磁场是广泛存在的，地球、其他行星、恒星、星际空间和星系际空间都存在着磁场。甚至在人体内，伴随着生命活动，一些组织和器官也存在微弱的磁场。磁现象与日常生活密切相关，如磁浮列车、磁条银行卡、发电机、电动机、扬声器……都离不开磁现象。在现代科学技术中磁的应用也比比皆是，如电磁炮、质谱仪、回旋加速器、热核聚变装置、磁传感器……无不与磁现象有关。

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必修课程中我们已经学习了磁场、磁感应强度以及磁通量等概念。在本章中将认识安培力和洛伦兹力；通过实验探究安培力；用洛伦兹力分析带电粒子在磁场中的运动；了解安培力和洛伦兹力的应用。本章的学习有助于提升电磁场的物质观念及运动与相互作用观念。本章的内容也是学习电磁感应及其应用的基础。

 

 

 

 

上海科技馆的智慧之光展区有一个叫做“电磁炮”的体验展品，如图 5–1 所示。“炮弹”是一个金属球。当你按下按钮，“炮弹”就会从炮筒中射出，根据“炮弹”击中“目标靶”的情况在屏幕上显示你的得分。

在学习必修课程时我们已经知道通电导体在磁场中会受外力的作用，“电磁炮”就是利用磁场对通电导体的作用力，从而沿导轨加速发射抛射体。

我们会看到通有电流的导体棒立即沿着导轨加速运动起来，这说明通电导体在磁场中受到力的作用，安培首先通过实验总结出这个力的特点。人们把通电导体在磁场中受到的力称为安培力（Ampere’s force）。下面我们来仔细探究安培力的方向和大小。

安培力的方向、磁场方向和电流方向三者之间有什么样的关系呢？

 

实验表明，安培力的方向既与磁场方向垂直，又与电流方向垂直。或者说，安培力的方向总是垂直于磁感线和通电导体所在的平面。上述活动的实验结果与理论是一致的。

磁场方向、电流方向和安培力方向这三者之间的关系可以用左手定则（left-hand rule）来判定。如图 5–3 所示，伸开左手，让大拇指跟其余四指垂直，并且都与手掌在同一平面里；把左手放入磁场中，让磁感线穿过掌心，使四指指向电流方向，这时大拇指所指的就是安培力的方向。

如果调整图 5–2 实验装置中蹄形磁体的方位，使其磁场方向与通电导体棒方向平行，我们可以观察到导体棒在磁场中不受安培力作用的情形。

安培力的大小与什么因素有关呢？

 

科学家发现：在匀强磁场中，当通电导线与磁场方向垂直时，安培力 F 最大，其大小跟磁感应强度 B、电流 I 和垂直于磁场方向的直导线的长度 L 都成正比。即

\[ \color{#945E55}{F = BIL}\]

当导线的方向与磁感应强度 B 的方向平行时，导线受力为零。

 

示例 1  如图 5–7 所示是电流天平原理示意图，使用电流天平可测量通电导线在磁场中所受的安培力。长方形线圈 abcd 共绕 15 匝，底边 bc 长 5 cm，挂在等臂天平的左端，并使线圈的 bc 边水平地悬于某一匀强磁场中，线圈平面跟磁场垂直。先使天平保持平衡，然后在线圈内通入 0.5 A 的电流，天平失去平衡。设此时右盘上升，为使天平重新达到平

 

衡，需在右端盘内再加入 37.5 g 砝码。求：

（1）线圈中电流的方向；

（2）匀强磁场的磁感应强度大小。

分析：n 匝线圈通过电流 I 受到的安培力可以等效为单匝线圈通过 nI 大小的电流受到的安培力。

解：（1）线圈通电流后，ab 边和 cd 边在磁场部分所受的安培力沿水平方向等值反向而彼此平衡；bc 边所受安培力方向应竖直向下，才会导致右盘上升而使天平失去平衡，由左手定则可判断线圈中的电流方向是 a → b → c → d。

