第二章 第二节 简谐运动的回复力和能量

 

 

弹簧振子沿 x 轴做简谐运动，小球的位移与时间的关系 x = \(A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}t} \right)\) 比我们以前学过的各类运动都要复杂。小球为什么会如此运动？由牛顿运动定律可知，小球的运动一定与其受力有关。

以图 2–10 所示的弹簧振子为例，把不受弹力作用的平衡位置作为坐标原点 O，水平向右为正方向建立 x 轴。在振动的全过程中，除了平衡位置外，小球始终受到弹簧弹力 F 的作用。小球在平衡位置右侧时，位移 x 为正，弹力 F 沿着 x 轴负方向；小球在平衡位置左侧时，位移 x 为负，弹力 F 沿着 x 轴正方向；可见弹力总是与位移方向相反，总是指向平衡位置。小球位移 x 的大小即为弹簧的形变量，根据胡克定律，在任意位置，小球所受弹力 F 为

\[\color{#62547B}{F = - kx}\]

式中 k 是弹簧的劲度系数。小球在弹簧弹力的作用下，在平衡位置两侧做简谐运动。

我们把振动物体受到的总是指向平衡位置的力称为回复力（restoring force）。物体在运动方向上只受回复力的作用，且回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，该物体一定做简谐运动。

示例 如图 2–11 所示的频闪照片显示了弹簧振子在半个周期中 7 个时刻的位置。为了便于观察，① ~ ⑦间弹簧的像已经做了处理。位置①和位置⑦分别为弹簧拉伸和压缩形变最大的位置，频闪时间间隔为 0.1 s，照片与实际长度之比为 1∶4。

图 2–11 某弹簧振子运动的位置

（1）根据照片确定此弹簧振子做简谐运动的振幅、周期和频率。

（2）定性分析弹簧振子中的振动物体从位置①到位置⑦过程中回复力和速度的变化。

 

分析：由半个周期内弹簧拉伸形变最大位置与压缩形变最大位置可得弹簧振子做简谐运动的振幅大小。根据半个周期中频闪的次数和频闪的时间间隔可得简谐运动的周期和频率。由于频闪时间间隔恒定，根据照片上相邻两个位置之间的距离就能近似反映弹簧振子中振动物体在该位置附近的速度大小。根据弹簧的形变量可以判断物体所受回复力的情况。

解：（1）位置①是拉伸形变最大的位置，相隔半个周期的位置⑦就是压缩形变最大的位置，利用刻度尺量出照片中位置①与位置⑦中心的距离约为 4.4 cm，考虑到照片与实际长度之比为 1∶4，可知两者的实际距离约为 17.6 cm，所以该弹簧振子做简谐运动的振幅 A ≈ 8.8 cm。

半个周期内，频闪摄影所经历的时间为 0.1 s×6 = 0.6 s。所以，运动的周期 T = 1.2 s，频率

\[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{{1.2}}\;{\rm{Hz}} \approx 0.83\;{\rm{Hz}}\]

（2）从图片上可以看出，在相等时间间隔内，弹簧振子经过的位移不同，从位置①到位置⑦，弹簧振子先加速后减速。位置①和位置⑦离平衡位置最远，在这两处物体的速度为 0。根据简谐运动中回复力和位移的关系，物体受到的回复力与其偏离平衡位置的位移大小成正比，在位置①回复力最大，方向向右；从位置①到位置④，随着物体位置的变化，回复力逐渐减小，到位置④时回复力为 0；随后回复力方向向左，且逐渐增大，到位置⑦时，又达到最大。从位置①到位置④，回复力方向与运动方向相同，速度增大；从位置④到位置⑦，回复力方向与运动方向相反，速度减小。

 

弹簧振子的动能与速度有关，势能与弹簧的形变量即位移的大小有关。简谐运动的过程中，弹簧振子的速度和位移时刻变化。弹簧振子动能和势能也在不断变化。

可以看出，弹簧振子做简谐运动的过程中，弹力做功引起动能与弹性势能相互转化。由于只有弹力做功，机械能守恒。弹簧振子的机械能既等于它处于平衡位置时的动能也等于它在最大位移处的弹性势能，振幅反映了弹簧振子机械能的大小。

本节编写思路

本节按从特殊到一般的思路，以弹簧振子为例，进一步探讨了简谐运动的能量变化规律。

本节内容按以下思路展开：

1．分析弹簧振子经过不同位置时受力与运动状态改变的关系，归纳得出回复力的概念和振子做简谐运动的条件。

2．分析弹簧振子运动过程中，回复力做功与弹性势能变化的关系，结合机械能守恒定律，理解做简谐运动的系统内部动能、做功与能量的转化，以及机械能的守恒。

学习本节内容，将经历观察、分析弹簧振子振动过程中受力与运动状态变化、做功与机械能转化的过程，在巩固和深化运动与相互作用观念及能量观念的同时，发展科学推理与探究的能力。

