1．伽利略

伽利略早期的研究，奠定了牛顿力学和狭义相对论的基础。

 

1．伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，如图所示，可大致表示其实验和思维的过程，对这一过程的分析正确的是（     ）

A．伽利略用该实验证明力不是维持物体运动的原因

B．其中丁图是实验现象，甲图是经过合理外推得到的结论

C．运用甲图实验，可“冲淡”重力的作用，更方便进行实验测量

D．运用丁图实验，可“放大”重力的作用，从而使实验现象更明显

 

2．牛顿运动定律成立的参考系称为惯性系，而相对惯性系做______运动的参考系也是惯性系。伽利略______原理告诉我们，力学规律在任何惯性系中都具有相同的形式。

 

3．根据狭义相对论关于时间的相对性，我们把在自身静止的参考系内测得的时间称为_________，它是最短的。

 

4．（计算）在光滑且足够长的水平直杆上放置质量为 m 的小球。小球从 x = 0 处开始运动，初速度为 v₀，且受到大小与小球瞬时速度 v 成正比、方向与运动方向相反的阻力，其大小满足 F = kv（k > 0）。设小球在任意时刻速度为 v、位移为 x，推导出 v 与 x 之间的函数关系式。并分析小球停止时的位移大小。

【答案】

1．C

2．匀速直线，相对性

3．固有时（或“本征时”）

4．（1）v = v₀ − \(\frac{k}{m}\)x

（2）x = \(\frac{{m{v_0}}}{k}\)

【解析】

4．（1）将总位移 x 分成很多小段，每段位移为 Δx，需要时间 Δt_i。位移 x_{i − 1} 到 x_i = x_{i – 1} + Δx，速度从 v_{i − 1} 变为 v_i。

冲量：I_i = F_iΔt_i = (− kv_{i − 1})\(\frac{{\Delta x}}{{{v_{i - 1}}}}\) = − kΔx。动量变化：Δp_i = m（v_i − v_{i − 1}）

动量定理：m（v_i − v_{i − 1}） = − kΔx

动量变化总和：m（v₁ – v₀）+ m（v₂ – v₁）+…+ m（v – v_{n − 1}）= m（v – v₀）

冲量总和：ΣI_i = − kΔx − kΔx − … = − kx

根据动量定理：m（v – v₀）= − kx，

速度 v 与位移 x 的关系式：v = v₀ − \(\frac{k}{m}\)x

（2）当小球停止时，v = 0。代入关系式：0 = v₀ − \(\frac{k}{m}\)x

小球停止时的位移：x = \(\frac{{m{v_0}}}{k}\)

 

2．大风起兮

在风力强劲时，需采取预防措施避免灾害，同时可考虑利用风能。

 

1．（多选）能源有不同的分类方式，风能属于（    ）

A．可再生能源                     B．不可再生能源

C．非燃料能源                     D．燃料能源

 

2．某一波源持续发出频率为 f₀ 的声波，波源和观察者均相对于地面静止。若风向是从波源指向观察者，且风速恒定。此时观察者接收到声波的频率 f₁______f_0。

A．大于                 B．等于                 C．小于

 

3．（多选）对于密闭在一体积恒定的容器中的空气，温度升高时（    ）

A．气体的对流形成布朗运动

B．气体分子的热运动越剧烈

C．单位体积内的分子数保持不变

D．每个气体分子的运动速率都会增大

E．压强增大是因为分子之间斥力增大

 

4．某同学设计了一个电容式风力传感器。如图所示，将电容器与静电计连接，可动电极在风力作用下向右移动，引起电容的变化，风力越大，移动距离越大（两电极不接触）。若极板上电荷量保持不变，在受到风力作用时，

（1）电容器电容（    ）

A．变小         B．变大         C．不变

（2）极板间电压（    ）

A．变小         B．变大         C．不变

 

5．某同学设计了测定风速的仪器，如图所示，O 是转动轴，OC 是金属杆，下面连接着一块受风板，无风时，OC 处于竖直方向，风越强，OC 杆偏离竖直方向的角度越大。P 点是金属杆与弧形电阻丝的接触点，电路中接有一个灯泡，测风力时，闭合开关 S，通过分析可知：

（1）金属杆 OC 与弧形电阻丝 AB 组合在一起相当于一个______（电学元件）。

（2）杆 OC 在风力的作用下摆动，观察______可以粗略地反映风力的大小。

（3）若要直接读出风力的大小，对该装置改进的措施为：_______________。

 

6．某风力发电机组通过三片半径为 30 m 的风叶获取风能。

（1）当风叶转速为 10 r/min，则风叶尖端的运动速度为______m/s（保留 2 位有效数字），这一速度最接近（    ）

A．人的步行速度

B．自行车的骑行速度

C．汽车在高速公路上的行驶速度

D．高铁列车的运行速度

（2）设空气的密度为 ρ，水平风速为 v，风力发电机有 3 个叶片，每个叶片迎风垂直面积为 S。设风能转化为电能的效率为 η，那么该风力发电机的电功率 P = ______。

