第七章 2 万有引力定律

问题？

各行星都围绕着太阳运行，说明太阳与行星之间的引力是使行星如此运动的主要原因。引力的大小和方向能确定吗？

开普勒定律发现之后，人们开始更深入地思考：是什么原因使行星绕太阳运动？历史上科学家们的探索之路充满艰辛。

伽利略、开普勒及笛卡儿都提出过自己的解释。牛顿时代的科学家，如胡克和哈雷等对此作出了重要的贡献。

哥白尼、第谷、开普勒这些科学家不畏艰辛、几十年如一日刻苦钻研的精神是成功的基石，值得我们学习。

胡克等人认为，行星绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行星的轨道是圆形的，它所受引力的大小跟行星到太阳距离的二次方成反比。但是由于关于运动和力的清晰概念是由牛顿建立的，当时没有这些概念，因此他们无法深入研究。

牛顿在前人对惯性研究的基础上，开始思考“物体怎样才会不沿直线运动”这一问题。他的回答是：以任何方式改变速度（包括改变速度的方向）都需要力。这就是说，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该就是太阳对它的引力。于是，牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了。

下面我们根据牛顿运动定律及开普勒行星运动定律来讨论太阳与行星间的引力。

行星与太阳间的引力

行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动。行星做匀速圆周运动时，受到一个指向圆心（太阳）的引力，正是这个引力提供了向心力，由此可推知太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线（图7.2-1）。

设行星的质量为m，速度为v，行星与太阳间的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为

\[F = m\frac{{{v^2}}}{r}\]

天文观测可以测得行星公转的周期T，并据此可求出行星的速度

\[v = \frac{{2\pi r}}{T}\]

把这个结果代入向心力的表达式，整理后得到

\[F = \frac{{4{\pi ^2}mr}}{{{T^2}}}\]

通过上节的学习我们知道周期 T 和半径 r 有一定的关系，把开普勒第三定律\(\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}}\) ＝k变形为T²＝\(\frac{{{r^3}}}{k}\)，代入上面的关系式得到

\[F = 4{\pi ^2}k\frac{m}{{{r^2}}}\]

上式等号右边除了m、r以外，其余都是常量，对任何行星来说都是相同的，因而可以说太阳对行星的引力F与行星的质量m成正比，与r²成反比，即F∝\(\frac{m}{{{r^2}}}\)。

我们知道，力的作用是相互的。太阳吸引行星，行星也同样吸引太阳，也就是说，在引力的存在与性质上，行星和太阳的地位完全相当，因此，行星与太阳的引力也应与太阳的质量m_太成正比，即F∝\(\frac{{{m_太}m}}{{{r^2}}}\)，写成等式就是

\[F = G\frac{{{m_太}m}}{{{r^2}}}\]

式中量 G 与太阳、行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。

从第谷的数千个数据到开普勒行星运动定律，再到引力的表达式，我们可以体会到认识越深刻，表述就越简洁，含义就越丰富。获得真知的愉悦和审美感受总是激励科学家不断探索。

月—地检验

地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一种性质的力吗？这种力与地球对树上苹果的吸引力也是同一种性质的力吗（图7.2-2）？

假设地球与月球间的作用力与太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G\(\frac{{{m_月}{m_地}}}{{{r^2}}}\)。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a_月＝ \(\frac{F}{{{m_月}}}\)＝ G\(\frac{{{m_地}}}{{{r^2}}}\)（式中 m_地 是地球质量，r 是地球中心与月球中心的距离）。

进一步，假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度 a_苹 ＝ \(\frac{F}{{{m_苹}}}\)＝ G\(\frac{{{m_地}}}{{{R^2}}}\)（式中 m_地 是地球质量，R 是地球中心与苹果间的距离）。

由以上两式可得\(\frac{{{a_月}}}{{{a_苹}}}\)＝\(\frac{{{R^2}}}{{{r^2}}}\)。由于月球与地球中心的距离 r 约为地球半径 R 的 60 倍，所以\(\frac{{{a_月}}}{{{a_苹}}}\)＝\(\frac{1}{{{{60}^2}}}\)。

思考与讨论

已知自由落体加速度g为9.8 m/s²，月球中心距离地球中心的距离为3.8×10⁸ m，月球公转周期为27.3 d，约2.36×10⁶ s。根据这些数据，能否验证前面的假设？