（2）由于天平两臂等长，为使天平重新平衡，bc 边 n 匝导线所受的安培力应该等于天平右端增加的砝码的重力。设 bc 边长为 L，通过线圈的电流为 I，匀强磁场的磁感应强度为 B，天平右端增加的砝码质量为 Δm，则有

\[nBIL = \Delta mg\]

由此可得匀强磁场的磁感应强度

\[B = \frac{{\Delta mg}}{{nIL}} = \frac{{37.5 \times {{10}^{ - 3}} \times 9.8}}{{15 \times 0.5 \times 0.05}}{\rm{T}} = 0.98\;{\rm{T}}\]

 

示例 2  如图 5–8 所示，相距 L = 10 cm 的两条平行导轨组成的平面与水平面夹角 θ = 30°，导轨两端 M、N 间接一电动势 E = 3 V、内阻 r = 0.5 Ω 的电源，垂直于导轨平面有一匀强磁场，将质量 m = 10 g 的金属棒垂直放在平行导轨上，金属棒恰能静止不动。若两导轨间金属棒的电阻 R = 1 Ω，试回答：

（1）垂直于导轨平面的磁场方向是向上还是向下？

（2）磁场的磁感应强度大小是多少？（导轨与金属棒接触良好，导轨与金属棒间摩擦力以及导轨电阻不计）

分析：以平行导轨上的金属棒为研究对象进行受力分析。由闭合电路欧姆定律求电流，由力的平衡条件求安培力，由安培力公式求磁感应强度。

解：（1）以金属棒为研究对象，金属棒在导轨上处于平衡状态，受到重力 mg、弹力 F_N 和安培力 F 的作用。因磁场垂直于导轨平面，电流垂直于导轨，安培力 F 的方向平行于导轨。再由力的平衡条件可知，安培力应平行于导轨向上，如图 5–9 所示。而电流方向已知，由左手定则可判断磁感

 

应强度的方向应垂直于导轨平面向下。

（2）由于金属棒处于静止状态，则根据力的平衡条件，金属棒所受重力在斜面方向上的分力与安培力大小相等、方向相反，设通过金属棒的电流为 I，则有

\[mg\sin \theta = BIL\]

在电源、导轨、金属棒构成的回路中，由闭合电路欧姆定律 I = \(\frac{E}{{R + r}}\)，代入得磁感应强度

\[B = \frac{{(R + r)mg\sin \theta }}{{LE}} = \frac{{(1 + 0.5) \times 10 \times {{10}^{ - 3}} \times 9.8 \times 0.5}}{{0.1 \times 3}}{\rm{T}} \approx 0.25\;{\rm{T}}\]

安培力在生产、生活等各方面都有广泛应用，通过如下几个实例可见一斑。

1．磁电式电表

磁电式电表是指针式电表。无论是指针式电压表还是电流表或多用电表，原理都是利用磁场对通电小线圈的安培力使线圈偏转带动指针指示示数，从而达到测量的目的，所以这类电表叫做磁电式电表。

这种电表的基本结构如图 5–10 所示。在一个磁场很强的蹄形磁体的两极间有一个固定的圆柱形铁芯，铁芯外面套有一个可以绕轴转动的铝框，铝框上绕有线圈，铝框的转轴上装有两个螺旋弹簧和一个指针。线圈的两端分别接在这两个螺旋弹簧上，被测电流经过弹簧流入线圈。如图 5–11 所示，蹄形磁体两极和铁芯间的磁场是均匀地沿半径方向分布的。不管通电线圈转到什么角度，线圈平面都跟磁感线平行。当电流通过线圈的时候，线圈上跟铁芯轴线平行的两边都受到安培力，由左手定则可以判定，这两个力方向相反，使线圈发生转动。线圈转动时，螺旋弹簧变形，阻碍线圈的转动，阻力大小随线圈转动角度的增大而增大，从而使指针稳定在相应的偏转角度。

 

 

磁场对电流的作用力跟电流成正比，因而线圈中的电流越大，安培力也越大，线圈和指针偏转的角度也就越大。根据指针偏转角度的大小，可以知道被测电流的大小。当线圈中的电流方向改变时，安培力的方向也随着改变，指针的偏转方向也随着改变。

