如何认识两个带电金属球相碰问题中的能量？

两个大小相同的金属球一个带电，另一个不带电，二者相互接触，电荷量对半平分，但这里面的能量问题较为复杂，涉及带电导体球的“自作用能”的变化，一般不会在中学物理教学中出现。

两个相同的金属球，若带有不同种类或不同数量的电荷，相互接触一下，会发生电荷的转移，如果是不同种类的电荷，则正负电荷会中和，如果还有没中和的电荷，则剩余的净电荷会平分。如果涉及能量问题，则较为复杂。

一、一道习题带来的困惑

有这样一道习题：两个完全相同的金属小球甲和乙分别带有电荷量不等的同种电荷 q₁ 和 q₂，甲球固定在绝缘水平轨道上的 A 点，乙球原位于 B 点处，如图 1 所示。现使乙球获得一定的速度 v₀ 向着甲球运动，与甲球相碰并反向弹回，设运动过程中电荷量不发生变化，受到的摩擦和空气阻力都可忽略，乙球与甲球的碰撞过程是完全弹性的，没有机械能损失。则当乙球返回并经过 B 点时，速度的大小与 v₀ 相比较，会增大还是减小？为什么？

有下面两种不同的解答。

解答 1：乙球向左运动的过程中，静电斥力做负功，与甲球碰撞过程中，机械能没有损失，碰后乙球向右运动的过程中，静电斥力做正功，由于在任何距离处．F₂ = k \(\frac{{{{({q_1} + {q_2})}^2}}}{{4{r^2}}}\) 与 F₁ = k \(\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{r^2}}}\) 相比，总是 F₂ > F₁，因此正功大于负功的绝对值，总功为正值，因此末速度 v > v₀。

解答 2：初态势能 E_p = k \(\frac{{{q_1}{q_2}}}{{l}}\)，动能 E_k = \(\frac{1}{2}\)mv₀²；

末态势能 E_pʹ = k \(\frac{{{{({q_1} + {q_2})}^2}}}{{4l}}\)，动能 E_kʹ = \(\frac{1}{2}\)mv²。

由于 E_pʹ > E_p，因此 E_kʹ < E_k，得 v < v₀。

显然，解答 1 正确，因为它的依据是动能定理，分析过程无误，结论正确。而解答 2 依据的是能量守恒，得出的结果是错误的。但错误出在哪里呢？

二、带电体系的静电能

上面的例题讨论的是由两个带电小球组成的带电体系，它们的静电能包括两个带电小球的相互作用势能（简称互能）以及这两个带电小球各自电荷的自作用能（简称自能）。如果所讨论的过程中，两个带电小球的电荷量都没有发生变化，那么自能就没有变化，我们就不必考虑自能的问题，只需要讨论互能的变化即可。但现在的实际情况是，两个带电小球发生碰撞，而碰撞过后两个小球所带的电荷量都发生了变化，从而两个带电小球的自能都有了变化，但上面的解答 2，只考虑了始末两个状态互能的变化，而忽略了自能的变化，因此得出了错误的结论。

要定量地讨论这类问题，必须要学会计算自能。设电荷 q 均匀地分布在半径为 R 的导体球的表面，电荷 q 是由众多的基元电荷汇集而成的，这众多的基元电荷最初是相距无穷远而没有相互作用的，找们假设这些基元电荷是一个一个地移送到这个导体小球的表面上，除了移送第 1 个基元电荷的过程不用做功，以后都要克服静电斥力而做功，并且随着小球表面电荷的增加，移送 1 个基元电荷过程中需要做的功也随之增加，写出一系列做功的数值，即

移送第 1 个基元电荷做功 W₁ = 0；

移送第 2 个基元电荷做功 W₂ = k \(\frac{{{e^2}}}{R}\)；

移送第 3 个基元电荷做功 W₃ = k \(\frac{{2{e^2}}}{R}\)；

移送第 4 个基元电荷做功 W₄ = k \(\frac{{3{e^2}}}{R}\)；

……

移送第 N 个基元电荷做功 W_N = k \(\frac{{(N - 1){e^2}}}{R}\)。

所做的总功就等于它的自能，即 E_自 = \(\sum\nolimits_1^N {{W_i}} \) = k \(\frac{{{e^2}}}{R}\)（1 + 2 + … + N − 1）。由于式中总数 N 数值巨大，可以近似地把（N − 1）看作 N，因此 E_自 = \(\frac{1}{2}\)k \(\frac{{{N^2}{e^2}}}{R}\)，又 Ne = q，得 E_自 = \(\frac{1}{2}\)k \(\frac{{{q^2}}}{R}\)。（这可以看作计算带电导体球自能的计算公式，但对于电荷分布于带电体内部的带电物体而言，此公式不适用。）

下面对前面的习题做定量的讨论：设两个小球的半径都是 r，质量都是 m，甲球初始带电量 q₁ = 8q₀，乙球初始带电量 q₂ = 2q₀，甲球固定，乙球距离甲球为 l（l ≫ r），初速度为 v₀，求末速度 v。

初态甲球自能 E_甲自 = \(\frac{1}{2}\)k \(\frac{{{{(8{q_0})}^2}}}{r}\)，动能 E_k甲 = 0，乙球自能 E_乙自 = \(\frac{1}{2}\)k \(\frac{{{{(2{q_0})}^2}}}{r}\)，动能 E_k = \(\frac{1}{2}\)mv₀²，相互作用势能 E_p = k \(\frac{{16q_0^2}}{l}\)。

末态甲球自能 E_甲自ʹ = \(\frac{1}{2}\)k \(\frac{{{{(5{q_0})}^2}}}{r}\)，动能 E_k甲 = 0，乙球自能 E_乙自ʹ = \(\frac{1}{2}\)k \(\frac{{{{(5{q_0})}^2}}}{r}\)，动能 E_kʹ = \(\frac{1}{2}\)mv²，相互作用势能 E_pʹ = k \(\frac{{25q_0^2}}{l}\)。

末态与初态相比，自能减少了

\[\left( {\frac{1}{2}k\frac{{{{(8{q_0})}^2}}}{r} + \frac{1}{2}k\frac{{{{(2{q_0})}^2}}}{r}} \right) - \left( {\frac{1}{2}k\frac{{{{(5{q_0})}^2}}}{r} + \frac{1}{2}k\frac{{{{(5{q_0})}^2}}}{r}} \right) = \frac{1}{2}k\frac{{18q_0^2}}{r}\]

互能增加了

\[\left( {k\frac{{25q_0^2}}{l} - k\frac{{16q_0^2}}{l}} \right) = \frac{1}{2}k\frac{{18q_0^2}}{l}\]

由于 l ≫ r，因此互能增加量小于自能减少量，总的势能减少了，其减少量等于动能的增加量，有 \(\frac{1}{2}\)k \(\frac{{18q_0^2}}{r}\) − \(\frac{1}{2}\)k \(\frac{{18q_0^2}}{l}\) = \(\frac{1}{2}\)m(v² – v₀²)，解得 v = q₀ \(\sqrt {v_0^2 + 18\frac{k}{{mr}} - 18\frac{k}{{ml}}} \)。

中学物理教学不讲自能，电势能指的是互能，对两个点电荷的相互作用势能也不要求定量计算，因此这类问题一般不应在中学物理教学中出现。

发布时间：2024/8/8 上午10:19:11  阅读次数：779