第三章 第 2 节 交变电流的描述
问题？
正弦式交变电流的大小和方向都随时间发生周期性变化，那么我们如何描述这种电流的变化特征呢？
周期和频率
交变电流与振动和波一样具有周期性。与任何周期性过程一样，交变电流也可以用周期或频率表示其变化的快慢。在图 3.1–3 中，线圈转动一周，电压、电流都发生一次周期性变化。 我们把交变电流完成一次周期性变化所需的时间，叫作它的周期，通常用 T 表示，单位是秒。周期的倒数叫作频率，数值等于交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数。频率通常用 f 表示，单位是赫兹。根据定义可以知道
f = \(\frac{1}{T}\) 或 T = \(\frac{1}{f}\)
根据三角函数的知识可以知道，在 i = Im sin ωt 的表达式中，ω 等于频率的 2π 倍，即 ω = 2π f 。
思考与讨论
一交变电流的电压随时间的变化图像如图 3.2–1 所示，这个交变电流的周期是多少？频率是多少？
峰值和有效值
交变电流的峰值 I m 或 U m 可以用来表示电流的强弱或电压的高低。例如，把电容器接在交流电路中，就需要知道电压的峰值。电容器所能承受的电压要高于交流电压的峰值，否则电容器就可能被击穿。
思考与讨论
图 3.2–2 是通过一个 R 为 1 Ω 的电阻的电流 i 随时间变化的曲线。这个电流不是恒定电流。
1．怎样计算通电 1 s 内电阻 R 中产生的热量？
2．如果有一个大小、方向都不变的恒定电流通过这个电阻 R，也能在 1 s 内产生同样的热，这个电流是多大？
让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等，而这个恒定电流的电流与电压分别为 I、U，我们就把 I、U 叫作这一交变电流的有效值（effective value）。计算可得，图 3.2–2 所示的电流通过 1 Ω 的电阻时，在 1 s 内产生的热量为 2.8 J，相当于一个电流为 1.67 A 的恒定电流通过这个电阻时，在 1 s 内产生的热量。因此，图 3.2–2 所示的交变电流的有效值是 1.67 A。
从有效值的定义看，“有效”指的是电流热效应的等效。
理论计算表明，正弦式交变电流的有效值 I、U 与峰值 I m 、U m 之间有如下关系
\[\begin{array}{l}I = \frac{{{I_{\rm{m}}}}}{{\sqrt 2 }} = 0.707{I_{\rm{m}}}\\U = \frac{{{U_{\rm{m}}}}}{{\sqrt 2 }} = 0.707{U_{\rm{m}}}\end{array}\]
这两个关系式只适用于正弦式电流。
人们通常说家庭电路的电压是 220 V，是指有效值。使用交流的电气设备上，标出的额定电压和额定电流都是有效值，一般交流电压表测量的数值也是有效值。以后提到交变电流的数值，凡没有特别说明的，都指有效值。
正弦式交变电流的公式和图像
我们已经知道，可以用交变电流的周期和频率来描述电流（或电压）的变化快慢，用峰值来描述变化过程中的最大值。如果要详细描述交变电流的情况可以用公式和图像（图 3.2–3）两种方式，这两种描述可以全面记录和反映电流（或电压）每个时刻的情况。如果已知一交变电流的周期 T 或频率 f，又知道它的电压的有效值或峰值，那么可以对第 1 节中的（2）式作进一步表达。
由（2）式 u = U m sin ωt，可得
\[u = {U_{\rm{m}}}\sin \frac{{2\pi }}{T}t = \sqrt 2 U\sin \frac{{2\pi }}{T}t\]
拓展学习
电感器和电容器对交变电流的作用
我们知道，电阻会对直流起阻碍作用，同样，电阻对交流也会起阻碍作用。由于交流的大小和方向时刻在做周期性变化，因此当一个线圈接入交流时，就会产生电磁感应现象，这种现象会对交流起什么作用呢？而一个电容器又会对交流起什么作用呢？
