气体压强的产生(图形动画)
气体的压强是大量分子的对器壁的碰撞产生的,求证:压强的公式为
\[p = \frac{1}{3}nm{\bar v^2}\]
其中,m是分子的质量,n是分子数密度,\({\bar v^2}\)是速度平方的平均值。进而求证:分子的平均平动动能为
\[{\bar \varepsilon _k} = \frac{3}{2}kT\]
不考虑分子之间的碰撞,演示分子运动的动画。
证明
一个分子对器壁的碰撞是断续的,它什么时候与器壁发生碰撞,在什么地方发生碰撞,给器壁施加了多大的冲量都是偶然的。但是大量分子时时刻刻与器壁碰撞,在宏观上就产生持续的压力,单位面积上的压力就是压强。
如图1所示,取垂直于容器壁指向外侧的方向为x轴正向,设容器中理想气体分子的质量为m,某分子的速度为vi,三个分量分别为vix,viy,viz。由于碰撞是完全弹性的,所以碰撞前后y和z方向的速度分量保持不变,x方向的速度分量由vix变为-vix。根据动量定理,分子所受器壁的冲量为-mvix - (mvix) = -2mvix。根据牛顿第三定律,分子施加给器壁的冲量为
\[{I_i} = 2m{v_{ix}}\]
如图2所示,在容器壁上取一面积元dA,在一段时间间隔dt内,分子恰好与器壁发生碰撞时运动的距离为dli = vixdt。
这个距离和面积元形成的柱体的体积为
\[d{V_i} = {\rm{ }}d{l_i}dA = {v_{ix}}dtdA\]
在所有以速度vi运动的分子中,只有位于柱体内的分子才能与器壁发生碰撞。单位体积内以速度vi运动的分子数为ni,所以柱体内这种分子数为
\[d{N_i} = {n_i}d{V_i} = {n_i}{v_{ix}}dtdA\]
这些分子施加给器壁的冲量为
\[d{I_i} = {\rm{ }}2m{v_{ix}}d{N_i} = 2m{n_i}{v_{ix}}^2dtdA\]
对所有速度求和即可求得所有分子施加给面积元的总冲量dI。但是速度条件限制为vix > 0,这是因为vix < 0的分子背离dA运动,在dt时间内不会与dA发生碰撞。可得
\[dI = \sum\limits_{_{i({v_{ix}} > 0)}} {d{I_i} = \sum\limits_{_{i({v_{ix}} > 0)}} {2m{n_i}v_{ix}^2dAdt} } {\rm{ }}\]
当气体处于平衡态时,气体分子朝x轴正向和负向运动的机会均等,平均来说,vix > 0和vix < 0的分子各占一半。
因此,将上式右边除以2就可以取消速度限制
\[dI = \sum\limits_i {m{n_i}v_{ix}^2dAdt} \]
这就是一群分子施加给器壁的冲量。根据冲量的定义可得气体施加给器壁的压力为dI/dt,所产生的压强为
\[p = \frac{{dI}}{{dtdA}} = m\sum\limits_i {{n_i}v_{ix}^2} \]
气体处于平衡态时,x方向速度平方的平均值为
\[\overline {v_x^2} = \frac{{\sum\limits_i {{n_i}v_{ix}^2} }}{n}\]
由于
\[\overline {v_x^2} + \overline {v_y^2} + \overline {v_z^2} = \overline {{v^2}} \]
所以
\[\overline {v_x^2} = \frac{{\overline {{v^2}} }}{3}\]
从而证得
\[p = nm\overline {v_x^2} = \frac{1}{3}nm\overline {{v^2}} \]
可见:气体分子的质量越大,速度平方的平均值越大,单位体积内分子的个数越多,气体产生的压强就越大。从公式的推导过程可知:压强是大量分子集体行为的宏观表现,是一个统计结果,单个分子不存在压强的概念。
根据阿伏伽德罗定律p=nkT,联立上式可得
\[\sqrt {\overline {{v^2}} } = \sqrt {\frac{{3kT}}{m}} \]
这是方均根速率。分子的平均平动动能为
\[\overline {{\varepsilon _k}} = \frac{1}{2}m\overline {{v^2}} = \frac{3}{2}kT\]
结果说明:大量分子的平均平动动能与绝对温度成正比,与气体种类无关。气体的温度是大量气体分子平均平动动能的量度,是大量分子无规则热运动的集体表现,具有统计的意义,单个分子或少数几个分子是没有温度概念的。这就是温度的微观实质。
图示
在一个平面上取1000个分子,初始状态如图3所示,箭杆表示分子运动的方向和相对大小,但是第一个分子例外,其箭杆特别长。当分子运动时,箭杆指示了第一个分子的运动方向。分子运动有快有慢,每时每刻都有分子与器壁发生碰撞,从而产生持续的压强。注意:由于不考虑分子的碰撞,而分子与器壁的碰撞是弹性的,因此一个分子的速率在运动中是不变的。实际上,分子之间存在着频繁的碰撞,正是通过分子间的碰撞,能量才能按自由度均分。