磁电式电表的优点是灵敏度高，可以测出很微弱的电流；缺点是由于线圈的导线很细，允许通过的电流很小（几十微安到几毫安）。通过电流较大时，通常需用串联电路限流或并联电路分流。

2．动圈式扬声器

扬声器是一种将电信号转换成声音的器件，可以由一个或多个组成音响组。动圈式扬声器的结构如图 5–12（b）所示，线圈（音圈）安放在磁体磁极间的空隙中能够自由运动，按音频变化的电流通过线圈，线圈在磁场中受到安培力作用使线圈运动，运动的方向和大小根据输入信号的大小和方向而变化。纸盆与线圈连接，线圈带动纸盆振动，从而产生声音。

3．电磁炮

传统的化学能火炮在发射过程中，后部的火药被点燃，造成气体体积迅速膨胀，推动弹体在炮膛里加速前进。传统的化学能火炮的射程受到出膛速度的限制。电磁炮是利用电磁系统中磁场产生的安培力来对抛射体（金属炮弹）加速，使其获得打击目标所需的动能。与传统的化学能火炮相比，电磁发射可大大提高炮弹的出膛速度和射程。电磁炮的基本原理如图 5–13 所示，抛射体与导轨有良好的电接触，并与电源连接，构成回路。通过给导轨回路通以很大的电流，可使抛射体在导轨电流产生的磁场的安培力作用下沿导轨加速运动，最终以很高的速度将抛射体发射出去。

 

整章分析

学习目标

1．知道磁场对通电导体的作用。认识安培力的方向和大小，能用左手定则判断安培力的方向，能计算安培力的大小。了解安培力在生产生活中的应用，体会物理知识和科学技术的关系。

2．知道磁场对运动电荷的作用。认识洛伦兹力的方向和大小，能用左手定则判断洛伦兹力的方向，能计算洛伦兹力的大小。

3．理解带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的原因。能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动，能计算带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期。经历实验验证以及进一步感受实验观察和数学推导等研究物理的基本方法，体会物理理论需要接受实验检验的科学规范。

4．了解质谱仪和回旋加速器的工作原理。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用，感悟科学与技术的密切关系，体会科学知识的巨大力量。

编写意图

课程标准中对本章内容的要求为：

2.1.1  通过实验，认识安培力。能判断安培力的方向，会计算安培力的大小。了解安培力在生产生活中的应用。

2.1.2  通过实验，认识洛伦兹力。能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。

2.1.3  能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。

在必修第三册中已学习了静电场对电荷的作用和磁场知识，本章是在此基础上进一步介绍磁场对通电导体、磁场对运动电荷的作用，引导学生通过安培力与洛伦兹力的学习进一步认识场的概念。在研究安培力和洛伦兹力时，都是先通过自主活动定性观察力的方向，再定量分析力的大小，以便学生体会研究问题的一般思路。学习本章内容要综合运用学过的力学和电磁学知识，进一步培养学生关于磁场的物质观念、运动与相互作用观念和能量观念。高中物理课程标准要求在课程内容上关注与生产生活、现代社会和科技发展的联系，本章内容紧密联系生产生活实际，帮助学生发展科学思维和科学探究等核心素养。

本章内容是电磁感应定律的基础，为后续电磁学综合问题的学习做了力学知识和电学知识之外的铺垫和实验技能准备，引导学生深入思考以提高解决实际问题的能力。通过本章的学习进一步建立磁场与通电导体、运动电荷间的相互作用观念，引导学生应用学到的知识来解决实际问题，培养运用知识的创新能力。

完成本章内容的学习共需要 7 课时。第一节 2 课时，第二节 2 课时，第三节 3 课时。

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本节编写思路

本节以科技馆“电磁炮”情境引入。通过初中阶段和高中必修三的学习、在已初步了解磁场对电流有力的作用的基础上，首先用实验证实通电导体在磁场中受到力的作用。其次通过“自主活动”使学生经历得出安培力、磁感应强度和电流方向间关系的过程，归纳出左手定则。再通过 DIS 实验定量探究安培力的大小，创设情境引导学生积极思维，引导学生从探究实验中得到安培力大小与电流成正比、与通电导线在磁场中的长度成正比。最后通过对电流天平、磁电式电表、动圈式扬声器以及本节开头电磁炮的原理分析，了解安培力在生产、生活中的广泛应用。

