第八章 1 功和功率

任何人类活动都离不开能量。例如，现代化的生活离不开电厂供应的电能，许多现代交通离不开燃料燃烧释放的化学能，核电站能够利用原子核裂变时释放的核能，人类生活需要摄入食物中的化学能，植物的生长依赖太阳能……

在长期的科学实践中，人们发现不同形式的能量可以互相转化，并且能量的转化与功的概念紧密相连。这是因为，如果在一个过程中存在做功的现象，就必然存在能量变化的现象，功的计算能够为能量的定量表达及能量的变化提供分析的基础。

物理学的任务是发现普遍的自然规律。因为这样的规律的最简单的形式之一表现为某种物理量的不变性，所以对于守恒量的寻求不仅是合理的，而且也是极为重要的研究方向。

——劳厄[1]

第八章 1 功与功率

问题？

起重机竖直提升重物时，重物运动的方向与力的方向一致，则力对物体做的功为力的大小与重物移动距离的乘积。更普遍的情形是物体运动的方向与力的方向不一致，例如马拉雪橇时拉力方向和雪橇运动方向间有一个角度。这时应当怎样计算功呢？

功

当力F的方向与运动方向成某一角度时（图8.1-1），可以把力F分解为两个分力：与位移方向一致的分力F₁，与位移方向垂直的分力F₂。设物体在力F的作用下发生的位移的大小是l，则分力F₁所做的功等于F₁l。分力F₂的方向与位移的方向垂直，物体在F₂的方向上没有发生位移，F₂所做的功等于0。因此，力F对物体所做的功W 等于F₁l，而F_l＝Fcosα，所以

\[W = Fl\cos \alpha \]

这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。

功是标量。在国际单位制中，功的单位是焦耳（joule），简称焦，符号是J。1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m位移的过程中所做的功，所以

1 J＝1 N×1 m＝1 N·m

正功和负功

下面我们讨论力与位移成不同的角度时，力做功的几种情况。

（1）当α＝\(\frac{\pi }{2}\)时，cos α＝0，W ＝ 0。这表示力 F 的方向与位移 l 的方向垂直时，力 F 不做功。例如，物体在水平桌面上运动，重力 G 和支持力 F_N 都与位移方向垂直，这两个力都不做功（图 8.1-2 甲）。

（2）当 0 ≤ α ＜ \(\frac{\pi }{2}\)时，cos α ＞ 0，W ＞ 0。这表示力 F 对物体做正功。例如，人用力拉车前进时，人的拉力 F 对车做正功（图 8.1-2乙）。

（3）\(\frac{\pi }{2}\)＜ α ≤ π 时，cos α ＜ 0 ，W ＜ 0。这表示力 F 对物体做负功。例如，要使运动的小车减速，人向后拉车的力 F 对车做负功（图 8.1-2 丙）。

上面我们分析的是物体受一个力时做功的几种情况。实际中，物体通常会受多个力的作用。当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和。可以证明，它也就是这几个力的合力对物体所做的功。

【例题1】

一个质量为150 kg 的雪橇，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力，大小为500 N，在水平地面上移动的距离为5 m。地面对雪橇的阻力为100 N，cos 37°＝0.8。求各力对雪橇做的总功。

分析 雪橇的运动方向及有关受力情况如图8.1-3所示。拉力F可以分解为水平方向和竖直方向的两个分力，竖直方向的分力 F_y 、支持力 F_N 和重力 G 与运动方向垂直，不做功。所以各力对雪橇做的总功为拉力的水平分力 F_x 和阻力 F_阻 所做的功的代数和。

解 拉力在水平方向的分力为F_x＝Fcos37°，它所做的功为

\[{W_1} = {F_x}l = Fl\cos 37^\circ = 500 \times 5 \times 0.8{\rm{J}} = 2000{\rm{J}}\]

阻力与运动方向相反，两者夹角为 180°，它所做的功为

\[{W_2} = {F_阻}l\cos 180^\circ = {\rm{ - 1}}00 \times 5{\rm{J}} = {\rm{ - }}500{\rm{J}}\]

力对物体所做的总功为二者的代数和，即

\[W = {W_1} + {W_2} = 2000{\rm{J}} - 500{\rm{J}} = 1500{\rm{J}}\]

力对雪橇所做的总功是1 500 J。

功率

在物理学中，做功的快慢用功率表示。如果从开始计时到时刻t这段时间内，力做的功为W，则功W与完成这些功所用时间t之比叫作功率（power）。用P表示功率，则有

\[P = \frac{W}{t}\]

在国际单位制中，功率的单位是瓦特（watt），简称瓦，符号是W。1 W＝1 J/s。瓦这个单位比较小，技术上常用千瓦（kW），1 kW＝1 000 W。力、位移、时间都与功率相联系，这种联系在技术上具有重要意义。

