与 DeepSeek 对话相对论

2025 年 12 月的上海市质量调研卷中出现了这样一道题：

激光可视为大量同频率光子组成的光子流，其每个光子的能量与激光频率成正比。根据相对论质能关系，将光子视为具有一定质量的粒子，则其在引力场中会具有势能。某一高空运行的卫星向地球发出一束频率为 ν 的激光，此激光到达地面时的频率________。

A．大于 ν                       B．等于 ν                       C．小于 ν

答案是 A。

这道题目应该改编自沪科版 第八章 第二节 相对论初步中的拓展视野，原文如下：

光子的能量可以写成 E = hν，其中 h 为普朗克常量，ν 为光子的频率。根据相对论质能关系，可以把光子看成质量为 m = \(\frac{{h\nu }}{{{c^2}}}\) 的粒子。考虑到光子在引力场中的势能 mgH，如果在地面向上发射一束频率为 ν 的光，然后在离地面高度为 H 的地方接收，由能量守恒可得

\[h\nu = h\nu ' + mgH = h\nu ' + h\nu \dfrac{{gH}}{{{c^2}}}\]

则光子的红移为

\[\dfrac{{\Delta \nu }}{\nu } = \dfrac{{\nu ' - \nu }}{\nu } = - \dfrac{{gH}}{{{c^2}}}\]

将 H = 22.6 m代入，得

\[\frac{{\Delta \nu }}{\nu } = - 2.46 \times {10^{ - 15}}\]

1960 年，哈佛大学的物理学家曾在一座 22.6 m 高的楼顶做了这个实验，结果与广义相对论的计算结果符合极好。

我对学生讲解这道题时是这么说的：光子可以看成一个小球，向下运动时势能减小，根据机械能守恒定律可知动能增加，频率也就增加了。隐隐总觉得不妥，若有学生问：光子的能量和光子的动能有什么区别？恐怕我就答不上来了。