电感器对交变电流的阻碍作用 如图 3.2–4 所示，把带铁芯的线圈 L 与小灯泡串联起来，先把它们接到直流电源上（甲图），再把它们接到交流电源上（乙图）。取直流电源的电压与交流电压的有效值相等，可以发现，接交流电源时灯泡要暗一些。
在直流电路中，当电压一定时，影响电流强弱的只是电阻；但把线圈接入交流电路时，除了线圈自身的电阻对交变电流有阻碍作用外，还有由于线圈与交变电流之间的电磁感应作用所引起的阻碍作用，这叫感抗。实验和理论分析都表明，线圈的自感越大、交流的频率越高，线圈的感抗就越大。
扼流圈（图 3.2-–5）是电工技术和电子技术常用的元件，它利用了电感器对交流的阻碍作用，分为高频扼流圈和低频扼流圈。
交变电流能够通过电容器 如图 3.2–6 所示，把小灯泡和电容器串联起来，先把它们接到直流电源上（甲图），再把它们接到交流电源上（乙图），分别观察小灯泡的发光情况。
直流不能通过电容器，所以接直流电源的灯泡不亮。当电容器接到交流电源两端时，由于电容器两端电压不断变化而不断地充电和放电，电路中就有了充、放电的电流，表现为交流“通过”了电容器。
电容器对交变电流的阻碍作用 在图 3.2-6 乙的实验中，如果把电容器从电路中取下来，使小灯泡直接与交流电源相连，小灯泡要比有电容器时更亮。这表明，电容器对交流有阻碍作用。电容器对交流阻碍作用的大小叫容抗。实验和理论分析都表明，电容器的电容越大，交流的频率越高，电容器对交流的阻碍作用就越小，即容抗越小。
练习与应用
1．我国电网中交变电流的周期是 0.02 s，1 s 内电流的方向发生多少次变化？
参考解答：100 次
2．一个电容器，当它的两个极板间的电压超过 10 V 时，其间的电介质就可能被破坏而不再绝缘，这个现象叫作电介质的击穿，这个击穿电压叫作这个电容器的耐压值。能否把这个电容器接在正弦式交流电压是 9 V 的电路两端？为什么？
参考解答：不能把这个电容器接在交流电压是 9 V 的电路两端。因为，这里的 9 V 电压是指交流电压的有效值，在电压变化过程中的最大值为 9\(\sqrt 2 \) V = 12.7 V，超过了电容器 10 V 的耐压值，故电容器会被击穿。
3．一个灯泡，上面写着“220 V 40 W”。当它接在正弦式交流电源上正常工作时，通过灯丝电流的峰值是多少？
参考解答：0.327 A
4．图 3.2-7 是一个正弦式交变电流的波形图。根据 i-t 图像求出它的周期、频率、电流的峰值、电流的有效值。
参考解答：T = 0.2 s，f = 5 Hz，Im = 10 A，I = 7.1 A
5．有一个电热器，工作时的电阻为 50 Ω，接在电压 u 为 U m sin ωt 的交流电源上，其中 U m 为311 V，ω 为100 π s−1。该电热器消耗的功率是多大？
参考解答：967 W
6．有 A、B、C 三条导线，它们与大地之间的电压随时间变化的规律如图 3.2-8 所示。这三个电压中，它们的峰值有什么关系？它们的周期有什么关系？
参考解答：A 与 B 的峰值相同，A、B 与 C 的周期相同。
7．通过某交流电流表的电流 i 随时间 t 变化的关系如图 3.2-9 所示，该交流的的有效值是多少？
参考解答：5 A
第 2 节 交变电流的描述 教学建议
1．教学目标
（1）知道交变电流周期、频率的含义及二者之间的关系；知道峰值和有效值的含义及二者之间的关系。能结合交变电流的公式和图像识别周期（频率）、峰值。会用周期（频率）、峰值等物理量通过函教表达式和图像来描述交变电流。
（2）经历根据电流的热效应推导交变电流有效值的过程，体会“等效”的科学方法。
（3）了解我国家庭电路的频率和电压的有效值。知道家用电器的电压与电流的额定值是有效值。
2．教材分析与教学建议