本节的学习将进一步认识磁场的物质观念、运动与相互作用观念。体会归纳推理的方法。感受现代技术在物理测量中的重要作用，感受科学技术对社会发展的重要意义。

正文解读

本自主活动安排分组学生实验，探究磁场对通电导体的作用。目的是：

（1）通过实验认识安培力。

（2）通过磁场对通电导体作用的实验提升磁场的物质观和相互作用观。

 

安排学生分组实验，探究安培力的方向、磁场方向和电流方向三者间的关系。目的是：

（1）能用三维图正确呈现安培力、磁场和电流三者方向间的关系，通过实验分析得出安培力的方向与磁场和电流所决定的平面垂直。

（2）经历得出安培力、磁场和电流三者方向关系的过程，体会归纳推理的方法。会判断安培力的方向。

从实验现象的分析可归纳得出：安培力的方向既与磁场方向垂直，又与电流方向垂直，安培力的方向与磁场和电流所决定的平面垂直。

 

本活动定量演示安培力的大小（有条件的学校尽可能安排为分组学生实验），目的是：

（1）经历通电导线与磁场方向垂直时得到安培力大小与电流成正比，安培力大小与通电导线在磁场中的长度成正比的过程，认识安培力。

（2）通过 DIS 实验定量探究安培力的大小，感受现代技术在物理测量中的重要作用，感受科学技术对社会发展的重要意义。

实验装置还可通过调节带刻度的圆盘，观察安培力大小与磁场和电流方向间夹角的关系。可观察到当电流与磁场方向垂直时安培力 F 最大；电流的方向与磁场的方向平行时安培力为零。

 

计算安培力的大小时，对于电流元与磁场不垂直的情况可以 用磁感应强度的等效值或等效电流元的方法来解释或解决，可根据学生的学习能力来确定是否拓展。

若磁感应强度 B 的方向与电流 I 之间的夹角为 θ，电流元所受安培力的大小为 F = BIlsinθ。

 

通过示例 1，引导学生利用左手定则判断安培力的方向，计算安培力的大小。可以让学生了解电流天平的原理，并与同伴交流自己的观点，从而加深理解安培力在生产、生活中的应用。

2019 年之前，千克的定义基于国际千克原器（简称 IPK 或大 K）。国际度量衡大会（CGPM）在考虑了替代方案之后决定以基于基布尔秤的使用，以普朗克常数 h 的数值来代替“千克”的定义，并确定了精度标准。

基布尔秤是定义新的国际标准质量的重要装置，而该秤的工作原理就是根据安培力的作用而设计的（详见本节资料链接）。

 

学生在初中已能熟练地使用磁电式电压表和电流表，但对于其工作原理知之甚少，故无法解释为何当磁电式仪表的正、负接线柱接反后，指针会反偏。解释磁电式电表的结构及其工作原理，需要用安培力综合分析。

 

电磁炮是一种电磁弹射器。下面介绍一种常见类型——轨道式电磁弹射器的原理。轨道式电磁弹射器主要由两条发射导轨和一个导电的抛射体组成。如图 1 所示，强大的电流由一条轨道流入，经抛射体后再由另一条轨道流回。根据右手螺旋定则可判断通电直导线周围磁场分布，图中下方轨道和上方轨道中的电流在抛射体处产生的磁场都是垂直纸面向里，图中用符号“×”表示，可见抛射体中部磁场被成倍的加强。当电流流经抛射体时，抛射体因载有电流而受到向右的安培力 F，从而使抛射体沿轨道向右加速射出。显然电流 I 越大，磁感应强度 B 越大，抛射体所受安培力 F 越大，抛射体抛射出去的初速率也就越大。电磁弹射器的优点是：发射抛射体的初速度大，所以射程远；发射成本低且易于连续发射；由于不使用火药，也没有巨大的声响，而且使用安全；可以发射质量较大的物体。如大大增加电磁弹射器的体积和驱动电流，则可以用抛射体牵引飞机从航空母舰上起飞，这就是航空母舰上帮助舰载机起飞的电磁弹射器，它比上一代的蒸汽弹射器更为优越。我国在电磁弹射方面已做出卓有成效的研究。