 

7．如图为简易风速测速仪的结构示意图，其工作原理是：风吹动风杯，风杯通过转轴带动永磁铁转动，电流测量装置则可显示感应线圈产生的电流 i 随时间 t 变化的图像，从而实现测量实时风速。若风速一定时，风杯的转动周期为 T，则下列图像可能正确的是（    ）

【答案】

1．AC

2．B

3．BC

4．（1）B                               （2）A

5．（1）滑动变阻器              （2）灯泡亮度

（3）加装电表或传感器，标刻度并可直接读数

6．（1）31 m/s，C        （2）\(\frac{3}{2}\)ηρSv³

7．D

 

3．日晕现象

夏季日晕现象是太阳光通过卷层云中的六角形冰晶折射或反射形成的。不同颜色的光在同一种介质中传播时，频率越高的光折射率越大。如图为一束太阳光射到冰晶上的光路图，a、b 为折射出的两种单色光。

 

1．（多选）关于 a、b 两种单色光的性质，正确的是（    ）

A．在冰晶中，b 光的传播速度比 a 光大

B．若 a 光能使某金属发生光电效应，则 b 光也一定能

C．两种光从冰晶射入空气时，a 光发生全反射的临界角较大

 

2．若用 a、b 光分别照射同一狭缝，其中______光更容易发生衍射现象（选填 A．a B．b）。在双缝干涉实验中，若用 a 光作为光源，相邻明条纹间距为 Δx_a；用 b 光作为光源时，间距为 Δx_b，则 Δx_a______Δx_b（选填 A．>    B．=       C．<）。

3．（简答）比较单色光 a、b 的光子动量大小，并说明理由。

【答案】

1．BC

2． A．a                        A．>

3．a 光由于折射率 n_a 较小，a 光的频率较低

由于波长 λ = \(\frac{c}{f}\)，介质内 a 光波长 λ_a 较长

光子动量公式 p = \(\frac{h}{\lambda }\)

推出 p_a = h/λ_a 比 p_b = h/λ_b 小。结论 p_a < p_b。

 

4．螺线管

将一通电螺线管竖直放置，通以如图所示电流，使得螺线管内部形成竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小 B = kt（k 为大于 0 的常数）。将一横截面为圆形，直径为 d 的金属丝，弯成半径为 r 的金属圆环（d 远小于 r）。现将该金属圆环用绝缘细线，水平悬挂在通电螺线管内中央位置。

 

1．从上向下看，金属圆环中的感应电流为______方向。

 

2．轻绳对金属圆环的拉力（    ）

A．随时间减小

B．随时间增大

C．不随时间变化

 

3．金属圆环的感应电动势大小 E = ______。

 

4．若该金属丝电阻率为 ρ，则金属圆环的热功率大小 P = ______。

 

5．（计算）如图所示，金属圆环质量为 m，用三根等长、不可伸长的绝缘细线悬挂在天花板同一点上。三根细线在圆环上等间隔悬挂。已知每条细线的长度均为 l，且圆环保持水平静止。求每根细线中的拉力大小。

【答案】

1．顺时针

2．C

3．πr²k

4．\(\frac{{{\pi ^2}{k^2}{r^3}{d^2}}}{{8\rho }}\)

5．T = \(\frac{{mgl}}{{3\sqrt {{l^2} - {r^2}} }}\)

【解析】

5．正确表示细线与竖直夹角 α。

建立几何关系：cosα = \(\frac{{\sqrt {{l^2} - {r^2}} }}{l}\)

写出竖直方向平衡条件：3Tcosα = mg

求解拉力表达式：T = \(\frac{{mg}}{{3\cos \alpha }}\)，代入几何关系并写出最终答案：T = \(\frac{{mgl}}{{3\sqrt {{l^2} - {r^2}} }}\)

 

5．太空电梯

在日常生活中，我们常见垂直升降的电梯；而在科幻小说中，则有太空电梯的设想。

 

1．（计算）一位乘客在 1 楼进入电梯。电梯从 1 楼上升至 8 楼用时 14 秒，停靠 10 秒后继续以相同的运行模式上升至 15 楼。已知每层楼高 3 米，求电梯从 1 楼到 15 楼的全程平均速度。（结果保留两位有效数字）

 

2．电梯从底层开始，由静止向上加速运动，直至到达顶层并再次静止。在此过程中，其加速度随时间的变化关系如图所示。

（1）（作图）以向上运动为正方向，定性描绘出电梯从底层向上运行至顶层过程中速度随时间变化的 v–t 图线。

（2）已知电梯的初速度和最终速度均为零。请判断加速度–时间图像中，时间轴上方面积的大小______下方面积的大小关系（选填 A．>  B．=       C．<），其面积的物理意义是______。

