第六章 第二节 万有引力定律

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图 6–10  浩瀚宇宙与万有引力

 

1665 年 8 月，22 岁的牛顿为躲避英国剑桥的鼠疫回到家乡林肯郡。这期间他研究了许多科学问题，包括开普勒的行星运动定律。在此基础上，牛顿经过长期研究，最终发现了茫茫星空中的天体与地球上的物体共同遵循的物理规律——万有引力定律。（图 6–10）

据传，当牛顿在思考月亮绕地球运行的原因时，看见窗前一棵树上落下一个苹果，这引起了他的思考。为什么苹果会落下来，而月亮却没有落下来？

牛顿认为，或许使苹果下落的力同样使月亮向地球“下落”，而就是这个“下落”才使月亮不断改变方向而始终保持在绕地球运行的轨道上。

牛顿的思考是：水平抛出一个苹果，它将沿曲线落回地面；苹果抛出得越快，它就会落得越远。如果把苹果抛出得足够快，它就可以绕过地球表面的大部分圆周，甚至能永远不会落回地面而变成绕地球运行（图 6–11）。

牛顿的思考并未就此止步，月亮到底受到什么力的作用才使其绕地球运行？这个力与行星绕太阳运行所受的力是否类似？用这种力能不能解释开普勒三定律？

 

牛顿在大胆猜想的基础上，经过大量严谨的推演，终于揭开了天体运动的神秘面纱。1684 年，牛顿得出，不论是天上的两个天体之间还是地上两个物体之间都存在与距离的二次方成反比的引力，正是由于这个引力导致苹果落地和行星在不同的轨道上运动。就这样，地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了。

牛顿认为，地球对苹果的引力、地球对月亮的引力与太阳对行星的作用力本质上都完全相同，而且无论天上、地上还是天地之间的任何两个物体之间全都存在这种引力。牛顿把这种所有物体之间都存在的相互吸引力叫做万有引力（universal gravitation）。

牛顿的这种统一观念是物理学中普适性的经典，鼓舞了很多有才华的青年走上了物理学研究的道路。诺贝尔物理学奖获得者李政道（1926— ）曾说，物理法则既适用于地球上你卧室里的现象，也适用于火星上的现象，这一思想对学生时代的他来说是新颖的，激发了他的兴趣，物理法则的普适性深深打动了他。

牛顿发现了万有引力，并推出万有引力定律（law of universal gravitation）：自然界中任何两个物体都相互吸引，相互间引力的大小与物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比。

若用 m₁、m₂ 分别表示两物体的质量，r 表示两物体间的距离，则万有引力定律可表示为

\[\color{#357A4A}{F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}}\]

式中质量的单位为 kg，距离的单位为 m，力的单位为 N。G 是比例系数，叫做引力常量（gravitational constant），是一个既有数值又有单位的常量，G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²，适用于任何两个物体之间的引力。

这里所说的距离 r 是指可以看成质点的两物体间的距离，若是质量均匀分布的球体则是两个球心间的距离。

 

 

1798 年，英国物理学家卡文迪什（H.Cavendish，1731—1810）巧妙地利用扭秤装置，

第一次在实验室里比较精确地测出了引力常量。

卡文迪什扭秤的主要结构和原理如图 6–12 所示，装有平面镜 M 和两个相同小球 a、b 的 T 形架，用石英丝悬吊起来，当小球 a、b 被大球 c、d 吸引时，T 形架和石英丝会发生极其微小的扭转，利用平面镜对光线的反射能测出这个微小的扭转角，进而测量出大球与小球间极微小的万有引力。卡文迪什由此验证了万有引力定律，并测出了引力常量 G 的数值。

 

示例  已知地球的质量 m_地 = 5.972 × 10²⁴ kg，地球半径 r_地 = 6.371 × 10⁶ m。利用万有引力定律计算地球表面重力加速度 g 的大小。

分析：地球表面的物体所受到的重力近似等于地球对物体的万有引力。由引力常量、地球质量和半径可以计算地球表面的重力加速度。

解：设地球上有一物体的质量为 m，物体所受重力为 mg，地球对物体的万有引力为 G\(\frac{{{ m_地}m}}{{r_地^2}}\)，由 mg = G\(\frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}\) 可得

\[g = G\frac{{{m_地 }}}{{r_地^2}} = 6.67 \times {10^{ - 11}} \times \frac{{5.972 \times {{10}^{24}}}}{{{{(6.371 \times {{10}^6})}^2}}}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2} \approx 9.81{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]

