1．某光滑曲面由曲线y＝f（x）绕竖直y轴旋转一周形成，一自然半径为a、质量为m、劲度系数为k的弹性圆环置于该曲面之上，能水平静止于任意高度，则曲线方程为____________。

【答案】

y＝C－\(\frac{{2{\pi ^2}}}{{mg}}\)（x－a）²（C为任意常数）

 

1．如图所示的电阻框架为四维空间中的超立方体在三维空间中的投影模型（可视为内外两个立方体框架，对应顶点互相连接起来），若该结构中每条棱均由电阻R的材料构成，则AB节点间的等效电阻为_______。

【答案】

\(\frac{7}{{12}}\)R

 

1．某种蜜蜂的眼睛能够看到平均波长为500nm的光，它是由5000个小眼构成的复眼，小眼一个个密集排放在眼睛的整个表面上，小眼构造很精巧，顶部有一个透光的圆形集光装置，叫角膜镜；下面连着圆锥形的透明晶体，使得外部入射的光线汇聚到圆锥顶点连接的感光细胞上（入射进入一个小眼的光线不会透过锥壁进入其他小眼），从而造成一个“影像点”（像素）；所有小眼的影像点就拼成了一个完整的像。若将复眼看作球面圆锥，球面半径r＝1.5nm，则蜜蜂小眼角膜镜的最佳直径d约为（请给出两位有效数字）________。

【答案】

30μm

 

1．开路电压U₀与短路电流I_SC是半导体P-N结光电池的两个重要技术指标，试给出两者之间的关系表达式：U₀＝_____________，式中各符号代表的物理量分别为_______________________________________。

【答案】

\(\frac{{kT}}{e}\)ln（\(\frac{{{I_{{\rm{SC}}}}}}{{{I_{\rm{S}}}}}\)＋1），式中e为电子电量的绝对值，k为波尔兹曼常量，T为绝对温度，I_S为P-N结的反向饱和电流。

 

2．天体或微观系统的运动可借助计算机动态模拟软件直观显示。这涉及几何尺寸的按比例缩放。为使显示的运动对缩放后的系统而言是实际可发生的，运动时间也应缩放。

1．在牛顿力学框架中，设质点在力场F（r）中作轨道运动，且有F（αr）＝α^kF（r），k为常数，r为位矢。若几何尺寸按比率α缩放显示，确定运行时间的缩放率β。

2．由此证明，行星绕太阳轨道运动周期的平方与轨道几何尺寸的立方成正比。

【答案】

第26届全国决赛2

 

3．在水平面上有两根垂直相交的内壁光滑的连通细管，管内放置两个质量均为m、电荷量均为q的同号带点质点A和B。初始时，质点A至两管交点O的距离为d，质点B位于交点O处，速度相互垂直，方向如图所示，大小均为u₀＝\(\sqrt {\frac{{k{q^2}}}{{md}}} \)，k为静电力常量。求在以后的运动中，它们之间的最小距离。

【答案】

r＝\(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}\)d

 

4．热机和热泵利用物质热力学循环实现相反功能：前者从高温处吸热，将部分热量转化为功对外输出，其余向低温处放出；后者依靠外界输入功，从低温处吸热，连同外界做功转化成的热量一起排向高温处，按热力学第二定律，无论热机还是热泵，若工作物质循环过程中只与温度为T₁，T₂的两个热源接触，则吸收的热量Q₁，Q₂满足不等式\(\frac{{{Q_1}}}{{{T_1}}}\)＋\(\frac{{{Q_2}}}{{{T_2}}}\)≤0，其中热量可正可负，分别表示从热源吸热与向热源放热。

原供暖设备原本以温度T₀的锅炉释放的热量向房间直接供暖，使室内温度保持恒温T₁，高于户外温度T₂。为提高能源利用率，拟在利用原有能源的基础上采用上述机器改进供暖方案，与直接供暖相比，能耗下降的理论极限可达到多少？

 

【答案】

第26届全国决赛4

 

