使用 Geogebra 检验恒功率启动的计算结果

继在“使用 Geogebra 解常微分方程”中检验电磁感应中恒力启动问题之后,这篇文章对交通工具的恒功率启动问题进行检验,在高中阶段的此类问题中,一旦涉及到“多久、多远后达到稳定速度”的数值计算题,往往是错题的重灾区。

1、理论推导

质量为 m 汽车的额定功率为 P,运动过程中受到恒定阻力 f,汽车运动的初速度为 v0,在运动过程中满足牛顿第二定律 Ff = ma,且 P = Fv,可得:

\(\frac{P}{v}\) − f = ma

对应的微分方程为:

m \(\frac{{{\rm{d}}v}}{{{\rm{d}}t}}\) = \(\frac{P}{v}\) − f

分离变量得:

\(\frac{1}{m}\) dt = \(\frac{v}{{P - fv}}\) dv

两边积分(右侧的积分可利用 \(\int {\frac{x}{{ax + b}}{\rm{d}}x}  = \frac{1}{{{a^2}}}(ax + b - b\ln \left| {ax + b} \right| ) + C\) 解决)可得:

\(\frac{1}{m}\) t = \(\frac{1}{{{f^2}}}\) [ PfvP ln(Pfv) ] + C

考虑初始条件为:t = 0 时,v = v0,解得常数 C 为 − \(\frac{1}{{{f^2}}}\) [ Pfv0P ln(Pfv0) ],代入上式得:

\[t = \frac{{mP}}{{{f^2}}}\ln \frac{{P - f{v_0}}}{{P - fv}} - \frac{{m(v - {v_0})}}{f}\]

2、在 Geogebra 中的实现

由理论推导出了 tv 函数,就可以用来进行数值计算,其实用 excel 也可以完成相同的工作,但 Geogebra 有滑动条,可以直观、动态地改变输入参数,使用比较方便。

更符合使用习惯的是 vt 函数图像,但是上述 t - v 函数的反函数无法用初等函数表示,上网查了一下,vt 函数的表达要涉及一个叫做 Lambert W 函数的特殊函数:W(x)eW(x) = x,所以目前在 Geogebra 中只能绘制出 t - v 图像。

为了适用不同的数据,并没有直接将 Pf 作为输入参数,而是适当变形。由于 a = \(\frac{P}{m}\)·\(\frac{1}{v}\) − \(\frac{f}{m}\),可以令 k = \(\frac{P}{m}\),b = \(\frac{f}{m}\),这样将前面的理论推导变化为:

\[t = \frac{k}{{{b^2}}}\ln \frac{{k - b{v_0}}}{{k - bv}} - \frac{{v - {v_0}}}{b}\]

在 Geogebra 中的操作步骤如下:

1、设置滑动条 k、b、v0、m 和 v;

2、输入函数表达式:f(x)=如果(x≥v0, ((k)/(b^(2))) ln(((k-b v0)/(k-b x)))-((x-v0)/(b)))

3、设置变量 t = f(v),求速度为 v 时所用时间;

4、输入:s = 积分(f,v0,v);设置变量 S = vt - s,求物体走过的位移。说明:积分求得的 tv 图像的面积,而我们要求的是 vt 图像的面积,因此需要用矩形面积 vt 减去积分面积。

3、在 Geogebra 中验证

例 1

此题为 2009 年上海高考题。

质量为 5×103 kg 的汽车在 t = 0 时刻速度 v0 = 10 m/s,随后以 P = 6×104 W 的额定功率沿平直公路继续前进,经 72 s 达到最大速度,设汽车受恒定阻力,其大小为 2.5×103 N。求:

(1)汽车的最大速度 vm

(2)汽车在 72 s 内经过的路程 s

参考答案:(1)vm = 24 m/s          (2)s = 1252 m

【分析】

(1)汽车达到最大速度时,牵引力等于阻力,此时

Pfvmvm = \(\frac{P}{f}\) = \(\frac{{6 \times {{10}^4}}}{{2.5 \times {{10}^3}}}\) m/s = 24 m/s