在牛顿的时代，人们已经能够比较精确地测定自由落体加速度，当时也能比较精确地测定月球与地球的距离、月球公转的周期，从而能够算出月球运动的向心加速度。计算结果与预期符合得很好。这表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，真的遵从相同的规律！

牛顿深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系。正是在这个过程中，力与加速度的关系在牛顿的思想中明确起来了。

万有引力定律

我们的思想还可以更解放。既然太阳与行星之间、地球与月球之间，以及地球与地面物体之间具有“与两个物体的质量成正比、与它们之间距离的二次方成反比”的吸引力，是否任意两个物体之间都有这样的力呢？很可能有，只是由于身边物体的质量比天体的质量小得多，不易觉察罢了。于是我们大胆地把以上结论推广到宇宙中的一切物体之间：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m₁和m₂的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比，即

\[F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\]

式中质量的单位用千克（kg），距离的单位用米（m），力的单位用牛（N）。G是比例系数，叫作引力常量（gravitational constant），适用于任何两个物体。

尽管以上推广是十分自然的，但仍要接受事实的直接或间接的检验。本章后面的讨论表明，由此得出的结论与事实相符，于是，它成为科学史上最伟大的定律之一 ——万有引力定律（law of universal gravitation）。它于1687年发表在牛顿的传世之作《自然哲学的数学原理》中。

万有引力定律明确地向人们宣告，天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则；它向人们揭示，复杂运动的后面可能隐藏着简洁的科学规律，正是这种对简洁性的追求启迪科学家不断探索物理理论的统一。

科学论证需要证据支持。开普勒根据第谷的观测数据提出了行星运动定律，行星运动定律又为万有引力定律提供了支持，“月—地检验”进一步验证了万有引力定律。

引力常量

牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但却无法算出两个天体之间万有引力的大小，因为他不知道引力常量G的值。

一百多年以后，英国物理学家卡文迪什在实验室里通过测量几个铅球之间的万有引力，比较准确地得出了G的数值。目前推荐的标准值G＝6.672 59×10^-11 N·m²/kg²，通常取G＝6.67×10^-11 N·m²/kg²。

有人曾问李政道教授，在他做学生时，刚一接触物理学，什么东西给他的印象最深？他毫不迟疑地回答，是物理学法则的普适性深深地打动了他。

思考与讨论

一个篮球的质量为0.6 kg，它所受的重力有多大？试估算操场上相距0.5 m的两个篮球之间的万有引力。

引力常量是自然界中少数几个最重要的物理常量之一。卡文迪什在对一些物体间的引力进行测量并算出引力常量G以后，又测量了多种物体间的引力，所得结果与利用引力常量G按万有引力定律计算所得的结果相同。引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。

科学漫步

牛顿的科学生涯

牛顿——伟大的科学家，牛顿力学理论体系的建立者，1643年1月4日[1]诞生在英格兰的林肯郡。他少年时代喜欢摆弄机械，喜欢绘画、雕刻，尤其喜欢刻日晷，用以观看日影的移动，从而得知时刻。12岁进中学，学习成绩并不出众，只是爱好读书，喜欢沉思，爱做小实验，对自然现象有好奇心。他还分门别类地记读书心得笔记，又喜欢别出心裁地做些小工具、小发明。他的中学校长和他的舅父独具慧眼，鼓励牛顿去大学读书。牛顿于1661年进入剑桥大学三一学院，1665年获得学士学位。

1665～1666年伦敦鼠疫流行，学校停课，牛顿回到故乡。牛顿在剑桥受到数学和自然科学的培养和熏陶，对探索自然现象产生了极浓厚的兴趣。就在躲避鼠疫这两年内，他在自然科学领域思潮奔腾，思考了前人从未想过的问题，创建了惊人的业绩。

1665年初，他创立了级数近似法和把任何幂的二项式化为一个级数的方法。同年11月，创立了微分学。次年1月，牛顿研究颜色理论，5月开始研究积分学。这一年内，牛顿还开始研究重力问题，并把重力与月球的运动、行星的运动联系起来考虑。他从开普勒行星运动定律出发，通过数学推导发现：使行星保持在它们轨道上的力，必定与行星到转动中心的距离的二次方成反比。由此可见，牛顿一生中最重大的科学思想，是在他二十多岁时思想敏锐的短短两年期间孕育、萌发和形成的。

