第十一章 第三节 气体的等容变化和等压变化

 

 

 

夏天，有经验的司机在上高速公路前，会把汽车胎压略微调低些，以预防爆胎；冬天从热水瓶里倒出一些热水后盖上瓶塞，过一段时间后很难拔出瓶塞。这些现象都说明一定质量的气体在体积不变时，压强会随温度变化而变化。

一定质量的气体在体积保持不变情况下发生的变化叫做等容变化。我们可以通过下面的实验来研究气体等容变化过程中压强与温度的关系。

如图 11–20 所示，与压强传感器相连的试管内装有封闭的空气和温度传感器的热敏元件。用远红外加热器加热试管内的气体，每隔一定时间记录一组压强与温度的值。

通过实验，可以获得如图 11–21 所示的气体压强 p 与热力学温度 T 的关系图像。

 

实验表明，一定质量的气体在体积不变时，压强与热力学温度成正比。这个规律叫做查理定律（Charles’s law）。

如果用 p₁、T₁ 和 p₂、T₂ 分别表示一定质量的气体在等容变化中任意两个状态的压强、热力学温度，查理定律可表示为

\[\color{#837D23}\frac{{{p_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}}}{{{T_2}}}\]

如图 11–22 所示是一定质量的气体经历等容变化时的 p–T 关系曲线，叫做等容线（isochore）。在 p–T 坐标系中，等容线是一条过原点的倾斜直线。

一定质量的气体在压强保持不变情况下发生的变化叫做等压变化。

实验发现：一定质量的气体在压强不变时，体积与热力学温度成正比。这个规律叫做盖·吕萨克定律（Gay-Lussac’s law）。

如果用 V₁、T₁ 和 V₂、T₂ 分别表示一定质量的气体在等压变化中任意两个状态的体积、热力学温度，盖·吕萨克定律可表示为

\[\color{#837D23}\frac{{{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{V_2}}}{{{T_2}}}\]

如图 11–23 所示是一定质量的气体经历等压变化时的 V–T 关系曲线，叫做等压线（isobar）。在 V–T 坐标系中，等压线是一条过原点的倾斜直线。

图 11–22 和图 11–23 的原点对应 T = 0 K。0 K（−273.15℃）是一个只能无限逼近但不能达到的温度极限，称为绝对零度（absolute zero）。

 

在压强基本不变的情况下，孔明灯和热气球内的气体受热后温度升高，体积增大。由于孔明灯和热气球的容积不变，导致内部一部分气体从开口处溢出，内部气体的密度下降，从而使得孔明灯或热气球上升。

 

示例 如图 11–25（a）所示，某种气体被一定质量的活塞封闭在容积为 1 m³ 的汽缸中，初始状态时气体的压强为 p₁ = 1.2×10⁵ Pa、温度为 T₁ = 200 K，封闭气体体积为 V₁ = 0.8 m³。现对气体缓慢加热，求：

（1）活塞刚上升到汽缸顶部时 [ 图 11–25（b）]，气体的温度 T₂；

（2）气体的温度升高到 T₃ = 375 K 时，气体的压强 p₃。

分析：在活塞缓慢上升的过程中，气体的压强始终等于大气压强与活塞压强的和，所以保持不变，气体经历了等压变化过程；活塞到达汽缸顶部后，气体的体积不再变化，压强随着温度的继续升高而增大，气体开始经历等容变化过程。

解：根据已知条件，气体在三种情况下的状态参量如下

状态 Ⅰ，p₁ = 1.2×10⁵ Pa，T₁ = 200 K，V₁ = 0.8 m³；

状态 Ⅱ，p₂ = 1.2×10⁵ Pa，T₂ 未知，V₂ = 1 m³；

状态Ⅲ，p₃ 未知，T₃ = 375 K， V₃ = 1 m³。

（1）从状态 Ⅰ 到状态 Ⅱ，气体发生等压变化，根据盖·吕萨克定律有

\[\frac{{{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{V_2}}}{{{T_2}}}\]

故活塞刚上升到汽缸顶部时，气体的温度

\[{T_2} = \frac{{{V_2}}}{{{V_1}}}{T_1} = \frac{1}{{0.8}} \times 200\;{\rm{K}} = 250\;{\rm{K}}\]

（2）从状态 Ⅱ 到状态 Ⅲ，气体发生等容变化，根据查理定律有

\[\frac{{{p_2}}}{{{T_2}}} = \frac{{{p_3}}}{{{T_3}}}\]