通过本节的教学，要让学生知道可以用图像全面、细致地描述交变电流。由于交变电流的电压、电流等物理量的大小和方向都随时间做周期性变化，这就需要用一些特殊的物理量来描述它。例如：周期和频率表示交变电流周期性变化的快慢；峰值表示交变电流在变化过程中所能达到的最大数值，反映了交变电流的变化范围；有效值反映的是交变电流的热效应在时间上的平均效果。交变电流的有效值和用公式和图像描述正弦式交变电流是本节教学的重点，其中交变电流的有效值概念还是教学的难点。教学中要通过分析，使学生逐步建立描述交变电流的周期、频率、峰值和有效值等概念，然后再用公式和图像等数学方法伞面描述交变电流，最后通过“拓展学习”栏目中电感器和电容器对交变电流的作用，加深、拓宽学生对交变电流的认识。
（1）问题引入
本节一开始就提出如何描述正弦式交变电流变化的特征这一问题。通过上一节的学习，学生对电流随时间变化的图像有一定的了解，教学中要充分结合教材中的“问题”栏目，引导学生复习上一节的学习内容，思考如何用公式和图像描述交变电流变化的规律。
（2）周期和频率
教材结合学过的振动和波的图像，类比引出周期和频率的概念，再通过“思考与讨论”栏目强化学生对这一概念的落实。建议在教学过程中可以让学生对比两个图像，得出周期、频率的大小关系，这样能更好地理解周期和频率的意义。同时引导学生课下通过互联网或图书馆查阅资料，了解我国供电线路交变电流的周期（频率）的大小，教师也可以根据学生情况做拓展讲解。
（3）峰值和有效值
通过“思考与讨论”栏目，教材设计了一个让学生自主研究交变电流通过电阻时产生热量的问题情境，为有效值概念的引入做了很好的铺垫。
由于交变电流的大小和方向随时间变化，它产生的效果也随时间变化，但在处理实际问题中，常常只要知道它的平均效果即可。例如，流过电灯的交变电流不断变化，为什么看不出灯光会忽亮忽暗？这是由于电流变化太快。当电流变小时，灯丝还来不及变冷，电流就变大了，所以灯丝总是热的。也就是说，灯光的亮度是电功率随时间变化的平均效果。
怎样衡量交变电流的平均效果呢？我们可以让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在一个周期内交变电流产生的热效应与相同时间内恒定电流产生的热效应相同，就可以用恒定电流的电压和电流来表示交变电流的电压和电流的平均效果。换句话说，在交变电流中有实际意义的往往不是瞬时功率，而是它在一个周期内的平均值。特别值得注意的是，教材中明确地用一个周期来定义有效值，这使得有效值的概念更加准确。
教学中注意对教材中旁批“从有效值的定义看，‘有效’指的是电流热效应的等效”的理解。引导学生理解有效值的定义是利用了能量转化和守恒定律，相同的热效应在交变电流与直流之间建立了等效关系，交变电流有效值的计算根据的是电流的热效应．从而进一步理解物理学中热的等效的能量观念。同时，利用“思考与讨论”栏目引导学生经历运用类比、迁移的科学方法分析新问题的过程，掌握计算一般情境下交变电流有效值的方法。
教学片段
交变电流的有效值
提出问题：交变电流在不同时刻的瞬时值不同，我们用什么来表示交变电流的平均效果呢？即如果交变电流的最大值为 Im，如何计算它在时间 t 内在电阻 R 上产生的热量呢？能否用恒定电流的公式来计算？如果可以，那么公式中的电流应该采用什么值呢？
图 3–3
实验设计和进行实验：如图 3–3 所示，选用两个完全相同的电水壶，装入温度、质量相同的水，分别用恒定电流和交变电流通过电阻丝对水加热。如果两壶水在相同的时间内被烧开，那么这两种电流有何关系？
分析：实验说明两种电流产生的热效应相同，它们在相同的时间内产生的热量相同，有相同的热功率。把恒定电流的数值代入公式 Q = I2Rt，就能计算交变电流在一定时间内产生的热量。此时，恒定电流的电流值称为交变电流的有效值。有效值代表着交变电流的平均作用效果（从热效应来看）。