于是就心中的疑惑与 DeepSeek 开展了一轮对话，记录如下：

一、光子能量 hν 就是动能吗？

答：光子能量 hν 不是动能，而是光子的总能量。

对于光子来说，这个总能量全部是“动”的能量，但它与有质量粒子的动能公式完全不同。

1．为什么 hν 不是经典意义上的动能？

经典力学中，一个质量为 m、速度为 v 的粒子的动能为：

E_k = \(\dfrac{1}{2}\)mv²

光子有两个关键特性，使得这个公式完全不适用：

• 静质量为零：光子的静止质量m₀ = 0。
• 速度恒定：光子在真空中永远以光速 c 运动，没有“加速”过程，也没有低于光速的状态。

如果把 m = 0 代入经典动能公式，得 E_k = 0，显然结论是不对的，因为光子的确具有 hν 的能量。因此，我们需要从相对论的角度来理解。

2．从相对论能量公式看光子能量

爱因斯坦的狭义相对论给出了粒子总能量的普遍表达式：

E² = (pc)² + (m₀c²)²

其中：E 是粒子的总能量，p 是粒子的动量，m₀ 是粒子的静止质量，c 是光速。

对于有质量的粒子（如电子、质子），m₀ > 0，总能量包含静止能量 m₀c² 和动能两部分。动能就是总能量减去静止能量，即 E_k = E − m₀c²。

对于光子，m₀ = 0，于是公式简化为：

E_k = E = pc

这意味着光子的总能量完全由其动量决定！光子没有静止能量，所以它的总能量 E 全部可以看作是“运动”的能量。

3．如何将 E = pc 与 E = hν 联系起来？

在历史发展和逻辑推导上，是先有 E = hν，后有 E = pc。

（1）历史发展顺序

1900 年：普朗克提出 E = hν 的雏形（证明细节可参见 1918 年诺贝尔物理学奖——能量子的发现）。

为了解释黑体辐射，普朗克假设腔壁谐振子的能量是“量子化”的，其基本单位 ε 与频率 ν 成正比：ε = hν。

此时：这个公式描述的是能量交换的单元，普朗克本人并未认为辐射场本身是量子化的。

1905 年：爱因斯坦确立 E = hν 的实在性。

爱因斯坦在解释光电效应时，大胆提出光本身是由独立的“光量子”（光子）构成的，每个光量子携带的能量就是 E = hν。

此时：E = hν 成为了光子本身的内禀属性。这是量子论的关键一步。但此时光子动量的概念尚未明确提出。

1916 年/1923 年：爱因斯坦和康普顿确立 p = E/c 和 p = h/λ。

爱因斯坦根据狭义相对论和光压理论，早在 1909 年就意识到光量子应带有动量。但决定性证据来自康普顿散射实验。

1923 年，康普顿的 X 射线散射实验完美显示，光子与电子的碰撞就像粒子间的弹性碰撞，必须同时满足能量守恒 E = hν 和动量守恒。

为了解释实验数据，必须赋予光子动量，其大小为 p = E/c。结合 E = hν 和 c = λν，立刻得到光子的动量公式：p = h/λ。

（2）理论逻辑关系

从现代物理学框架看，两者的关系可以通过狭义相对论完美衔接。

起点（公设）：量子力学的基本公设之一是，光子的能量与其频率成正比。E = hν 是实验事实的总结，是出发点。

应用相对论：狭义相对论告诉我们，对于任何静质量为零的粒子，其能量 E 和动量 p 满足普遍关系：

E = pc

这是从相对论总能量公式 E² = (pc)² + (m₀c²)²在 m₀ = 0 时的直接推论。

逻辑推导：

• 已知光子静质量 m₀ = 0。
• 已知光子的能量为 E = hν。
• 根据相对论公式 E = pc。
• 联立二者，立即得到光子的动量：

\[p = \dfrac{E}{c} = \dfrac{{h\nu }}{c}\]

• 再利用波动学基本关系 c = λν，代入上式得：

\[p = \frac{h}{\lambda }\]

反过来，如果你从德布罗意假设（所有物质都有波动性，p = \(\dfrac{h}{\lambda }\)）出发，对于光子，结合 c = λν，也能推导出 E = hν = pc。所以，hν 和 pc 描述的是同一个东西——光子的总能量。从逻辑自洽的理论体系看，存在一个“三角互证”关系。

在沪科版选择性必修三第十四章 微观粒子的波粒二象性 小结中有类似的习题：“光子的能量为 E = cp，其中 c 为真空中的光速、p 为光子动量。利用这一关系推导物质波波长公式。”

所以，最准确的表述是：E = hν 是光子的“身份标签”和能量定义式，是实验的归纳和量子物理的基石。而 E = pc 是相对论为这个特定（零质量）身份所规定的“运动规则”。没有前者，后者对光子而言就失去了具体内容；没有后者，光子的行为就无法与相对论框架兼容。

4．总结与类比

所以，你可以这样理解：

光子的能量 hν 就是它因运动而具有的全部能量。因为它没有质量，所以不存在“静止时具有的能量”，它的能量百分之百来自其运动（振动）。在这个意义上，你可以非正式地说“光子的能量全是动的能”，但必须严格区别于经典力学中的“动能”概念，并记住其正确的表达式是 hν 或 pc。

简单来说，hν 是光子的“相对论性总能量”，由于光子静质量为零，该能量全部表现为与运动相关的能量。

5．表格中 γ 的解释

γ（伽马因子）是狭义相对论中的一个核心参数，正式名称是洛伦兹因子。它量化了相对论效应（如时间膨胀、长度收缩、质量增加）的显著程度。

（1）定义公式

\[\gamma = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {\beta ^2}} }}\]

其中：v 是物体的运动速度，c 是真空中的光速（约 3×10⁸ m/s），β = v/c，是速度与光速的比值

（2）物理意义

γ 描述了物体运动状态相对于静止参考系的偏离程度。

当 v = 0 时：γ = 1。此时相对论效应消失，回到牛顿力学。

当 v 接近 c 时：分母 \({\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }\) 趋近于 0，因此 γ 会急剧增大并趋向无穷大（γ→∞）。

γ 永远大于等于 1：γ ≥ 1。

（3）γ 在关键相对论公式中的应用

它像一个“转换因子”，将静止参考系中的测量值转换为运动参考系中的值。

（4）为什么需要 γ？

因为它保证了物理定律在所有惯性参考系中形式不变（洛伦兹协变性），并且当速度远小于光速（v ≪ c，此时 γ ≈ 1）时，所有相对论公式都会平滑地回归到我们熟悉的牛顿力学公式。γ 是连接经典世界与相对论性世界的桥梁。

