1．如图所示，有一匀质细导线弯成的半径为a的圆线圈和一内接等边三角形的电阻丝组成的电路（电路中各段的电阻值见图）。在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场，磁感应强度B随时间t均匀减小，其变化率的大小为一已知常量k。已知2r₁＝3r₂。试求图中A、B两点的电势差U_AB。

【答案】

U_AB＝－\(\frac{{\sqrt 3 k{a^2}}}{{32}}\)

 

2．长度为4毫米的物体AB由如图所示的光学系统成像。光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标示于图上。求：

（1）像的位置；

（2）像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。

【答案】

（1）L₂的左侧10cm处。

（2）正立的虚像，像的大小为2mm。

 

3．如图所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形ABCD。静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为v，其它质点也获得一定速度，∠BAD＝2α（α＜）。求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。

【答案】

p＝\(\frac{{4mv}}{{1 + 2{{\sin }^2}\alpha }}\)，方向沿CA方向。

E＝\(\frac{{2m{v^2}}}{{1 + 2{{\sin }^2}\alpha }}\)

 

4．在一个半径为R的导体球外，有一个半径为r的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为a（a＞R），且与环面垂直，如图所示。已知环上均匀带电，总电量为q，试问：

（1）当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？

（2）当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？

（3）当导体球的电势为φ₀时，球上总电荷又是多少？

（4）情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？

（5）情况2与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？

【注】已知：装置不变时，不同的静电平衡带电状态可以叠加，叠加后仍为静电平衡状态。

【答案】

（1）q_感＝－\(\frac{R}{{\sqrt {{r^2} + {a^2}} }}\)q

（2）φ_球＝\(\frac{{kq}}{{\sqrt {{r^2} + {a^2}} }}\)

（3）q_总＝\(\frac{{R{\varphi _0}}}{k}\)－\(\frac{{Rq}}{{\sqrt {{r^2} + {a^2}} }}\)

（4）F＝\(\frac{{Raq{\varphi _0}}}{{\sqrt {{{({r^2} + {a^2})}^3}} }}\)

（5）Fʹ＝\(\frac{{kRa{q^2}}}{{{{({r^2} + {a^2})}^2}}}\)

 

5．有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计），直径为d＝2.0m。球内充有压强p₀＝1.005×10⁵Pa的气体。该布料所能承受的最大不被撕破力为f_m＝8.5×10³N/m（即对于一块展平的1米宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过8.5×10³N时，布料将被撕破）。开始时，气球被置于地面上，该处的大气压强为p_a0＝1.000×10⁵Pa，温度T₀＝293K。假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化，压强的变化为α_p＝－9.0Pa/m，温度的变化为α_T＝－3.0×10^-3K/m，问该气球上升到多高时将破裂？

假设气球上升很缓慢，可认为球内温度随时与周围空气的温度保持一致。在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。

【答案】

2.1×10³m

 

6．有七个外形完全一样的电阻，已知其中六个的阻值相同，另一个的阻值不同。请按照下面提供的器材和操作限制，将那个阻值不同的电阻找出，并指出它的阻值是偏大还是偏小，同时要求画出所用电路图，并对每步判断的根据予以论证。

提供的器材有：①电池。②一个仅能用来判断电流方向的电流表（量程足够），它的零刻度在刻度盘的中央，而且已知当指针向右偏时电流是由哪个接线柱流入电流表的。③导线若干。

操作限制：全部过程中电流表的使用不得超过三次。

【答案】

第13届全国复赛6

【解析】

判断所用电路如图所示。a、b、c、d为四个电阻。P、Q间可接电流计，由电流计中电流I的方向可判断出P、Q两点中哪一点的电势较高。可能出现下列三种情况：

1、I＝0，这表示四个电阻的阻值相等。

2、I从P到Q，这表示P点电势较高，a、b、c、d中有一电阻偏大或偏小。有下列四种可能：b偏大；c偏大；a偏小；d偏小。

3、I从Q到P，这表示P点电势较低，有四种可能；a偏大；d偏大；b偏小；c偏小。

应采取的实验步骤和判断：设7个电阻为①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，阻值相同的称为正常电阻，阻值不同的那个为特异电阻。

第一次测量：将①、②、③、④分别接入a、b、c、d位置，这时可有以下三种情况：

情况A：I向下，则有四种可能：②大；③大；①小；④小。

情况B：I向上，则有四种可能：①大；④大；②小；③小。

情况A和情况B中，其余三个电阻⑤、⑥、⑦均正常。

情况E：I＝0，这时，①、②、③、④正常，特异电阻在⑤、⑥、⑦中。

第二次测量：若情况A或情况B成立，进行第二次测量时将①、②对调，即将②、①、③、④分别接入a、b、c、d位置。这时可能有以下两种情况

情况C：I向下，则有四种可能：①大；③大；②小；④小

情况D：I向上，则有四种可能：②大；④大；①小；③小

若情况E成立，特异电阻在⑤、⑥、⑦，第二次测量取其中两个，例如⑤、⑥放于电路中a 、b位置，c、d位置用正常电阻，则有三种情况：

情况F：I向下，则有二种可能：⑤小；⑥大；

情况G：I向上，则有四种可能：⑥小；⑤大；

情况H：I＝0，这时，⑤、⑥均正常，特异电阻即为⑦

前二次测量分析：

若情况A、C成立，则只有两个可能：④小；③大。

若情况A、D成立，则只有两个可能：①小；②大。

若情况B、C成立，则只有两个可能：②小；①大。

若情况B、D成立，则只有两个可能：③小；④大。

若情况E、F成立，则只有两个可能：⑤小；⑥大。

若情况B、G成立，则只有两个可能：⑥小；⑤大。

若情况E、F成立，则只有一个可能：即⑦为特异电阻，偏大抑或偏小待定。

第三次测量：无论以上前6种情况哪一种成立，可疑电阻的范围均缩小成为两个，可能是某一个偏小，或是某一个偏大。第三次测量可将可能偏小的电阻与三个正常电阻接入电路，根据电流计的电流方向即可判断出它或者确实偏小或者是正常电阻。若是前者，这个电阻就是特异电阻。若后者成立，则可能偏大的那个电阻，阻值确实偏大，是特异电阻。

对于情况E、H，只需测定⑦的阻值偏大或偏小。用⑦及三个正常电阻接入电路，即可根据测定结果作出判断。

注：若第一次测量结果为情况A或B，进行第二次测量时可以利用正常电阻⑤、⑥、⑦中的任意两个代替①、②、③、④中的任意两个，分析与判断方法与上述相似。