小结：让交变电流和恒定电流通过同样阻值的电阻，如果它们在同一时间内产生的热量相等，则这一交变电流的电流（电压）有效值就等于这个恒定电流的电流（电压）。
对于峰值和有效值，在教学中还应注意以下几点。
①要让学生知道，提到交变电流的电压、电流、电动势时，如果不加特别说明，通常指的都是交变电流的有效值。交流用电器的额定电压和额定电流指的是有效值，交流电流表和交流电压表的示数是有效值，保险丝的熔断电流也是有效值。
②对于正弦式交变电流的有效值和峰值的关系，教材中是直接给出的，不要求加以证明，但它十分有用，应要求学生记住。教学中应提醒学生注意教材旁批中公式应用的条件“这两个关系式只适用于正弦式电流”，从而明确这一关系对其他波形的交变电流一般不成立。
另外，对基础较好、学有余力的学生，课堂教学中可创设条件，引导学生从物理实验和数学方法的角度探究正弦式交变电流的有效值与最大值的关系，让学生经历探索获取知识、构建规律的过程，加深学生对这部分内容的深入理解，激发学生的学习兴趣、启迪学生思维、促进学生科学探究能力的提高。
③教学中需明确，虽然有效值和峰值都是反映电流强弱或电压高低的物理量，但在实际应用中要视具体需要进行选择。在计算平均功率时，应该用有效值。
峰值是交变电流能达到的最大数值，是电流变化中的某一瞬时值。对纯电阻电路来说，应用意义不大。但是，对含电容器的电路，在判断电容器是否会被击穿时，则需考虑交变电流的峰值是否超过电容器的耐压值。
（4）正弦式交变电流的公式和图像
在复习教材第 1 节内容的基础上，继续深化用函数表达式和图像来详细描述正弦式交变电流的变化规律的学习。结合本节学习的交变电流各物理量（峰值、有效值、瞬时值、周期和频率）的物理意义，掌握用函数表达式和图像来全面记录和反映电流（或电压）每个时刻的情况，数形结合，经历运用数学函数和图像表示物理规律的体验。
（5）拓展学习
“电感器和电容器对交变电流的作用”不是课程标准要求的内容，教材放在了“拓展学习”栏目中，有兴趣的学生可以根据自己的情况进行学习。可以通过实验，丁解电感器和电容器对交变电流的阻碍和导通作用，知道感抗和容抗的物理意义及影响因素。教学中可以结合学校的实际情况，尽可能多用实验说明问题，不必在理论上进行过细的讨论。
3．“练习与应用”参考答案与提示
本节共设置 7 道习题，其中第 1、2、3、5 题考查交变电流的最大值、有效值、周期、频率、瞬时值的关系。第 4、6、7 题考查了学生读图能力、分析能力、计算能力，尤其是考查了有效值的计算方法。其中第 4、6 题的正弦式交变电流和第 7 题的矩形波是交变电流中最具代表性的两种，可以让学生比较全面地理解并掌握交变电流的有关知识点。
1．100次
提示：交变电流在一个周期内，电流方向改变两次，所以 1 s 内电流的方向变化的次数为 100 次。
2．不能把这个电容器接在交流电压是 9 V 的电路两端。因为，这里的 9 V 电压是指交流电压的有效值，在电压变化过程中的最大值为 9= 12.7 V，超过了电容器 10 V 的耐压值，故电容器会被击穿。
3．0. 257 A
提示：灯泡正常工作时，通过灯丝的电流的有效值 I = = A，电流的峰值 Im = I，代入数据得 Im = 0.257 A。
4．交变电流的周期 T = 0.2 s，频率 f = = 5 Hz，电流的峰值 Im = 10 A，电流的有效值 I = = 7.1 A。
5．967 W
提示：该电热器的功率 P = ，其中 U 为电压的有效值 U = ，所以 P = ，代入数据得 P = 967 W。
6．A 与 B 的峰值相同；A、B 与 C 的周期相同。
7．5 A
提示：交流电流表的示数是有效值，设一个电阻 R 中通过这个交变电流，则在一个周期内有 I2RT = （4）2R + （3）2 R ，代入数据得 I = 5 A。
发布时间：2022/7/25 下午3:36:42 阅读次数：4023