总结来说：γ 是一个由速度决定的膨胀因子，它精确刻画了物体运动得越快，其时间、空间、能量、动量等属性相对于静止观测者发生的变化有多大。它是狭义相对论的“脉搏”。

二、光子在引力场中的势能如何计算

严格来说，在广义相对论中，光子（或任何物体）在引力场中并没有传统牛顿力学意义上的“势能”概念。

原因在于：

1．广义相对论将引力解释为时空的几何弯曲，而不是一种力。物体（包括光子）在弯曲时空中沿着“测地线”（即时空中的“直线”）运动。

2．牛顿势能的概念依赖于在平直时空中存在一个全局的引力势函数，这在强引力场或涉及光速的情况下不再适用。

然而，我们可以从几个不同层面来理解并“计算”光子与引力场的相互作用，这可以类比于势能的效果。

1．广义相对论的核心描述：引力红移与能量守恒

最准确的方式是使用广义相对论。对于静态引力场（如史瓦西黑洞的场），存在一个全局的时间守恒量——能量。

考虑一个光子从距离引力源 r₁ 处发射，频率为 ν₁，传播到 r₂ 处被接收，频率变为 ν₂。根据史瓦西度规，可以得到著名的引力红移公式：

\[\dfrac{{{\nu _1}}}{{{\nu _2}}} = \dfrac{{\sqrt {1 - \dfrac{{2GM}}{{{c^2}{r_1}}}} }}{{\sqrt {1 - \dfrac{{2GM}}{{{c^2}{r_2}}}} }}\]

其中：G 是万有引力常数，M 是中心天体的质量，c 是光速，r₁，r₂ 是到中心天体的径向坐标（注意这里 r 是史瓦西坐标，在弱场下近似为距离）。

物理诠释：

• 当光子从强引力场（r 较小）逃逸到弱引力场（r 较大）时，ν₂ < ν₁，频率降低，波长变长，发生红移。
• 根据光子能量公式 E = hν，这意味着光子的能量减少了。
• 这个减少的能量去了哪里？可以理解为光子为了克服引力场的“束缚”而做功，从而消耗了自身的能量。这非常类似于在牛顿力学中，物体上升时动能转化为重力势能。只不过这里，是光子的“电磁能”（通过频率体现）在转化。
• 所以，虽然没有势能 U(r) 的函数，但引力场造成了光子能量的相对论性变化。

2．弱场近似下的“有效势能”类比

在引力场很弱（如地球、太阳附近，远离黑洞）且速度远低于光速时，广义相对论可以退化为牛顿力学。对于光子，虽然其速度是光速，但在弱场下我们仍可以做一种有趣的类比。

在牛顿力学中，一个质量为m的粒子的引力势能为：U(r) = − \(\dfrac{{GMm}}{r}\)。

但对于光子，其静止质量 m₀ = 0。我们使用爱因斯坦的质能关系：光子的相对论性质量（或惯性）来自其能量：m_rel = \(\dfrac{E}{{{c^2}}}\) = \(\dfrac{{h\nu }}{{{c^2}}}\)。

如果我们强行类比，将光子视为具有“引力质量”m_g = \(\dfrac{{h\nu }}{{{c^2}}}\)，那么它在牛顿框架下的“假想”势能为：

\[U(r) = - \dfrac{{GM}}{r} \cdot \dfrac{{h\nu }}{{{c^2}}}\]

这里 ν 本身是随位置变化的，所以这个表达式并不严谨。但它可以帮助我们直观理解：

光子的能量 hν 越大（频率越高），其与引力场的耦合似乎越强。

这个公式能定性导出引力红移。假设能量守恒：hν + U(r) = 常数。忽略 ν 在 U 中的变化，可以得到频率随 r 变化的近似关系，其一级近似与广义相对论的弱场展开结果一致。

3．总结与核心要点

（1）无传统势能：在广义相对论框架下，光子没有牛顿引力势能 U(r)。引力是时空弯曲的几何效应。

（2）能量变化：引力对光子的影响体现在其能量（频率）的改变上，由引力红移公式精确描述。光子逃离引力场时能量减少（红移），落入引力场时能量增加（蓝移）。

（3）弱场类比：在弱引力场中，可以近似地将光子的能量 E = hν 除以 c² 作为其“引力质量”m_g = \(\dfrac{{h\nu }}{{{c^2}}}\)，代入牛顿势能公式进行定性或一级近似的计算，从而导出引力红移。但这只是一个教学类比，并非严格成立。