故温度为 T₃ = 375 K 时，气体的压强

\[{p_3} = \frac{{{T_3}}}{{{T_2}}}{p_2} = \frac{{375}}{{250}} \times 1.2 \times {10^5}\;{\rm{Pa}} = 1.8 \times {10^5}\;{\rm{Pa}}\]

 

在应用气体实验定律解决问题时，首先要搞清楚封闭气体有哪几个状态，分清不同状态时气体的压强、体积和温度，确定从一个状态到另一个状态的过程中是温度保持不变、还是体积或者压强保持不变，然后选择相应的实验定律。在运算过程中特别要注意温度必须采用热力学温标。

玻意耳定律、查理定律和盖·吕萨克定律都是在压强不太大（和大气压相比）、温度不太低（和室温相比）的条件下总结出来的气体实验定律。在这种条件下，气体分子之间的距离大约是分子直径的 10 倍，分子的体积和分子间的相互作用可以忽略不计。当压强很大、温度很低时，气体不再稀薄，分子的体积和分子间的相互作用会对气体的宏观性质产生影响，上述定律就不再适用。

为了研究方便，可以设想一种气体，在任何压强、任何温度下都遵循气体实验定律，这样的气体叫做理想气体（ideal gas）。理想气体作为一种理想化的物理模型，完全忽略分子本身体积和分子间的相互作用。常温常压下，大多数实际气体都可近似看作理想气体。

 

本节编写思路

本节内容由气体的等容变化、等压变化和理想气体三部分组成。气体的等容变化、等压变化的研究方法都是控制变量法，分别控制体积、压强，通过实验研究另外两个状态参量之间的变化规律。与等温变化的教学一样，教材也从微观角度用分子动理论解释等容变化、等压变化规律，并基于对三个实验定律的适用条件的讨论，抽象出理想气体的物理模型。

在与教师互动、共同完成气体等容变化规律的实验过程中，引导学生经历实验数据采集、处理、分析并获得结论等环节；在讨论“验证盖·吕萨克定律实验”实验方案的过程中，培养学生设计实验操作步骤、数据记录与处理的方案等科学探究的能力。在建立理想气体概念的过程中，学生再次经历建构模型的科学思维过程。

正文解读

这个实验通常可以用水浴法来改变封闭气体的温度，而教材中采用远红外加热器来改变封闭气体的温度，效果更佳。封闭气体的压强和温度可分别通过压强传感器和温度传感器直接获得。教学中可以由老师和个别学生完成操作，其他同学记录数据，自行建立坐标系，完成描点作图。

教学中要让学生明确：本实验仅研究了在室温与 100 ℃ 之间一定质量气体的压强随热力学温度改变而发生的变化，由此得到的查理定律也仅适用于温度不太低、压强不太大的气体；实验并没有测得低温段的数据，实验图线的延长线过坐标原点是合理的“外推”，“外推”并不表示查理定律的适用范围扩大；大量针对温度不太低、压强不太大的不同气体进行的等容变化的实验，所得到的图线延长线都过 p – T 坐标原点，即压强为零时对应的温度为 0 K，所以热力学温度的 0 K 也称为绝对零度，是物理学理论所断言的自然界的低温极限。

 

教学中可以引导学生模仿玻意耳定律的学习，采用文字叙述、数学表达式和图像三种方式来表达查理定律和盖·吕萨克定律。

要求学生尝试用分子动理论知识从微观角度解释查理定律和盖·吕萨克定律。

查理定律的微观解释：一定质量的气体体积不变时，单位体积中的分子数就不变，即在等容变化过程中气体的密度是不变的，此时气体的压强仅由气体分子的平均速率决定。当温度升高时，气体分子热运动的平均速率增大，碰撞器壁时对器壁的冲击力增大，且单位时间里对器壁单位面积上撞击的次数增多，因此压强就增大了。

盖·吕萨克定律的微观解释：一定质量的气体压强由温度和容器内分子数密度共同决定。在等压变化的过程中，一方面因为温度升高，分子的平均速率增大，使压强有增大的倾向；另一方面，由于体积变大，单位体积内分子数减少，使压强有减小的倾向，这两种倾向抵消，导致压强不变。

 

