第五章 第四节 向心力 向心加速度

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图 5–32  链球运动

 

在链球比赛中，为了使链球飞得更远，运动员会拉着链条的一端旋转，使系在链条另一端的链球跟着做圆周运动，如图 5–32 所示。经过 3 ~ 4 圈加速旋转，运动员猛然松手使链球飞出。

上述活动中，当手松开后，小球不再受拉力作用，脱离圆周，沿切线方向飞出。

研究表明，物体做匀速圆周运动的条件是受到与物体的速度方向垂直、指向圆心且大小不变的合力作用，这个力叫做向心力（centripetal force）。

 

示例 1  游乐场里有一种旋转飞椅，当飞椅以一定的速率旋转时，游客和飞椅一起在水平面内做匀速圆周运动，如图 5–34 所示。将飞椅和游客视为整体，分析其受到的向心力的来源。

分析：以某一游客和所坐的飞椅为研究对象，将其视为质点，其受力情况可抽象成如图 5–35 所示的示意图。根据质点做匀速圆周运动的轨迹，可确定运动所在圆周的圆心，进而可确定质点所受向心力的方向。对质点进行受力分析，所受力的合力就是质点做匀速圆周运动的向心力。

解：如图 5–35 所示，以飞椅和游客整体为研究对象，其在水平面内做匀速圆周运动，受到的向心力一定指向轨迹的圆心 O。根据受力分析，飞椅和游客整体受到重力 G 和沿吊绳向上的弹力 F_T 的作用，两个力的合力 F 就是其所受的向心力，该合力一定在水平面内，并且指向 O 点。

 

向心力是根据作用效果命名的力，重力、弹力、摩擦力或者这些力的合力都可以作为向心力。

 

我们猜想：向心为的大小可能与做匀速圆周运动物体的圆周半径、运动快慢和质量都有关，它们有什么定量关系呢？这需要通过定量的实验来研究。

 

探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系

提出问题

物体做匀速圆周运动时所受向心力的大小与物体运动的圆周半径、运动快慢及质量有关，向心力大小与这些因素之间有何定量关系？

实验原理与方案

向心力大小 F 与半径 r、角速度 ω、质量 m 都有关，本实验需要采用控制变量法。分别研究：（1）ω 与 m 一定时，F 与 r 的关系；（2）r 与 m 一定时，F 与 ω 的关系；（3）r 与 ω 一定时，F 与 m 的关系。

综合三个实验研究的结论，探究向心力大小 F 与半径 r、角速度 ω、质量 m 的关系。

实验装置与方法

图 5–36 所示的实验装置可供本实验选用。在电动机控制下，悬臂可绕轴在水平面内匀速转动，在悬臂的转轴上固定一个无线力传感器；水平连杆的一端与无线力传感器相连，连杆上可固定砝码；无线光电门传感器安装在悬臂的一端，挡光片固定在支架上。当悬臂匀速转动时，砝码随之做匀速圆周运动。实验中力传感器测出对连杆的拉力大小等于砝码受到的向心力大小；砝码的运动半径可由悬臂上的刻度读出；测出光电门通过挡光片的瞬时速度，进而可得到悬臂旋转的角速度，即砝码的角速度。

本实验采用作图的方法分析数据，研究物理量间的函数关系。

实验操作与数据收集

根据实验原理与方案的要求，使悬臂带动砝码做匀速圆周运动，测量并记录相关实验数据，填入表 5–3、表 5–4 和表 5–5。

 

表 5–3  实验数据记录表（ω、m 一定）

实验序号	1	2	3	4	5
r/m
F/N

 

表 5–4  实验数据记录表（r、m 一定）

实验序号	1	2	3	4	5
ω/(rad·s−1)
F/N

 