至此已经解答了本文开头例题的疑惑。在提问过程中还涉及了几个引申问题，也总结如下。

三、相对论总能量公式怎么来的？

E² = (pc)² + (m₀c²)² 是从狭义相对论的基本原理中逻辑推导出的必然结果，这个公式统一并修正了牛顿力学中的能量和动量概念，揭示了质量与能量的等效性（E₀ = m₀c²），并为所有高能物理和粒子物理学奠定了基础。它不是假设，而是狭义相对论逻辑体系中的一个定理。

DeepSeek 给出的思路如下，但我看不懂：

光速不变原理 + 相对性原理→四维时空框架→定义协变的四维速度、四维动量→四维动量模方的不变性→自动导出能量-动量关系式。

所以引用了沪科版 第八章 第二节 相对论初步教师用书中的推导方法：

如果将初始静止的物体由于外力对其做功获得的能量定义为该物体的动能，则可以推出

\[\begin{array}{l}{E_k} = \int_0^v {{\bf{F}} \cdot {\rm{d}}{\bf{r}} = } \int_0^v {\frac{{{\rm{d}}{\bf{p}}}}{{dt}} \cdot {\rm{d}}{\bf{r}} = } \int_0^v {{\bf{v}} \cdot {\rm{d}}(mv) = } \int_0^v {m{\bf{v}} \cdot {\rm{d}}{\bf{v}} + {\bf{v}} \cdot {\bf{v}}{\rm{d}}m = } \\ = \dfrac{1}{2}\int_0^v {\left[ {\dfrac{{{m_0}{\rm{d}}{v^2}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} + \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{m_0}{\rm{d}}{v^2}}}{{{{\left( {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \right)}^{3/2}}}}} \right] = } \int_0^v {{m_0}{c^2}{\rm{d}}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}} \right)} \\ = \dfrac{{{m_0}{c^2}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} - {m_0}{c^2} = m{c^2} - {m_0}{c^2}\end{array}\]

其中，m₀c² 是物体静止时具有的能量，称为静能，而

\[E = m{c^2} = {E_{\rm{k}}} + {m_0}{c^2}\]

为物体具有的总能量，此即爱因斯坦质能关系或质能方程。

四、既然光子不可能静止，那说静止质量岂不是毫无意义

这个观点是许多物理爱好者和初学者在深入思考时，必然会遇到的一个思维碰撞点。这实际上是语义、概念定义和物理学思考框架上的一个关键问题。

我们可以从几个层面来理解为什么“光子静止质量为零”这个说法不仅不是无意义的，反而极其重要和深刻。

核心澄清：这里的“静止质量”是“固有质量”的同义词

在现代物理学（特别是粒子物理学）中，“静止质量”这个术语更准确的叫法是“不变质量”或“固有质量”。它是一个粒子或系统在任何参考系下都不变的、内禀的、洛伦兹不变量。当物理学家说“光子静止质量为零”，他们真正的意思是：“光子的固有质量为零。”

这个“零”不是来自一个无法实现的“静止状态”的测量，而是来自一个在所有参考系下都成立的、严格的理论预言和实验验证。为什么这个说法至关重要？它的“意义”何在？

1．它是狭义相对论和电磁理论的基石性预言

在麦克斯韦方程组中，电磁波的速度是一个常数。爱因斯坦的狭义相对论则将“光速不变”提升为原理。从这个原理出发，可以严格推导出：任何以光速运动的物体，其静止质量必须为零。反之亦然，静止质量为零的物体，在真空中必然以光速运动。

所以，“光子静止质量为零”是理论自洽性的必然要求。它不是对一个虚幻状态的描述，而是对光子本质属性的定义。这个属性直接决定了光子为什么必须以光速运动。

2．它是可测量、可检验的物理量

虽然无法让光子静止下来称重，但我们可以通过检验其直接或间接的物理效应，来高精度地测量它的固有质量是否为零。

• 检验库仑定律：如果光子有微小的静止质量，静电场将不再是严格的平方反比定律（会出现“光子汤川势”）。对库仑定律的高精度检验，给出了光子质量的上限。
• 检验真空光速与频率的关系：如果有质量，不同频率的光速会不同（色散）。观测来自遥远星体的不同频率的光是否同时到达，可以给出严格限制。
• 检验磁场行为：如果有质量，磁场的作用范围和形式也会改变。