问题与思考解读

1．参考解答：（a）电流 I 水平向右

（b）安培力 F 垂直导线向左上方

（c）磁场 B 水平向左

（d）无安培力 F

命题意图：运用左手定则判断安培力的方向。

主要素养与水平：运动与相互作用观念（Ⅱ）；科学推理（Ⅰ）。

 

2．参考解答：F = BIL

I = \(\frac{F}{{BL}}\) = \(\frac{{1 \times {{10}^{ - 2}}}}{{4 \times {{10}^{ - 2}} \times 8 \times {{10}^{ - 2}}}}\) A = 3.125 A

根据左手定则可判断导线中电流方向为 b→a

命题意图：能判断安培力的方向，会计算安培力的大小。

主要素养与水平：运动与相互作用观念（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

 

3．参考解答：两根通电平行直导线间存在相互作用力；同方向电流间相互吸引，反方向电流间相互排斥。（虚线：同方向电流向内侧形变，反方向电流向外侧形变，如图 2 所示）

命题意图：运用左手定则判断两根通电平行直导线间的相互作用，加深对安培力相关概念的理解。

主要素养与水平：运动与相互作用观念（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

4．参考解答：弹簧不发生形变，两侧的弹簧对导线 ab 没有弹力。根据平衡条件：F = G；又由 F = BIL

可得      I = \(\frac{F}{{BL}}\) = \(\frac{G}{{BL}}\) = \(\frac{{0.1}}{{0.5 \times 0.1}}\) A = 2 A

安培力的方向竖直向上，根据左手定则可判断导线内电流方向为 a→b

命题意图：运用安培力综合分析解决问题。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

 

5．参考解答：若通电后指针 P 向右偏转，则说明圆柱形铁芯左侧受到的安培力向上，右侧受到的安培力向下。根据左手定则判断线圈内的电流方向，可得电流是由 A 接线柱流入电表的。

命题意图：了解安培力在生产生活中的应用，应用安培力分析磁电式仪表的工作原理。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；科学本质（Ⅲ）。

 

6．参考解答：可采用分级评分体现科学思维水平，水平越高得分越高。

根据匀变速直线运动规律可得，可增大抛射体的加速度及其作用的时间；从动能定理可得，可增大抛射体的合外力及其作用的位移；从动量定理可得，可增大抛射体的合外力及其作用的时间。

BIL − F_阻 = ma；a = \(\frac{{BIL}}{m}\) − \(\frac{{{F_阻}}}{m}\)；v = \(\sqrt {2as} \) = \(\sqrt {2\left( {\frac{{BIL}}{m} - \frac{{{F_阻}}}{m}} \right)s} \) = \(\sqrt {2\frac{{(k{I^2}L - {F_阻})s}}{m}} \)

理论上可采用的方法为：增大轨道和抛射体的宽度 L；增大轨道长度 s；增大电流 I；减小抛射体质量 m；减小抛射体受到的阻力 F_阻。

（学生其他合理的科学推理和科学论证均可，如：建模考虑受到变化的阻力，抛射体除了受到轨道的阻力外还受到空气对抛射体的阻力，空气的阻力又与速度或者速度的平方成正比，故抛射体射出前可能已经达到平衡状态，以终极速度射出等。）

水平 2：通过文字叙述进行合理的分析。

水平 3：进行建模但不考虑阻力的影响。

水平 4：进行建模考虑阻力的影响。

命题意图：运用安培力综合分析实际问题，培养模型建构、科学推理和质疑创新的能力。

主要素养与水平：运动与相互作用观念（Ⅳ）；科学推理（Ⅳ）；科学论证（Ⅲ）。

资料链接

安培

安德烈–马里·安培（1775 — 1836）是法国物理学家、数学家，经典电磁学的创始人之一。为了纪念安培在电磁学中的贡献，1948 年第九届国际计量大会决定采用安培作为国际单位制电流的单位。安培的名字与另外 71 个法国科学家的名字一起被刻在埃菲尔铁塔上。