表 5–5  实验数据记录表（ω、r 一定）

实验序号	1	2	3	4	5
m/kg
F/N

数据分析

根据实验数据，选择合适的坐标系描点作图，研究相关物理量间的关系。

实验结论

做匀速圆周运动的物体，当：

（1）ω 与 m 一定时，___________________________________________________；

（2）r 与 m 一定时，___________________________________________________；

（3）ω 与 r 一定时，___________________________________________________。

向心力 F 与 r 、ω 、m 的关系是：__________________________________________。

交流与讨论

（1）各组就实验数据进行交流，比较、分析实验结果的异同及其原因，探讨实验的改进方法。

（2）线速度、角速度都可以描述物体做匀速圆周运动的快慢，用本实验装置能否直接研究向心力大小与半径、线速度、质量的关系？

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大量的研究表明，做匀速圆周运动物体受到的向心力 F 的大小等于物体的质量 m、圆周半径 r 和角速度 ω 的二次方的乘积，即

\[\color{#357A4A}{F = m{\omega ^2}r}\]

 

将 v = ωr 代入上式，即可得

\[\color{#357A4A}{F = m\frac{{{v^2}}}{r}}\]

物体做匀速圆周运动时受到的合力始终指向圆心，根据牛顿第二定律，它的加速度也始终指向圆心，与线速度的方向垂直，如图 5–37 所示。因此，匀速圆周运动的加速度叫做向心加速度（centripetal acceleration），向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。

由向心力公式和牛顿第二定律可以得出向心加速度的表达式为

\(\color{#357A4A}{a = {\omega ^2}r}\) 或 \(\color{#357A4A}{a = \frac{{{v^2}}}{r}}\)

在匀速圆周运动中，由于 r、v 和 ω 的大小是不变的，所以向心加速度的大小不变，但向心加速度的方向始终指向圆心，一直在变化，因此，匀速圆周运动是变加速运动。

 

示例 2  如图 5–38 所示，质量 m = 3 kg 的物体放在水平的转盘上，在半径 r = 2 m 的圆周上以 v = 4 m/s 的速度随转盘做匀速圆周运动。求：

（1）物体的向心加速度大小；

（2）物体受到的静摩擦力。

分析：由匀速圆周运动的线速度和半径，可直接求出向心加速度。对物体进行受力分析，根据运动状态可确定物体受到的重力和支持力在竖直方向平衡，平台对物体的静摩擦力提供物体做匀速圆周运动所需的向心力。根据牛顿第二定律可求出物体受到的向心力，即静摩擦力。

解：（1）由于物体随转盘一起做匀速圆周运动，其向心加速度的大小

\[a = \frac{{{v^2}}}{r} = \frac{{{4^2}}}{2}\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}} = 8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]

（2）如图 5–39 所示，物体受到三个力的作用，其中重力 G 和支持力 F_N 平衡，转盘对物体的静摩擦力 F_f 指向圆心，作为物体受到的向心力。

因此，由牛顿第二运动定律，物体受到的静摩擦力

\[{F_f} = ma = 3 \times 8\;{\rm{N}} = 24\;{\rm{N}}\]

静摩擦力的方向始终指向圆心。

 

问题与思考解读

1．参考解答：合理，因为 1 \(\frac{{{\rm{kg \times (m/s}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{m}}}\) = 1 kg·m/s² = 1 N

命题意图：从物理量单位推演的角度理解物埋公式和物理量间的关系。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）。

2．参考解答：这两种结论都正确，但前提不同，在角速度相同的情况下，a 与 r 成正比；在线速度相同的情况下，a 与 r 成反比。

命题意图：对两种截然不同的结论进行评价，引导学生全面考虑问题，形成在应用物理规律时要注重规律前提的意识，养成全面思考问题的科学态度。

主要素养与水平：质疑创新（Ⅰ）。

3．参考解答：（1）不正确。处于地表不同纬度的物体做圆周运动的圆心位于地轴上的不同位置，随地球自转的物体的向心加速度方向在所在纬度平面内指向地轴。

（2）在赤道处物体的向心加速度比较大。因为不同位置物体的角速度相同，根据 a = ω²r，赤道处物体的运动半径大，所以向心加速度也大。

（3）上海位于北纬 30°附近，r = R_地cos30°，地球自转周期为 24 h，根据 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 和 a = ω²r，可求得 a ≈ 0.03 m/s²。