目前最精密的实验给出光子静止质量的上限是惊人的小：小于 10⁻⁵⁴ kg（作为对比，电子质量约 10⁻³⁰ kg）。所以，我们并非在谈论一个“无意义”的属性，而是在描述一个被实验验证到极高精度的物理事实。

3．它是粒子物理标准模型的分类依据

在标准模型中，基本粒子根据其固有质量分为两大类：

• 有质量粒子：如电子、夸克等。它们运动速度可以低于光速，有“静止参考系”。
• 无质量粒子：光子、胶子（理论上）。它们必须以光速运动，没有静止参考系。

“固有质量为零”是光子作为规范玻色子（传递电磁相互力的粒子）的核心特征。它决定了电磁力是长程力（作用范围无限远）。如果光子有质量，电磁力就会像弱核力一样，变成短程力，整个宇宙和化学都将彻底改变。

一个强大的类比：你的“出生地”

想象“静止质量/固有质量”是你的“出生地”。

• 对于普通人（有质量粒子）：你可以旅行到任何地方，但你的出生地是一个确定的地点（比如北京）。即使你到了上海，别人仍然可以说“这个人的出生地是北京”。这个属性不随你的运动而改变。
• 对于光子：它的“出生地”属性被定义为“无处”。它生来就在以光速旅行，没有“静止在某地出生”这个概念。但“‘出生地是无处’”本身就是一个极其重要且明确的属性！它定义了这类旅行者的本质，并且将他们与那些出生在“北京”或“上海”的旅行者严格区分开来。

说“光子出生地是无处”有意义吗？当然有！它解释了为什么这类旅行者永远不能停下，为什么他们的行为规则和其他人完全不同。

4．结论：思维的转换

您的质疑源于一个非常自然的想法：无法实现的状态，其属性没有意义。

但现代物理学的思维方式是：一个粒子的“固有质量”是其内禀的、不变的本质属性，决定了它在时空中运动所遵循的规律（比如速度、能量-动量关系）。光子“固有质量为零”这个属性，不是对它一个不存在状态的描述，而是对其存在方式和动力学规则的“基因编码”。

因此，“光子静止质量为零”这句话的真正含义是：

“光子是一种内禀属性（固有质量）为零的基本粒子，这一属性决定了它必须以真空光速运动，并拥有 E = pc 的能量-动量关系。”

这个陈述不仅有意义，而且是理解光、电磁相互作用乃至整个时空结构的基石。

五、现代物理学已基本摒弃“运动质量随速度增加”的说法了吗？

完全正确。在现代物理学教学和研究中，“速度越大质量越大”（即“相对论性质量”概念）已经基本被摒弃，而是更清晰地区分“静止质量”和“能量/动量”。

这是一个非常重要的概念演进，让我们来理清为什么会有这种变化，以及现在应该如何正确理解。

1．旧观点：相对论性质量（relativistic mass）

早期科普和教材中常用这个说法。公式是：

\[{m_{{\rm{rel}}}} = \gamma {m_0} = \dfrac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\]

其中 m₀ 是静止质量。

结论：速度 v 越大 → “运动质量” m_rel 越大 → 当 v 接近光速 c 时，m_rel 趋于无穷大，所以无法加速到光速。

这个说法的直观好处：似乎解释了“为什么物体不能超光速”——因为质量变得无穷大，需要无穷大的力。

沪科版教材中仍然保留了相对论性质量的概念，也保留了上述公式，我觉得对高中生而言这个观念比较容易理解。

2．为什么现在不鼓励这么说了？

问题一：模糊了核心物理概念，容易导致误解。

质量（mass）在现代物理学中特指静止质量（或不变质量）m₀。它是一个粒子的内禀属性，在所有参考系中测量都相同，是洛伦兹不变量。

“相对论性质量” m_rel 并不是一个不变属性，它依赖于观察者的参考系（你相对于物体运动的速度不同，你测得的它的 m_rel 就不同）。这违反了“质量作为物体基本属性”的直觉。