 

在上例的计算中，之所以能认为物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，是由于忽略了地球自转的影响，但是这样计算得到的重力加速度的值与实验中测得的地球表面重力加速度的平均值（9.80 m/s²）非常接近。

问题与思考解读

1．参考解答：这种说法错误。首先，运动是相对的，如果以苹果为参照物，可以说地球向苹果运动。其次，地球和苹果间的万有引力大小与它们质量的乘积成正比，是作用力与反作用力，两者大小相等。人是站在地球上的，一般以地球为参照物，观察到的是苹果落向地球，所以从这个角度，我们一般说“苹果落向地球，而不说地球向上运动碰到苹果”。

命题意图：通过该问题的讨论，进一步体会万有引力的大小与两个相互作用物体的质量的乘积成正比，不是由各自的质量大小决定的。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；解释（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

 

2．参考解答：如教材图 6–12 所示，采用的方法是利用 T 形架上的平面镜 M 对入射光的反射，以“放大”石英丝扭转的微小角度。装置有两个效果：①反射光的偏转角是平面镜偏转角的 2 倍，这是第一次“放大”；②标尺离乎面镜越远，光点移动距离越大，此为第二次“放大”。只要测量光点移动的距离，根据光路的几何关系即可计算石英丝扭转的微小角度。

命题意图：通过此实验“放大法”的描述，进一步了解卡文迪什扭秤实验设计的精妙之处，体验物理实验的创新性设计思想。

主要素养与水平：问题（Ⅰ）；证据（Ⅰ）；解释（Ⅱ）。

 

3．参考解答：能。万有引力定律表述的是两个质点间的吸引力，而两颗恒星的尺度远小于彼此间的距离，可视为质点。根据万有引力定律得两颗恒星间的万有引力

F = G\(\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\) = 6.67×10⁻¹¹×\(\frac{{1 \times {{10}^{31}} \times 6.4 \times {{10}^{30}}}}{{{{(7.57 \times {{10}^{12}})}^2}}}\) N ≈ 7.45×10²⁵ N。

命题意图：从已知条件中提炼有用信息，应用万有引力定律解决问题，并了解在宇观尺度中万有引力定律的应用，以及天体之间万有引力大小的数量级。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

4．参考解答：F = G\(\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\) = 6.67×10⁻¹¹×\(\frac{{1.7 \times {{10}^{-27}} \times 9.1 \times {{10}^{-31}}}}{{{{(5.9 \times {{10}^{-11}})}^2}}}\) ≈ 2.96×10⁻⁴⁷ N

命题意图：通过氢原子的质子和电子之间万有引力大小的计算，体会在微观粒子中万有引力大小的数量级。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

5．参考解答：每个铅球的质量约为 5 kg，若取两个铅球相距 1 m 放置，根据万有引力定律计算它们之间的万有引力 F = G\(\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\) = 6.67×10⁻¹¹×\(\frac{{5 \times 5}}{{{1^2}}}\) ≈ 1.67×10⁻⁹ N；万有引力与重力之比 \(\frac{F}{G}\) = \(\frac{{1.67 \times {{10}^{ - 9}}}}{{5 \times 9.8}}\) ≈ 3.41×10⁻¹¹。可见两铅球间的万有引力远小于自身的重力，在水平地面上不可能克服铅球受到的摩擦阻力而运动，所以它们不可能吸引在一起。

命题意图：根据生活常识，通过建立简单的物理模型计算两铅球间的万有引力大小加以判断，感受在我们生活空间里的万有引力大小的数量级，提高“问题、证据、解释”等科学探究的素养。

主要素养与水平：问题（Ⅱ）；证据（Ⅱ）；解释（Ⅱ）。

 

6．参考解答：“嫦娥一号”与地心和月心间的距离分别为r₁、r₂。由题意 G\(\frac{{{m_地}{m_0}}}{{r_1^2}}\) = G\(\frac{{{m_月}{m_0}}}{{r_2^2}}\)，得 \(\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\) = \(\sqrt {\frac{{{m_地}}}{{{m_月}}}} \) ≈ 9。

命题意图：运用万有引力定律讨论“嫦娥一号”探月飞行的实际问题，同时体现对科学本质与社会责任方面素养的培养。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）；科学本质（Ⅱ）。