(2)由动能定理得

Pt − fs = \(\frac{1}{2}\) mvm2 − \(\frac{1}{2}\) mv02

s = \(\frac{{2Pt - mv_m^2 + mv_0^2}}{{2f}}\) = 1252 m

【验证】

此题中,k = \(\frac{P}{m}\) = 12,b = \(\frac{f}{m}\) = 0.5。在 Geogebra 中将滑动条设置为 k = 12,b = 0.5,m = 5000,v0 = 0。将 v 设置为 21.845,求出 t = 72,s = 1250.86。如下图所示:

点击图片打开网站可进入程序

 

根据计算,这道高考题数据有问题!在 72 s 内汽车无法达到 24 m/s,只有 21.85 m/s。如果要改进的话,可以将时间设置得长一些,例如当 t = 215.27 s 时,速度能达到 23.9 m/s,此时位移为 4595.29 m。

例 2

一道约 15 年前的老题:

某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究,他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动,并将小车运动的全过程记录下来,通过处理转化为 v t 图象,如图所示(除 2 s ~ 10 s 时间段图象为曲线外,其余时间段图像均为直线)。已知在小车运动的过程中,2 s ~ 14 s 时间段内小车的功率保持不变,在 14 s 末停止遥控而让小车自由滑行,小车的质量为 1.0 kg,可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变。求:

(1)小车所受到的阻力;

(2)小车匀速行驶阶段的功率;

(3)小车在加速运动过程中(指图象中 0 ~ 10 秒内)位移的大小。

参考答案:(1)f = − 1.5 N          (2)P = 9 W         (3)s = 42 m

【分析】

这里关注的是第(3)小问,在 2 ~ 10 s 内小车做加速度不断减小的加速运动,在 8 s 内速度由 3 m/s 变为 6 m/s,通过的位移为 39 m。解题过程如下:

2 s ~ 10 s 内根据动能定理:Ptfs2 = \(\frac{1}{2}\) mv22 − \(\frac{1}{2}\)mv12

解得 s2 = 39 m

【验证】

此题中 k = \(\frac{P}{m}\)  = 9,b = \(\frac{f}{m}\) = 1.5,v0 = 3 m/s,在 Geogebra 程序中进行验证,结果是: t = 8 s 内位移 s = 40.01 m,速度只达到 5.74 m/s,并没有接近 6 m/s所以此题给出的数据有问题

例 3

这是一道 20 年的老题。

电动机通过一质量不计的绳吊起质量为 8 kg 的物体,绳能承受的最大拉力为 120 N,电动机的输出功率可调整,最大输出功率为 1 200 W。要将此物体由静止起用最快的方式上升 90 m(己知此物体在吊高达到 90 m 时正好开始以最大速度匀速上升),求:(g 取 10 m/s2

(1)物体上升过程中第一阶段加速度的大小和第一阶段末速度的大小;

(2)物体上升过程中的最大速度;

(3)物体上升所需最短时间。

参考答案:(1)a = 5 m/s2v1 = 10 m/s      (2)vm = 15 m/s   (3)tmin = 7.75 s

【分析】

关注第(3)小问,原题的解答是:

设第二阶段所用时间为 t2,物体上升的位移为 h2 = Hh1 = 90 m – 10 m = 80 m。由动能定理可得

Pmt2mgh2 = \(\frac{1}{2}\) mv22 − \(\frac{1}{2}\) mv12

t2 = \(\frac{{\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 + mg{h_2}}}{{{P_m}}}\)

代入数据后可解得 t2 = 5.75 s。即在恒功率阶段物体以初速 v1 = 10 m/s 运动,在 5.75 s 内上升 80 m,速度达到了 15 m/s。

【验证】

此题中 k = \(\frac{P}{m}\) = 150,b = \(\frac{f}{m}\) = 10,v0 = 10 m/s,在 Geogebra 程序中进行验证,结果是: 5.75 s 内上升了 80.09 m,速度达到了 14.92 m/s此题的数据可以认为是正确的。

文件下载(已下载 12 次)

发布时间:2023/2/6 22:43:40  阅读次数:846

2006 - 2024,推荐分辨率1024*768以上,推荐浏览器Chrome、Edge等现代浏览器,截止2021年12月5日的访问次数:1872万9823 站长邮箱

沪ICP备18037240号-1

沪公网安备 31011002002865号