如果认为速度与位移成正比，会推导出怎样荒谬的结果？

有一种说法：如果速度 v 与位移 x 成正比，将会推导出十分荒谬的结果，那么，这个十分荒谬的结果是什么呢？

在自由落体运动中，设 v ∝ x，即 v = kx，

0 ~ t₁ 时间段的平均速度 \(\bar v\)_0~t1 = \(\frac{{{v_1}}}{2}\)，x₁ = \(\frac{{{v_1}}}{2}\)t₁ = \(\frac{{k{x_1}}}{2}\)t₁。

等式两边消去 x₁，得到 t₁ = \(\frac{2}{k}\)。

同理，t = t₂ 时，x₂ = \(\frac{{{v_2}}}{2}\)t₂ = \(\frac{{k{x_2}}}{2}\)t₂，两边消去 x₂，得到 t₂ = \(\frac{2}{k}\)。

这就是说，无论物体下落的位移是多少，下落所需的时间都是相等的。该结果的确荒谬，同时，这个推导过程也是错误的！

在讲到伽利略对自由落体运动的研究时，有这样一段话：伽利略相信，自然界的规律是简洁明了的。他从这个信念出发，猜想落体运动一定是一种最简单的变速运动，而最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的。但是，速度的变化怎样才算“均匀”呢？他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀的，即 v 与 t 成正比，例如，每过 1 s，速度的变化量都是 2 m/s；另一种是速度的变化对位移来说是均匀的，即 v 与 x 成正比，例如，每下落 1 m，速度的变化量都是 2 m/s。后来他发现，如果 v 与 x 成正比，将会推导出十分荒谬的结果。

这段叙述很精彩，但对于最后那句“将会推导出十分荒谬的结果”，留下了一段空白。

一、错误的推导

有人给出如下的推导，以填补这段空白。

在自由落体运动中，设 v ∝ x，即 v = kx，则 x = 0 时，v₀ = 0；x = x₁ 时，v₁ = kx₁。

0 ~ t₁ 时间段的平均速度 \(\bar v\)_0~t1 = \(\frac{{{v_1}}}{2}\)，x₁ = \(\frac{{{v_1}}}{2}\)t₁ = \(\frac{{k{x_1}}}{2}\)t₁。

等式两边消去 x₁，得到 t₁ = \(\frac{2}{k}\)。

同理，x = x₂ 时，v₂ = kx₂。0 ~ t₂ 时间段的平均速度 \(\bar v\)_0~t2 = \(\frac{{{v_2}}}{2}\)，x₂ = \(\frac{{{v_2}}}{2}\)t₂ = \(\frac{{k{x_2}}}{2}\)t₂，两边消去 x₂，得到 t₂ = \(\frac{2}{k}\)。

这就是说，无论物体下落的位移是多少，下落所需的时间都是相等的，这个结果的确十分荒谬。

仔细思考，会发现这个推导过程存在一定问题，既然已经假设 v ∝ x，即假设速度随位移均匀变化，那就否定了速度随时间均匀变化，从而 \(\bar v\) = \(\frac{{{v_0} + {v_t}}}{2}\) 的结论不成立。可以说这里偷换了概念，把速度随时间均匀变化而得到的平均速度的概念，偷偷换了过来。得出这个“十分荒谬”的结论，到底是因为“速度随位移均匀变化”的前提错了，还是推导过程中间使用了错误的“平均速度”的概念呢？无法确定！

二、正确的推导

在自由落体运动中，设 v ∝ x，某时刻 t 的位移为 x，则该时刻的速度 v = kx。

选取该时刻后的很小一段时间 dt，这段时间内的位移 dx = kx·dt，即 dt = \(\frac{{{\rm{d}}x}}{{kx}}\)。

从位置 x₀ 到 x₁ 这一过程所需的时间 t₁ = \(\int_{{x_0}}^{{x_1}} {{\rm{d}}t} \) = \(\int_{{x_0}}^{{x_1}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{kx}}} \) = \({\frac{1}{k}\ln x\left| {_{{x_0}}^{{x_1}}} \right.}\) = （lnx₁ – lnx₀）。

从位置 x₀ 到 x₂ 这一过程所需的时间 t₂ = \(\int_{{x_0}}^{{x_2}} {{\rm{d}}t} \) = \(\int_{{x_0}}^{{x_2}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{kx}}} \) = \({\frac{1}{k}\ln x\left| {_{{x_0}}^{{x_2}}} \right.}\) = （lnx₂ – lnx₀）。

这个结论并不荒谬，只是十分复杂，与伽利略认为的自然界的规律是简单的相去甚远。

三、评论

第二种推导过程，肯定不是伽利略做的，因为他那个时代微积分还没有问世。

第一种推导过程，是不是伽利略做的，我不知道。但无非是两种可能：这不是伽利略做的，而是后人给出的推导过程；这的确是伽利略本人做的，他因此确定 v ∝ x 的假设是错误的，从而否决了它，认定应该是 v ∝ t，并得出了正确的结果。如果是前者，就绝对不应该在课堂上讲解，因为它不利于准确理解物理概念，是百害无一利的。如果是后者，那么伽利略实际上犯了个错误，虽然他得出的否定 v ∝ x 的结论是正确的，但这属于歪打正着。当然我们并不需要为尊者讳，即使伽利略当时犯了这样的错误，仍然无愧于他的伟大。但作为教师必须给学生讲清楚，不能这样推导，特别要向学生强调，只有随时间按线性规律变化的物理量，某段时间的平均值才等于其首、末值的算术平均值，这是中学生应该掌握的。

发布时间：2024/6/28 上午11:45:28  阅读次数：1644