此处设置“自主活动”，要求学生根据所提供的等压变化情境，设计验证盖·吕萨克定律的实验方案，教学中可以引导学生关注以下几个方面：

（1）实验中如何控制封闭气体的压强不变？

（2）如何测量、改变封闭气体的温度？测量时要注意些什么？

（3）如何测量封闭气体的体积？

 

示例中的气体状态先后经历了等压、等容两个过程的变化，属于多个过程的问题。教学中要从以下两个方面引导学生：

（1）在解决这类问题时需要关注每个过程的条件，正确选用合适的气体实验定律分段处理问题，并注意过程间的联系。

（2）结合 p - V、p – T、V – T 图像分析过程，更直观地表述气体状态变化的过程。

 

关于理想气体的概念要使学生理解以下两点：

（1）理想气体是实际气体的理想化模型。从宏观上讲是指在任何条件下始终遵守气体实验定律的气体。当实际气体在压强不太大、温度不太低的情况下可以看成理想气体。从微观上讲理想气体应具有如下性质：① 分子本身没有体积，即认为它所占据的全部空间都是可以被压缩的空间；② 分子间除碰撞以外没有其他相互作用；③ 分子间的碰撞为弹性碰撞。

（2）建立理想气体的概念，是为了在研究气体性质时减少问题的复杂性。理想气体是从实际气体中突出主要因素，简化和忽略次要因素而抽象出来的理想化模型。把实际的研究对象简化力模型，研究得出其规律或结论，再对规律或结论进行修正，使之复归到实际原型中去，这是研究物理问题常用的方法。

 

此处“拓展视野”中的内容可供学有余力的学生阅读，拓宽知识面。

问题与思考解读

1．参考解答：（1）保温杯内热水上方被封闭了一部分空气，过了几小时后空气的温度降低，压强减小，内外气体的压强差导致杯盖很难被拧开。

（2）车胎气太足，内部气体压强较大。烈日下骑行时，暴晒和摩擦都会导致胎内气体的温度升高，压强变得更大，容易使车胎爆裂。

命题意图：运用查理定律分析、解释生活中的现象，形成物理观念。

主要素养与水平：能量观（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

2．参考解答：p_t = p₀ + \(\frac{{{p_0}}}{{273}}\) t

命题意图：了解用摄氏温标表达的查理定律，巩固对查理定律的认识。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）。

 

3．参考解答：如图 1 所示。

图 1

命题意图：学会用不同的图像从不同的角度直观地描述同一个气体状态变化的过程，提升对气体状态变化过程的表达及理解能力。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）。

 

4．参考解答：查理定理：一定质量的气体保持体积不变时，分子的密度也保持不变。温度升高后，气体分子热运动的平均速率增大，碰撞器壁时对器壁的冲击力增大，气体的压强就会增大。

盖·吕萨克定律：一定质量的气体在等压变化的过程中，一方面因为温度升高，分子的平均速率增大，使压强有增大的倾向；另一方面，由于体积变大，单位体积内分子数减少，使压强有减小的倾向，这两种倾向相互抵消，导致压强不变。

命题意图：从微观角度进一步认识查理定律和盖·吕萨克定律。

主要素养与水平：运动与相互作用观（Ⅱ）；能量观（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

5．参考解答：（1）加热过程中，容器中空气的体积基本不变，所以密度基本不变。温度升高，根据查理定律，压强增大。

（2）打开容器瞬间，容器内压强迅速降低到大气压强，而在大米内部由于有气隙，内部气体压强仍然远大于大气压强，从而向外膨胀成了米花。

命题意图：运用气体实验定律分析、解释生活中的现象，形成物理观念。

主要素养与水平：能量观（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

6．参考解答：47 ℃

温度变化时汽车轮胎的压强和体积都会发生变化，但体积的变化极小，该过程可近似看成等容变化。p₁ = 244 kPa，T₁ = 300 K，p₂ = 260 kPa，根据 \(\frac{{{p_1}}}{{{T_1}}}\) = \(\frac{{{p_2}}}{{{T_2}}}\) 即可求得 T₂ ≈ 320 K，t₂ ≈ 47 ℃。

命题意图：运用气体实验定律解决从真实情境中提出的问题．提升物理观念。

主要素养与水平：能量观（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

资料链接

温度的测量与温标

温度是表征物体冷热程度的物理量。热平衡实验表明：如果两个物体都与第三个物体处于热平衡，则这两个物体彼此也必走处于热平衡。这就是由大量实验证实的热力学第零定律，一切相互处于热平衡的物体具有相同的温度。这为温度的测量提供了客观依据：人们可以用具有确定初始状态的物体 C 来判定物体 A、B 的温度是否相同或孰高孰低。