安培在电磁学中的贡献：1820 年，丹麦物理学家奥斯特发现电流的磁效应。于是，安培开始着手建立描述电磁关系的物理理论与数学方程。为了进行定量研究，安培设计了一个检流计，可通过指针的偏转检测电流的方向并测量电流的大小。1822 年，安培发表了一篇论文，定量总结实验现象，发现两根平行载流导线以各自产生的磁场对另一根导线产生作用力。安培还在 1820 年到 1825 年间通过一系列构思精巧的实验研究了电流与电流之间的磁力。后来，法拉第和麦克斯韦等人建立了电磁场理论。根据这一理论，电流在其周围空间产生磁场，磁场再作用于其中的电流而产生磁力。如今我们把安培通过实验得到的结论表达为电流元对其附近一点的磁感应强度的贡献。此后，安培的代表作《关于电动力学现象之数学理论的回忆录，独一无二的经历》出版，“电动力学”一词自此产生。1827 年，安培获选为英国皇家学会外籍会员，一年后又当选瑞典皇家科学院外籍会员。

两根长直通电导线间的相互作用

根据毕奥–萨伐尔定律，一根长直通电导线附近的某点的磁感应强度 B 的大小与电流 I 成正比，与该点到导线的距离 r 成反比，即 B = \(\frac{{{\mu _0}}}{{2\pi }}\frac{I}{r}\) = k_m \(\frac{I}{r}\)，式中比例系数 k_m = \(\frac{{{\mu _0}}}{{2\pi }}\)，μ₀ 为真空磁导率。

两根长度为 l 的平行直导线，相距为 r 且 r ≪ l，通以相同方向的电流 I₁ 和 I₂。通电直导线 I₁ 在其周围产生磁场，除长直通电导线的两端附近，在距离为 r 处的各点，磁感应强度的大小均为 B₁ = k_m \(\frac{I_1}{r}\)。如图 3 所示，I₁ 右侧的通电直导线 I₂ 在 I₁ 的磁场中要受到安培力的作用（忽略两端附近的差别），可以近似地认为通电直导线 I₂ 全体处于相同大小和方向的磁场中，所受到的安培力大小为

F = B₁I₂l = k_m \(\frac{{{I_1}}}{r}\) I₂l = k_ml \(\frac{{{I_1}{I_2}}}{r}\)

方向垂直导线向左。同理可知，通电直导线 I₂ 在其周围距离为 r 处的各点，磁感应强度的大小均为 B₂ = k_m \(\frac{{{I_2}}}{r}\)，左边直导线 I₁ 受到的安培力大小为

F′ = B₂I₁l = k_m \(\frac{{{I_2}}}{r}\) I₁l = k_ml \(\frac{{{I_1}{I_2}}}{r}\)

方向垂直导线向右，两根长直通电导线间相互吸引。

安培力的应用——直流电动机的原理

直流电动机是将直流电能转换为机械能的动力机械。直流电动机最突出的优点是通过改变输入电压很容易调节它的转速。因此，不少需调速的设备都采用直流电电动机。直流电动机原理如图 4（a）和图 4（c）所示。当直流电源通过电刷向线圈供电时，左侧导体受到向上安培力的作用；右侧导体受到向下安培力的作用。换向器是一对相互绝缘的半圆形接触片且通过电刷与直流电源连接。通过换向器，通电线圈便可以连续不断地按顺时针旋转，将输入的直流电能转换成输出的机械能。

图 4

 

