使用 Geogebra 检验恒功率启动的计算结果
继在“使用 Geogebra 解常微分方程”中检验电磁感应中恒力启动问题之后,这篇文章对交通工具的恒功率启动问题进行检验,在高中阶段的此类问题中,一旦涉及到“多久、多远后达到稳定速度”的数值计算题,往往是错题的重灾区。
1、理论推导
质量为 m 汽车的额定功率为 P,运动过程中受到恒定阻力 f,汽车运动的初速度为 v0,在运动过程中满足牛顿第二定律 F – f = ma,且 P = Fv,可得:
对应的微分方程为:
m
分离变量得:
两边积分(右侧的积分可利用
考虑初始条件为:t = 0 时,v = v0,解得常数 C 为 −
2、在 Geogebra 中的实现
由理论推导出了 t – v 函数,就可以用来进行数值计算,其实用 excel 也可以完成相同的工作,但 Geogebra 有滑动条,可以直观、动态地改变输入参数,使用比较方便。
更符合使用习惯的是 v – t 函数图像,但是上述 t - v 函数的反函数无法用初等函数表示,上网查了一下,v – t 函数的表达要涉及一个叫做 Lambert W 函数的特殊函数:W(x)eW(x) = x,所以目前在 Geogebra 中只能绘制出 t - v 图像。
为了适用不同的数据,并没有直接将 P、f 作为输入参数,而是适当变形。由于 a =
在 Geogebra 中的操作步骤如下:
1、设置滑动条 k、b、v0、m 和 v;
2、输入函数表达式:f(x)=如果(x≥v0, ((k)/(b^(2))) ln(((k-b v0)/(k-b x)))-((x-v0)/(b)))
;
3、设置变量 t = f(v)
,求速度为 v 时所用时间;
4、输入:s = 积分(f,v0,v)
;设置变量 S = vt - s
,求物体走过的位移。说明:积分求得的 t – v 图像的面积,而我们要求的是 v – t 图像的面积,因此需要用矩形面积 vt 减去积分面积。
3、在 Geogebra 中验证
例 1
此题为 2009 年上海高考题。
质量为 5×103 kg 的汽车在 t = 0 时刻速度 v0 = 10 m/s,随后以 P = 6×104 W 的额定功率沿平直公路继续前进,经 72 s 达到最大速度,设汽车受恒定阻力,其大小为 2.5×103 N。求:
(1)汽车的最大速度 vm;
(2)汽车在 72 s 内经过的路程 s。
参考答案:(1)vm = 24 m/s (2)s = 1252 m
【分析】
(1)汽车达到最大速度时,牵引力等于阻力,此时
P = fvm,vm =
(2)由动能定理得
Pt − fs =
s =
【验证】
此题中,k =
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根据计算,这道高考题数据有问题!在 72 s 内汽车无法达到 24 m/s,只有 21.85 m/s。如果要改进的话,可以将时间设置得长一些,例如当 t = 209.4 s 时,速度能达到 23.9 m/s,此时位移为 4554.36 m。
例 2
一道约 15 年前的老题:
某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究,他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动,并将小车运动的全过程记录下来,通过处理转化为 v – t 图象,如图所示(除 2 s ~ 10 s 时间段图象为曲线外,其余时间段图像均为直线)。已知在小车运动的过程中,2 s ~ 14 s 时间段内小车的功率保持不变,在 14 s 末停止遥控而让小车自由滑行,小车的质量为 1.0 kg,可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变。求:
(1)小车所受到的阻力;
(2)小车匀速行驶阶段的功率;
(3)小车在加速运动过程中(指图象中 0 ~ 10 秒内)位移的大小。
参考答案:(1)f = − 1.5 N (2)P = 9 W (3)s = 42 m
【分析】
这里关注的是第(3)小问,在 2 ~ 10 s 内小车做加速度不断减小的加速运动,在 8 s 内速度由 3 m/s 变为 6 m/s,通过的位移为 39 m。解题过程如下:
2 s ~ 10 s 内根据动能定理:Pt – fs2 =
解得 s2 = 39 m
【验证】
此题中 k =
例 3
这是一道 20 年的老题。
电动机通过一质量不计的绳吊起质量为 8 kg 的物体,绳能承受的最大拉力为 120 N,电动机的输出功率可调整,最大输出功率为 1 200 W。要将此物体由静止起用最快的方式上升 90 m(己知此物体在吊高达到 90 m 时正好开始以最大速度匀速上升),求:(g 取 10 m/s2)
(1)物体上升过程中第一阶段加速度的大小和第一阶段末速度的大小;
(2)物体上升过程中的最大速度;
(3)物体上升所需最短时间。
参考答案:(1)a = 5 m/s2,v1 = 10 m/s (2)vm = 15 m/s (3)tmin = 7.75 s
【分析】
关注第(3)小问,原题的解答是:
设第二阶段所用时间为 t2,物体上升的位移为 h2 = H – h1 = 90 m – 10 m = 80 m。由动能定理可得
Pmt2 – mgh2 =
t2 =
代入数据后可解得 t2 = 5.75 s。即在恒功率阶段物体以初速 v1 = 10 m/s 运动,在 5.75 s 内上升 80 m,速度达到了 15 m/s。
【验证】
此题中 k =
发布时间:2023/2/6 下午10:43:40 阅读次数:1953