如果物体沿位移方向受的力是F，从计时开始到时刻t这段时间内，发生的位移是l，则力在这段时间内所做的功

\[W = Fl\]

因此，有

\[P = \frac{W}{t} = \frac{{Fl}}{t}\]

由于位移l是从开始计时到时刻t这段时间内发生的，所以\(\frac{l}{t}\)是物体在这段时间内的平均速度 v，于是上式可以写成

\[P = Fv\]

可见，一个沿着物体位移方向的力对物体做功的功率，等于这个力与物体速度的乘积。

从以上推导过程来看，P ＝ Fv 中的速度 v 是物体在恒力 F 作用下的平均速度，所以这里的功率 P 是指从计时开始到时刻 t 的平均功率。如果时间间隔非常小，上述平均速度就可以看作瞬时速度，这个关系式也就可以反映瞬时速度与瞬时功率的关系。

思考与讨论

从 P ＝ Fv 可以看出，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的输出功率 P 一定时，牵引力 F 与速度 v 成反比。你认为应该怎样增大它们的牵引力呢？

发动机输出的功率不能无限制地增大，所以汽车上坡时司机要用“换挡”[2]的办法减小速度，来得到较大的牵引力（图 8.1-4）。不过，在发动机输出功率一定时，通过减小速度提高牵引力或通过减小牵引力而提高速度，效果都是有限的。所以，要提高速度和增大牵引力，必须提高发动机的额定功率，这就是高速火车、汽车和大型舰船需要大功率发动机的原因。

【例题2】

发动机的额定功率是汽车长时间行驶时所能输出的最大功率。某型号汽车发动机的额定功率为 60 kW，在水平路面上行驶时受到的阻力是 1 800 N，求发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度。假定汽车行驶速度为 54 km/h 时受到的阻力不变，此时发动机输出的实际功率是多少？

分析 实际功率不一定总等于额定功率，大多数情况下输出的实际功率都比额定功率小，但在需要时，短时间也可以输出更大的功率。题目中说“受到的阻力不变”，表明本题对于较低速度行驶时发动机的输出功率只要求估算。

解 汽车在水平路面上匀速行驶时，受到的牵引力

\[F = {F_阻} = 1800{\rm{N}}\]

由于 P ＝ Fv，所以额定功率下的速度

\[v = \frac{P}{F} = \frac{{60000}}{{1800}}{\rm{m/s}} = 33.3{\rm{m/s}} = 120{\rm{km/h}}\]

当汽车以速度 v ＝ 54 km/h ＝ 15 m/s 行驶时，有

\[P = Fv = 1800 \times 15{\rm{W}} = 27{\rm{kW}}\]

汽车以额定功率匀速行驶时的速度为 120 km/h。汽车以 54 km/h 的速度行驶时，发动机输出的实际功率为 27 kW。

汽车速度越大时，空气的阻力也越大。

练习与应用

1．图 8.1-5 表示物体在力 F 的作用下水平发生了一段位移 l，分别计算这三种情形下力 F 对物体做的功。设这三种情形下力 F 和位移 l 的大小都是一样的：F ＝ 10 N，l ＝ 2 m。角 θ 的大小如图所示。

2．用起重机把质量为 2.0×10³ kg 的物体匀速地提高了 5 m，钢绳的拉力做了多少功？重力做了多少功？这些力做的总功是多少？

3．一位质量为 60 kg 的滑雪运动员从高为10 m 的斜坡自由下滑。如果运动员在下滑过程中受到的阻力为 50 N，斜坡的倾角为 30°，运动员滑至坡底的过程中，所受的几个力做的功各是多少？这些力做的总功是多少？

4．有一个力 F，它在不断增大。某人以此为条件，应用 P ＝ Fv 进行了如下推导：根据 P ＝ Fv，F 增大则 P 增大；又根据v ＝\(\frac{P}{F}\)，P 增大则 v 增大；再根据v ＝\(\frac{P}{F}\)，v 增大则 F 减小。

这个人推导的结果与已知条件相矛盾。他错在哪里？

5．一台电动机工作时的输出功率是10 kW，要用它匀速提升 2.7×10⁴ kg 的货物，提升的速度将是多大？

6．一台抽水机每秒能把 30 kg 的水抽到10 m 高的水塔上，这台抽水机输出的功率至少多大？如果保持这一输出功率，半小时内能做多少功？

7．质量为 m 的汽车在平直公路上行驶，阻力 F 保持不变。当它以速度 v、加速度 a 加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率， 从此时开始，发动机始终在额定功率下工作。

（1）汽车的加速度和速度将如何变化？说出理由。

（2）如果公路足够长，汽车最后的速度是多大？

发布时间：2020/3/28 下午9:56:17  阅读次数：7616