（3）（简答）电梯轿厢天花板上有一颗松动的螺丝，电梯静止时螺丝未脱落。当电梯上升时，螺丝在某一阶段发生脱落。请分析说明螺丝脱落时，电梯可能在做什么运动？

（4）（计算）设电梯轿厢天花板到轿厢地板的高度为 h，螺丝脱落后电梯加速度始终为 a，求螺丝掉落至轿厢地板所需时间。（重力加速度大小为 g）

 

3．科幻大片中设想的太空电梯结构如图所示。假设有一太空电梯，连接地球赤道上的固定基地与位于地球同步卫星轨道的空间站 A。

（1）（多选）设乘客在太空电梯内与电梯保持相对静止，乘客离地心距离为 r，则乘客（    ）

A．一定处于超重状态

B．一定处于完全失重状态

C．绕着地球运动的线速度大小随着 r 的增大而增大

D．绕着地球运动的线速度大小随着 r 的增大而减小

E．在 r 等于地球半径时，乘客的线速度大小等于第一宇宙速度

F．在 r 等于地球半径时，乘客的线速度大小小于第一宇宙速度

（2）（多选）若太空电梯轨道外侧某一物体意外脱落，该物体脱落后相对地球可能做（    ）

A．匀速圆周运动

B．离心运动

C．向心运动

（3）（计算）如图所示，另有一颗卫星 B 也绕地球做匀速圆周运动且与同步空间站 A 的运行方向相同，此时二者距离最近。经过时间 t 后，A、B 第一次相距最远。已知地球自转周期为 T（其中 t > \(\frac{T}{2}\)）。求卫星 B 绕地球做圆周运动的周期 T_B。

【答案】

1．1.1 m/s

2．（1）（作图）

（2）B；速度的变化量（增量与减量之和为零）。

（3）电梯上升初期存在向上加速度，系统处于“超重状态”。

（4）t = \(\sqrt {\frac{{2h}}{{g + a}}} \)

3．（1）CF             （2）AC

（3）T_B = \(\frac{{2Tt}}{{2t - T}}\)

【解析】

1．楼高：每层 3 m，共 14 层差距 ⇒ 14×3 = 42 m。

时间：上升至 8 楼用 14 s，停 10 s，再 14 s 到 15 楼。合计 38 s。

平均速度 ≈ \(\frac{{42}}{{38}}\) m/s = 1.105 m/s → 两位有效数字 1.1 m/s。

2．（4）设螺丝脱落瞬时为时间起点。螺丝脱落后做竖直上抛运动，y₁ = h + vt − \(\frac{{1}}{{2}}\)gt²

电梯地板做匀加速直线运动，y₂ = vt + \(\frac{{1}}{{2}}\)at²

落到地板即 y₁ = y₂，解得：h = \(\frac{{1}}{{2}}\) (g + a)t²

求解时间表达式：t = \(\sqrt {\frac{{2h}}{{g + a}}} \)

3．（1）AB．对空间站 A，万有引力作为向心力，有 F_万 = mω²r，而乘客所在位置的运行半径小于同步轨道上空间站 A 的半径，且两者 ω 相同，则 F_万ʹ > mω²rʹ，可知乘客所受万有引力大于做圆周运动的向心力，所以乘客一定处于失重状态，但不是完全失重状态，故 AB 错误；

CD．根据 v = ωr 可知绕着地球运动的线速度大小随着 r 的增大而增大，故 C 正确；D错误；

EF．根据CD选项分析可知，在 r 等于地球半径时，乘客的线速度大小小于空间站 A 的线速度，第一宇宙速度是最大的环绕速度，大于同步轨道上空间站 A 的线速度，所以在 r 等于地球半径时，乘客的线速度大小小于第一宇宙速度，故 E 错误；F 正确。

故选 CF。

（2）根据（1）分析可知，电梯外部某一物体所受万有引力大于其做匀速圆周运动的向心力，则脱落后，物体相对于地球可能做向心运动，故选 C。这一物体也可以恰在空间站处脱离，此时可做匀速圆周运动，故选项 A 也正确。

（3）正确定义 A 和 B 的周期，指出 A 的周期为 T，B 的周期记为 T_B，并说明由于 B 轨道更远，所以 B 绕行更慢，ω_B < ω_A，T_B > T。

写出角速度：ω_A = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 与 ω_B = \(\frac{{2\pi }}{{{T_{\rm{B}}}}}\)

写出关键相对运动条件：（ω_A – ω_B）t = π

代入表达式后得出：（\(\frac{{2\pi }}{T}\) − \(\frac{{2\pi }}{{{T_{\rm{B}}}}}\)）t = π ⟹ \(\frac{1}{T}\) − \(\frac{1}{{{T_{\rm{B}}}}}\) = \(\frac{1}{2t}\)

最后解得卫星 B 的周期：T_B = \(\frac{{2Tt}}{{2t - T}}\)