牛顿于1684年8～10月先后写了《论运动》《论物体在均匀介质中的运动》，1687年出版了《自然哲学的数学原理》（图7.2-3），1704年出版了《光学》。他在1727年去世前，说了一段有名的话：“如果我所见到的比笛卡儿要远些，那是因为我站在巨人的肩上。”

牛顿所指的巨人及其成就，包括欧几里得的数学、阿基米德的静力学、开普勒的行星运动定律、伽利略的运动理论和实验结果，还包括惯性概念、笛卡儿的动量守恒、惠更斯的向心力，等等。在科学方法上，他以培根的实验归纳方法为基础，又吸收了笛卡儿的数学演绎体系，形成了以下比较全面的科学方法。

（1）重视实验，从归纳入手。这是牛顿科学方法论的基础。他曾说过：“为了决定什么是真理而去对可以解释现象的各种说法加以推敲， 这种做法我认为是行之有效的……探求事物属性的准确方法是从实践中把它们推导出来。”牛顿本人在实验上具有高度的严谨性和娴熟的技巧，在《自然哲学的数学原理》一书中他描述了大量实验。

（2）为了使归纳成功，不仅需要可靠的资料与广博的知识，而且要有清晰的逻辑头脑。首先要善于从众多的事实中挑选出几个最基本的要素，形成深刻反映事物本质的概念，然后才能以此为基石找出事物之间的各种联系并得出结论。牛顿在谈到自己的工作方法的奥秘时说，要“不断地对事物深思”。

伽利略和笛卡儿、惠更斯等已经用位移、速度、加速度、动量等一系列科学概念代替了古希腊人模糊不清的自然哲学概念；牛顿的功绩是，在把它们系统化的同时贡献出两个关键性的概念：“力”和“质量”。他把质量与重量区别开来，并把质量分别与惯性和引力联系起来。牛顿综合了天体和地面上物体的运动规律，形成了深刻反映事物本质的科学体系。

（3）事物之间的本质联系只有通过数学才能归纳为能够测量、应用和检验的公式和定律。牛顿的数学才能帮助他解决了旁人解不开的难题。他把上述基本概念定义为严格的物理量，并且创造出新的数学工具来研究变量间的关系，从而建立了运动三定律和万有引力定律。

此外，牛顿勤奋学习的精神，积极思索、耐心实验，以及年复一年坚持不懈地集中思考某一问题等优秀品质，也是他取得伟大成就的内在因素。

当然，并非他做的每件事都值得尊重。他有许多年陷入炼金术及其他神秘探索，也很难包容持不同意见的人。他犯过的错误和性格上的弱点也许比人们知道得更多，但他仍是一位无与伦比的巨人。

1727年3月31日，牛顿在睡梦中溘然长逝，终年84 岁。他被安葬在威斯敏斯特教堂，那是英国人安葬英雄的地方。

练习与应用

1．既然任何物体间都存在着引力，为什么当两个人接近时他们不会吸在一起？我们通常分析物体的受力时是否需要考虑物体间的万有引力？请你根据实际情况，应用合理的数据，通过计算说明以上两个问题。

2．你在读书时，与课桌之间有万有引力吗？如果有，试估算一下这个力的大小，它的方向如何？

3．大麦哲伦云和小麦哲伦云是银河系外离地球最近的星系（很遗憾，在北半球看不见）。大麦哲伦云的质量为太阳质量的10¹⁰ 倍，即2.0×10⁴⁰ kg，小麦哲伦云的质量为太阳质量的10⁹ 倍，两者相距5×10⁴ 光年，求它们之间的引力。

4．太阳质量大约是月球质量的2.7×10⁷ 倍，太阳到地球的距离大约是月球到地球距离的3.9×10² 倍，试比较太阳和月球对地球的引力。

5．木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中三颗卫星的周期之比为1∶2∶4。小华同学打算根据万有引力的知识计算木卫二绕木星运动的周期，她收集到了如下一些数据。

木卫二的数据：质量4.8×10² kg、绕木星做匀速圆周运动的轨道半径6.7×10⁸ m。

木星的数据：质量1.9×10²⁷ kg、半径7.1×10⁷ m、自转周期9.8 h。

但她不知道应该怎样做，请你帮助她完成木卫二运动周期的计算。

发布时间：2020/3/29 下午8:31:34  阅读次数：4555