正文解读

（1）回复力是根据力对物体运动状态改变的效果来命名的。（2）简谐运动的受力特征是物体所受回复力 F 满足 F = − kx 的关系，式中 x 表示物体离开平衡位置的位移，k 为比例常量，由物体组成的振动系统的固有性质决定。对弹簧振子而言，该常量即为弹簧的劲度系数。

 

解答（2）示范了基于证据的解释方式。上述解释分别从运动学和动力学的角度展开，看似相互独立，实际上振子速度的变化与其所受回复力的作用是相互联系的。

 

一般而言，简谐运动的周期是由系统的性质决定的，可通过动力学方程得出相应的表达式，具体参考本书第 43 页资料链接。

 

此处的“自主活动”耍求学生对照教材图 2 – 10，利用对称性，根据表中给出的示范，完成表格并讨论交流。

交流时，需要引导学生从回复力做功出发，分析能量转化关系。

 

振动系统具有的总机械能称为系统的振动能量。以弹簧振子为例，计算做简谐运动的系统的振动能量。

设弹簧振子在某时刻 t 的位移为 x = Acos（ωt + φ），则该时刻振子的速度为 v = − ωAsin（ωt + φ）。故弹簧振子系统的振动能量为 E = \(\frac{1}{2}\)kx² + \(\frac{1}{2}\)mv² = [Acos（ωt + φ）]² + \(\frac{1}{2}\)m[− ωAsin（ωt + φ）]²。由于 ω² = \(\frac{k}{m}\)，可得：E = \(\frac{1}{2}\)kA² = \(\frac{1}{2}\)mω²A²。由此可见，做简谐运动的系统机械能守恒，且振幅 A 反映了系统振动的总机械能。

问题与思考解读

1．参考解答：如下表

小球位置	位移	回复力	加速度	速度
C	向右 最大	向左 最大	向左 最大	0
C→O	向右 减小	向左 减小	向左 减小	向左 增大
O	0	0	0	向左最大
O→B	向左 增大	向右 增大	向右 增大	向左减小
B	向左 最大	向右 最大	向右 最大	0
B→O	向左 减小	向右 减小	向右 减小	向右 增大
O	0	0	0	向右 最大
O→C	向右 增大	向左 增大	向左 增大	向右 减小

命题意图：将一个全振动过程分段，利用表格的形式引导学生发现规律，在填表的过程中，明确表格中各个物理量之间的关系所遵循的物理规律，体会振动的对称性和周期性。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；解释（Ⅱ）。

 

2．参考解答：（1）0 ~ 2 s 和 4 ~ 6 s 时间内质点相对平衡位置的位移方向沿 x 轴正方向。

（2）该质点做简谐运动的周期为 4 s，故该质点在任意 4 s 内的路程是相同的，为 20 cm。

（3）图中 0 ~ 1 s，2 ~ 3 s，4 ~ 5 s 时间内，质点的位移方向与瞬时速度方向相同；图中 1 ~ 2 s，3 ~ 4 s，5 ~ 6 s 时间内，质点的位移方向与瞬时速度方向相反。

（4）2 ~ 4 s时间内质点受到的回复力方向沿 x 轴正方向。

命题意图：建立图像与简谐运动的关系，根据图像中的信息分析振动的过程，厘清各个物理量之间的关系，特别是矢量的方向性。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

3．参考解答：根据胡克定律可知，小球运动到平衡位置左侧 4 cm 处，受到的回复力为 8 N。由振动的对称性知，小球运动到平衡位置右侧 4 cm 处，受到的回复力为 8 N，方向向左。由牛顿第二定律得 a = \(\frac{F}{m}\) = \(\frac{8}{0.2}\) m/s² = 40 m/s²，方向向左。

命题意图：对具体的振动过程运用振动的对称性，形成完整的证据链，进行定量分析。

主要素养与水平：科学推理（Ⅲ）；科学论证（Ⅲ）。

 

4．参考解答：如图 4 所示。

提示：三个图中表示机械能 E 的矩形一样高，图（d）中表示动能 E_k 和势能 E_p 之和等于机械能 E。

命题意图：以图（b）为支架，通过图示直观描述振动过程中能量的变化和能量的守恒。

主要素养与水平：能量观念（Ⅲ）；交流（Ⅲ）。

 

5．参考解答：振幅是表示振动强弱的物理量，与振动系统的总机械能有关。振子经过最大位移处时速度为零，此时系统的机械能为弹性势能。黏土从高处竖直落在振子上，改变滑块的质量，不改变滑块振动方向的速度和系统的弹性势能，因此系统的机械能不变，振幅不变。

命题意图：从碰撞和能量的角度，对一个比较复杂的现象进行定性分析。

主要素养与水平：能量观念（Ⅲ）；科学推理（Ⅳ）。