制油箱里的油量等措施，可实现节能减排。一辆汽车以 72 km/h 的速度匀速行驶时，采取以上措施前、后汽车受到的阻力分别为 2 000 N 和 1 950 N。试分别求出采取措施前、后汽车的实际功率，并加以比较。

物理聊吧

在本节中，功率与力、速度的关系式 P ＝ Fv 是在力的方向与速度的方向一致的情况下得出的。想想看，如果力与速度的方向相反，或者成任意角度 θ 时，功率与力、速度之间又会有怎样的关系呢？谈谈你的看法，并与其他同学讨论交流。

节练习

1．关于某力做功的功率，下列说法正确的是

A．该力越大，其功率就越大            B．该力在单位时间内做的功越多，其功率就越大

C．功率越大，说明该力做的功越多 D．功率越小，说明该力做功的时间越少

【参考解答】B

2．一质量为 m 的物块沿倾角为 θ 的斜面滑下，到达斜面底端时的速度大小为 v，此时重力做功的瞬时功率是

A．mgv                B．mgvsinθ

C．mgvcosθ          D．mgvtanθ

【参考解答】B

3．如图所示，某同学的质量为 50 kg，自行车的质量为 15 kg，设该同学骑自行车在平直路面上匀速行驶时所受阻力为人车总重的 4%，克服阻力做功的功率为 260 W。取重力加速度 g ＝ 10 m/s² ，求该自行车匀速行驶的速度大小。

【参考解答】10 m/s

4．重量为 G 的某汽车，最大功率为 P_m ，在平直公路上以速度 v 匀速行驶时，汽车发动机的功率为 P。

（1）求汽车所受的阻力。

（2）若汽车在倾角为 α 的坡路以最大功率匀速向上行驶时，所受路面和空气的阻力大小之和与（1）中所求阻力大小相等，求此时汽车的速度。

【参考解答】（1）f = F = \(\frac{P}{v}\)

（2）v₂ = \(\frac{{{P_m}v}}{{P + mgv\sin \alpha }}\)

5．用体重计测量你的质量，用卷尺测量一段楼梯的高度，如图所示。试用最快速度跑上这段楼梯，并记录所用时间。请估算此过程中你克服重力所做功的平均功率。

【参考解答】测量人的质量 m、一段楼梯的高度 h，记录所用的时间 t。

此过程中克服重力所做功的平均功率 P = \(\frac{W}{t}\) = \(\frac{mgh}{t}\)。

（学生根据实际测量值计算其平均功率，加强对功率大小的感知）

6．跳绳是一种健身运动。一位同学在原地跳绳过程中，离开地面后竖直方向的速率-时间图像如图所示。若已知 t₀ 和跳绳者的质量 m，重力加速度为 g，不计阻力，请估算：

（1）跳绳者重心上升的最大高度；

（2）跳绳者克服重力做功的平均功率。

【参考解答】（1）由题可知，离地上升时间 t₁＝\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{3}{5}\)t₀＝\(\frac{3}{10}\)t₀，所以h＝\(\frac{1}{2}\)gt₁²＝\(\frac{9}{200}\)gt₀²；

（2）因为 W_G＝mgh，所以 P＝\(\frac{{{W_G}}}{{{t_0}}}\) ＝\(\frac{9}{200}\)mg²t₀。

发布时间：2022/1/12 上午10:37:14  阅读次数：2886