为了测量温度，人们选择某种物质（测温物质）的物理性质（测温属性）随温度变化的规律来标志温度，测温属性应该与温度之间有单值的、显著的函数关系。为标定温度的数值还需要规定标准点及相应的温度值，进而可以根据测温属性相对于其在标准点处数值的变化来标定温度的数值。测温物质、测温属性和固定标准点常被称为温标三属性。

1．华氏温标与摄氏温标

华氏温标是德国物理学家华仑海特（G．D．Fahrenheit，1686—1736）利用汞在玻璃管内的体积变化而建立的温标，单位为“华氏度”，记作 ℉。它规定氯化氨及冰的混合物的熔点为 0 ℉（相当于当地冬天的最低温度），冰与水的混合物温度为 32 ℉，将在 0 ℉ 与 32 ℉ 之间一定量的汞的体积（或长度）变化量等分为 32 格，测温属性与温度之间呈线性关系。

摄氏温标是瑞典天文学家摄尔西斯（A．Celsius，1701—1744）以汞为测温物质、细玻璃管中汞的体积为测温属性、测温曲线也为线性函数关系而制定的温标，单位为“摄氏度”，记作 ℃。它规定纯冰与纯水在 1 个标准大气压下达到平衡时的温度（水的冰点温度）为 0 ℃，纯水与水蒸气在蒸气压等于 1 个标准大气压时达到平衡时的温度（水的汽点温度）为 100 ℃。

华氏温标 t_F 与摄氏温标 t 的关系为

\[{t_{\text{F}}} = 32 + \frac{5}{9}t\]

除英、美等国仍采用华氏温标外，现在世界上绝大多数国家在日常生活中都使用摄氏温标。

2．理想气体温标

实验表明，对一定量的稀薄气体，在体积固定的条件下，压强 p 与摄氏温度 t 的关系为

\[p = {p_0}(1 + {\alpha _p}t)\]

这就是查理定律，并且当 p₀ → 0 时，任何气体的 α_p 都趋近于同一个常量 \(\frac{1}{{{T_0}}}\)，如图 2 所示。即有

\[\mathop {\lim }\limits_{{p_0} \to 0} {\alpha _p} = {\alpha _0} = \frac{1}{{{T_0}}}\]

于是

\[p = {p_0}\frac{{{T_0} + t}}{{{T_0}}}\]

定义 T = T₀ + t，于是得到

\[T = \frac{p}{{{p_0}}}{T_0}\]

图 2

现规定：H₂O 的冰、水和水蒸气三相共存并达到平衡态（三相点）的温度为 T₀ = 273.16 K，此温度下气体的压强为 p₀，则有

\[T = 273.16\frac{p}{{{p_0}}}\]

如果气体的体积不变，测出某温度下气体的压强 p，即可得到此时的温度 T，由此可制作气体定容温度计。实际测量表明，所用气体的种类不同，定容温度计所测出的温度 T 会略有不同，但当所用气体非常稀薄时，无论充入何种气体，测出结果趋于一致，这就是定容气体温标。根据盖·吕萨克定律，还可以建立定压气体温标。当气体非常稀薄、压强趋于零时，实际气体很好地近似为理想气体，于是上述从定容和定压两种角度建立的气体温标统称为理想气体温标。

3．热力学温标

1848 年，英国物理学家开尔文勋爵在热力学第二定律基础上，从理论上建立了不依赖任何物质的具体测温属性的温标，称为热力学温标或绝对温标，由它确定或标记的温度称为热力学温度或绝对温度。在热力学温标中，规定热力学温度是基本的物理量，其单位为“开尔文”，记作 K。1 K 定义为水的三相点的热力学温度的 \(\frac{1}{{273.16}}\)，即水的三相点温度定义为 273.16 K。

可以证明，在理想气体温度计所能测量的温度范围内，热力学温标与理想气体温标是一致的。因而我们可以用气体温度计来实现热力学温标。

有了与测温物质无关的热力学温标后，1960 年国际计量大会对摄氏温标进行了重新定义。如以 t 表示摄氏温度，T 表示热力学温度，则有

\[t = T - 273.15\]

可见，水的三相点在摄氏温标中为 0.01 ℃。