5．磁场会影响电子的运动，从而使存在磁场时的电流与电压之间的关系偏离我们熟悉的欧姆定律，本题研究的问题即为一例。

设xOy平面内有密度（单位体积内的电子数）为n的二维电子气。平面内沿x轴方向存在均匀电场E＝Ei（i为轴正方向的单位矢量），垂直于平面的z轴方向存在匀强磁场，磁感应强度为B＝Bk（k为z轴正方向的单位矢量）。已知平面内的电子运动受到的散射阻力与速度v成正比，可等效地用一时间参量τ描述为－\(\frac{{mv}}{\tau }\)，m为电子质量，试求在稳态沿x和y方向的电流密度（大小为垂直于电流方向单位长度的电流）j_x和j_y，将结果用电子电荷量绝对值e、n、m、E、τ及ω表示出，ω＝\(\frac{{eB}}{m}\)。

【答案】

j_x＝－\(\frac{{n{e^2}\tau E}}{{m(1 + {\omega ^2}{\tau ^2})}}\)

j_y＝－\(\frac{{n{e^2}\omega {\tau ^2}E}}{{m(1 + {\omega ^2}{\tau ^2})}}\)

 

6．如图A所示的两块平行薄板，由理想导体构成，板间距为d，y方向无限延伸。两板间沿垂直于y方向传播的电磁波沿x正方向以行波形式传播，其电场可表述为：

E＝E₀sin（\(\frac{{2\pi z}}{{{\lambda _z}}}\)）sin（\(\frac{{2\pi x}}{{{\lambda _x}}}\)－ωt）

式中w为圆频率，t为时间，λ_z，λ_x为待定参量，这种结构的组合可以制成实用的微波发射天线，用来代替传统的巨大抛物面天线，可以大幅度降低天线成本。

1．证明λ_z只能取如下值：λ_z＝\(\frac{{2d}}{m}\)，m＝1，2，3……

2．当m＝1时，求λ_z。

3．如将一系列板间距相等而长度不等的理想导体相对于沿y方向无限延伸的线状波源（与纸面交与O点）平行对称叠排，板的右端对齐，面板的长度有一定的分布（此结构与与纸面相交的截面图如图B所示），则在这一结构的右端可输出沿x方向传播的平面电磁波。试给出满足这一要求的板堆在xOz截面内左侧边缘（如图b所示）所满足的曲线方程。（取m＝1，已知波源到板堆左端的水平距离为L）。

【答案】

第26届全国决赛6

 

7．1．在经典的氢原子模型中，电子围绕原子核做圆周运动，电子的向心力来自于核电场的作用。可是，经典的电磁理论表明电子做加速运动会发射电磁波，其发射功率可表示为（拉莫尔公式）：P＝\(\frac{{{e^2}{a^2}}}{{6\pi {c^3}{\varepsilon _0}}}\)，其中a为电子的加速度，c为真空光速，ε₀＝\(\frac{1}{{4\pi k}}\)＝8.854×10^-12 F·m^-1，电子电荷量绝对值e＝1.602×10^-19C。若不考虑相对论效应，试估计在经典模型中氢原子的寿命t 。（实验测得氢原子的结合能是E_H＝13.6eV，电子的静止质量m₀＝9.109×10^-31kg）

2．带点粒子加速后发射的电磁波也有重要的应用价值。当代科学研究中应用广泛的同步辐射即是由以接近光速运动的电子在磁场中作曲线运动改变运动方向时所产生的电磁辐射，电子存储环是同步辐射光源装置的核心，存储环中的电子束团通过偏转磁铁等装置产生高性能的同步辐射光。上海光源是近年来建成的第三代同步辐射光源，它的部分工作参数如下：环内电子能量E＝3.50GeV，电子束团流强I＝300mA，周长L＝432m，单元数（装有偏转磁铁的弯道数量）N＝20，偏转磁铁磁场的磁感应强度B＝1.27T。使计算该设备平均每个光口的辐射总功率P₀。

（在电子接近光速时，若动量不变，牛顿第二定律仍然成立，但拉莫尔公式不再适用，相应的公式变化为P＝\(\frac{{{e^2}{a^2}}}{{6\pi {c^3}{\varepsilon _0}}}\)×γ⁴，其中γ＝\(\frac{E}{{{m_0}{c^2}}}\)，E为电子总能量，m₀c²为电子的静止能量。）

3．由于存储环内的电子的速度接近光速，所以同步辐射是一个沿电子轨道的切线方向的光锥，光锥的半顶角为1/γ，由此可见电子的能量越高，方向性越好。试计算：上述设备在辐射方向上某点接受到的单个电子产生的辐射持续时间ΔT。

（本题结果均请以三位有效数字表示。）

【答案】

第26届全国决赛7