基布尔秤的原理简介

基布尔秤（图 5）的运作分为两种模式。第一种是称重模式，这种模式只需要用到秤的左边。如图 6 所示，在秤左边的托盘上放上质量 m 未知的物块，它受到竖直向下的重力 mg。下方的线圈通入电流，红色的部分是一块永磁铁，产生恒定的磁场。假设产生的磁场为匀强磁场，磁场与电流方向垂直，磁场与导线运动方向垂直。通入电流的线圈会受到向上的安培力作用，大小为 F = BIL，其中 I 是电流大小，B 是磁感应强度，L 是线圈长度。调整电流大小可以做到重力和安培力正好相互抵消，即 mg = BIL。如果 B、I、L 和 g 都能精确测量出来，m 就可确定。但问题在于 B 和 L 很难测到所需的精度，于是就有了巧妙的第二种模式：速度模式。这种模式里要把左边的物块移走，线圈也不通电流，开启右边电机，使得左边的线圈在竖直方向上以匀速 v 运动。根据法拉第电磁感应定律，导线在磁场中运动会切割磁感线产生感应电动势 E = BLv，所以 BL = \(\frac{E}{v}\)。这样无需知道 B 和 L 具体的值，只需将它们的乘积代入 mg = BIL，就能消掉 BL，得 mgv = EI。这个方程左边是机械功率（单位瓦特），右边是电功率（单位也是瓦特）。等式两边功率相等，所以基布尔秤又叫瓦特秤。于是可得质量 m = \(\frac{{EI}}{{gv}}\)。或者利用欧姆定律 I = \(\frac{E}{R}\)，改写成这样：m = \(\frac{{{E^2}}}{R} \cdot \frac{1}{{gv}}\)。当今科技条件下，等式右边每一项都可以测量到极高的精度，这样就能以极高精度确定质量，这就是基布尔秤的基本原理。

图 5

图 6

那么质量 m 又是如何与普朗克常数 h 建立联系的呢？关键在于电动势 E 和电阻 R。为了达到极高的精度，二者的测量分别借助约瑟夫森效应和量子霍尔效应（均获得过诺贝尔物理学奖）。将频率为 f 的电磁波入射约瑟夫森结，就能测量电势差：E = \(\frac{{nhf}}{{2e}}\)，其中 n 是反映约瑟夫森结个数的整数，h 是普朗克常数，e 是元电荷。类似地，电阻 R 可以通过量子霍尔效应精准测量：R = \(\frac{h}{{p{e^2}}}\)，其中 p 是一个整数，e 是元电荷。代入原式就得到了质量的最终表达式：m = \(\frac{{p{n^2}{f^2}}}{{4gv}}\) h。现在普朗克常数 h 已经被固定为常数了，根据这一质量的最终表达式就能以地球上目前最高的精度来测量质量。

任何一个国家只要有相应的科技水平，就可以建造一个完全类似的基布尔秤实验室，按照上面的公式和方法测出物块的质量，并把它确定为全国任何其他质量测量的最高标准。即使巴黎的国际千克原器（简称 IPK 或大 K）遭毁坏或失窃，也丝毫不会产生任何影响。各国也不需要每四十年去巴黎校准一次。以后国际度量衡局总部地下室罩有三层玻璃钟罩的铂铱合金圆柱体就正式退出历史舞台了。

参考网址：https://www.nist.gov/si-redefinition/kilogram-kibble-balance。

磁电式电表的刻度为何是均匀的

如教材第 6 页图 5 – 11 所示，磁电式电表的线圈处于辐向磁场中，因此不论转到什么位置，线圈所受的安培力力矩的大小恒为 M = NBIS，式中 N 为线圈匝数，S 为线圈面积。由于线圈在转动过程中将螺旋弹簧扭紧，同时线圈受到螺旋弹簧的阻碍力矩 M′ = kθ 的作用，式中 k 为螺旋弹簧的扭转系数。当两力矩平衡时线圈处于平衡位置，根据力矩平衡条件有：NBIS = kθ，可得 θ = \(\frac{{NBS}}{k}\) I。式中 N、B、S、k 都是定值，所以 θ ∝ I，即线圈的偏转角 θ 与电流 I 成正比。电表刻度盘上圆弧的长度也与 θ 成正比，所以磁电式电表的刻度是均匀的。