容易让学生混淆：到底哪个是“真正的”质量？F = ma 中的 m 用哪个？引力质量是哪个？

问题二：它把动力学现象归因于“质量变化”，而实际上源于“时空结构本身”

物体难以加速到光速，根本原因不是“质量变大了”，而是时空的几何结构决定了速度有上限c。在相对论中，动量 p 和能量 E 的增长关系是非线性的：

\[p = \gamma {m_0}v,E = \gamma {m_0}{c^2}\]

当 v→c 时，γ → ∞，所以即使速度增加很少，也需要巨大的能量和动量增量。这本质上是四维时空中的动量矢量的几何性质，而不是一个简单的“质量增加”机制。

问题三：在公式中引入多余且易混淆的概念

现代物理中，几乎所有公式都直接使用静止质量 m₀、能量 E 和动量 p，它们之间的关系由 E² = (pc)² + (m₀c²)² 完美刻画。引入 m_rel 后，许多公式需要“打补丁”，例如：

• 动量：旧写法 p = m_relv，新写法 p = γm₀v。
• 力：旧写法 F = \(\dfrac{{{\rm{d}}({m_{{\rm{rel}}}}v)}}{{{ \rm{d}}t}}\)，这个形式在相对论中并不总是成立，反而复杂化。
• 引力：如果按旧思路，运动物体的引力也会随速度变化吗？在广义相对论中，引力源是能量-动量张量，而不是一个简单的“运动质量”。

3．现代更清晰、更推荐的理解框架

现在主流教材和物理学家推荐使用以下表述：

• 质量（m）：特指静止质量，是固有属性，不随速度改变。光子 m = 0。
• 能量（E）和动量（p）：它们是速度的函数，会随参考系变化。总能量 E = γmc²，动量 p = γmv，它们通过 E² = (pc)² + (m₀c²)²关联。

“为什么不能超光速？”的解释更新为：

• 因为时空结构本身规定了光速 c 是速度上限。
• 对于一个有静止质量的物体，当它的速度接近c时，继续加速它所需的能量会趋向于无穷大（因为 γ → ∞）。你无法提供无穷大的能量。
• 对于一个静止质量为零的物体（如光子），它必须以光速 c 运动，并且只能以光速 c 运动。

4．例题

下面的例题是 2020 年上海高考第 15 题，内容如下：

质量 m = 1.67×10⁻²⁷ kg 的质子在高能粒子加速器中被加速到动能 E_k = 1.6×10⁻¹⁰ J。某同学根据 E_k = \(\frac{1}{2}\)mv² 计算出质子速度大小 v = 4.38×10⁸ m/s（计算无误）。此速度值的不合理之处是_______________，这说明________________________。

官方并没有公布答案，我当时对第（2）空的解释是：根据相对论，运动物体的质量会增大，因此根据 E_k = \(\frac{1}{2}\)mv² 算得的 v 偏小，不会超过光速。现在看来，这种解释并不恰当。

DeepSeek 的解答是：

（1）此速度值的不合理之处是计算出的速度 v = 4.38×10⁸ m/s 已超过真空中的光速 c ≈ 3.00×10⁸ m/s。

（2）这说明经典动能公式 E_k = \(\dfrac{1}{2}\)mv² 不适用于高速（接近光速）运动情形，此时必须使用相对论力学。

正确的相对论动能公式为：E_k = (γ − 1)mc² = (\(\dfrac{1}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2 }}}{{{c^2}}}} }}\)− 1)mc²，可得

\[\gamma = \dfrac{{{E_{\rm{k}}}}}{{m{c^2}}}  + 1 = \dfrac{{1.6 \times {{10}^{ - 10}}}}{{1.67 \times {{10}^{ - 27}} \times {{(3 \times {{10}^8})}^2}}} + 1 \approx 2.065\]

\[v = c\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{\gamma ^2}}}} = 3 \times {10^8} \times \sqrt {1 - \dfrac{1}{{{{2.065}^2}}}} \;{\rm{m/s}} \approx 0.875c = 2.62 \times {10^8}\;{\rm{m/s}}\]

发布时间：2026/1/31 下午1:58:13  阅读次数：87