命题意图：以物体随地球自转为情境，抽象出物理模型，加深对加速度的理解。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

4．参考解答：人受到竖直向下的重力、指向圆心的弹力和竖直向上的摩擦力，向心力由这三个力的合力提供；或者说摩擦力和重力相互平衡，筒壁给人的弹力提供向心力。当转速足够大时，向心力的大小，即筒壁的弹力足够大，导致人和筒壁间的最大静摩擦力大于人受到的重力，人就不会往下掉。

命题意图：综合应用静摩擦力、向心力的知识，解决生活中的实际问题，提高解决综合问题的能力。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

5．参考解答：设顾客的质量为 50 kg。根据已知条件，他随餐厅做圆周运动的周期 T = 1 h = 3 600 s，运动半径 r = 20 m。由公式 F = mω²r 和 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 可得 F = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r。代入数据可得 F ≈ 3.05×10⁻³ N。向心力与重力的比值 \(\frac{F}{G}\) ≈ 6.22×10⁻⁶，可见这个比值非常小，所以顾客感觉不到。

命题意图：通过建模、估算，巩固向心力知识，讨论生活中的实际问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

6．参考解答：长线易断。由向心力公式 F = mω²r 和 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 可得 F = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r。当周期相同时，线越长即重物做圆周运动的半径越大，所需向心力越大，线越容易断。

命题意图：针对问题情境，选择适合的向心力公式解决问题。

主要素养与水平：科学论证（Ⅱ）。

7．参考解答：乙的观点正确。两个小球只有放置在特定位置才可以相对杆静止。两球所受向心力均来自细线的拉力，大小相等；两球的角速度相等，根据公式 F = mω²r 可以得出两球做圆周运动的半径与两球的质量成反比，所以位置由两球的质量之比决定。

命题意图：在真实情境中抽象出物理模型，综合运用圆周运动相关知识，经过分析、推理解决问题。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅲ）。

参考资料

向心加速度公式的理论推导

我们可以根据向心加速度的定义确定其方向，并从理论上推导其表达式。

如图 8（a）所示，质点沿半径为 r 的圆周做匀速圆周运动，质点在 A 点时的速度为 v_A，经过很短的时间 Δt 运动到 B 点，速度变为 v_B，圆弧 AB 的圆心角为 Δφ。如图 8（b）所示，根据矢量和的三角形法则，图中 Δv 是质点从 A 运动到 B 过程中速度的变化量。比值 \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\) 就是质点在 Δt 时间内的平均加速度，方向跟 Δv 的方向相同。当 Δt 趋近于 0 时，Δφ 也趋近于 0，这时 Δv 便趋近于与 v_A 垂直，而 v_A 的方向在圆周的切线上，所以 Δv 的方向趋近于沿半径指向圆心。因此，质点做匀速圆周运动时在任一点的加速度都是沿着半径指向圆心的，这也是向心加速度一词的由来。

从图 8 可以看出，图（b）中的矢量三角形跟图（a）中的 △OAB是相似的。因为 v_A = v_B，可用 v 表示 v_A、v_B 的大小，则有

\[\frac{{\left| {\Delta v} \right|}}{v} = \frac{{AB}}{r}\]

即                                                    | Δv | = AB·\(\frac{v}{r}\)

将上式两边同时除以 Δt，有

\[\frac{{\left| {\Delta v} \right|}}{{\Delta t}} = \frac{{AB}}{{\Delta t}} \cdot \frac{v}{r}\]

当 Δt → 0 时，A、B 间弦长趋近于 A、B 间圆弧长，等式左边 \(\frac{{\left| {\Delta v} \right|}}{{\Delta t}}\) 即为向心加速度 a 的大小，右边的 \(\frac{{AB}}{{\Delta t}}\) 就是匀速圆周运动的线速度大小 v，代入整理得

\[a = \frac{{{v^2}}}{r}\]

这就是匀速圆周运动的向心加速度公式。