算法
按均匀分布随机产生分子的坐标,按正态分布随机产生分子的速度。不考虑分子之间的碰撞,分子在与器壁发生碰撞前做匀速直线运动。设分子速度为vx和vy,经过时间Δt,发生的位移分别为Δx=vxΔt和Δy=vyΔ。设分子的初始坐标为(x0,y0),经过时间Δt的坐标分别为xt=x0+Δx和yt=y0+Δy。
如图4所示,当分子与右壁发生碰撞时,横坐标为xm,纵坐标为
\[y = {y_0} + \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}({x_m} - {x_0})\]
取(xm,y)为新的起点,碰撞后速度vx的方向发生改变,位移为
Δx′=-[Δx – (xm – x0)],Δy′=-[Δy – (y – y0)]
从而可确定碰撞后的坐标:xi=xm+Δx′,yi=y+Δy′。
当分子与左壁(上壁或下壁)发生碰撞时,同样可求得碰撞点的坐标和碰撞后的坐标。
分子的个数是可调节的参数。
程序
%气体分子运动的动画(不考虑分子之间的碰撞) clear %清除变量 n=input('请输入分子个数:'); %键盘输入分子个数 %n=1000; %不加箭杆时分子个数参考值 %n=50; %加箭杆时分子个数参考值 rand('state',0) %均匀分布随机数初始化 randn('state',0) %正态分布随机数初始化 xm=1.4e-6; %横坐标范围 ym=1e-6; %纵坐标范围 x0=xm*(2*rand(1,n)-1); %分子初始横坐标 y0=ym*(2*rand(1,n)-1); %分子初始纵坐标 figure %创建图形窗口 plot([-1,1,1,-1,-1]*xm,[-1,-1,1,1,-1]*ym,'LineWidth',3)%画器壁 axis equal off %使纵横坐标间隔相等 axis([-xm,xm,-ym,ym]) %设置坐标范围 title('气体分子与器壁的碰撞(不考虑分子间的碰撞)','FontSize',16)%标题 text(xm,ym,['\itN\rm=',num2str(n)],'FontSize',12)%显示粒子数 vx=randn(1,n); %分子x速度 vy=randn(1,n); %分子y速度 hold on %保持图像 for i=1:n %按分子循环 h(i)=plot(x0(i),y0(i),'.','MarkerSize',15,'Color',rand(1,3));%画点并取句柄 % hh(i)=quiver(x0(i),y0(i),vx(i),vy(i),1e-7);%画分子的箭杆取句柄 end %结束循环 hh=quiver(x0,y0,vx,vy); %画所有分子的箭杆取句柄 h1=quiver(x0(1),y0(1),vx(1),vy(1),1e-6);%画第一个分子的箭杆取句柄 dt=1e-7; %时间间隔 pause %暂停 set(hh,'UData',zeros(1,n),'VData',zeros(1,n))%去箭杆 %while 1 %无限循环 % if get(gcf,'CurrentCharacter')==char(27) break,end%按ESC键结束 while get(gcf,'CurrentCharacter')~=char(27)%不按ESC键循环 for i=1:n %按分子循环 xx=x0(i); %取横坐标 yy=y0(i); %取纵坐标 dx=vx(i)*dt; %取横位移 dy=vy(i)*dt; %取纵位移 if xx+dx>xm %如果超过右边界 y=yy+dy/dx*(xm-xx); %计算与右壁碰撞的纵坐标 set(h(i),'XData',xm,'YData',y)%设置点的坐标 x0(i)=xm; %右壁横坐标 y0(i)=y; %右壁纵坐标 dx=-(dx-(xm-xx)); %反弹横位移 dy=dy-(y-yy); %反弹纵位移 vx(i)=-vx(i); %速度反向 end %结束条件 if xx+dx<-xm %如果超过左边界 y=yy+dy/dx*(-xm-xx); %计算与左壁碰撞的纵坐标 set(h(i),'XData',-xm,'YData',y)%设置点的坐标 x0(i)=-xm; %左壁横坐标 y0(i)=y; %左壁纵坐标 dx=-(dx-(-xm-xx)); %反弹横位移 dy=dy-(y-yy); %反弹纵位移 vx(i)=-vx(i); %速度反向 end %结束条件 if yy+dy>ym %如果超过上边界 x=xx+dx/dy*(ym-yy); %计算与上壁碰撞的横坐标 set(h(i),'XData',x,'YData',ym)%设置点的坐标 x0(i)=x; %上壁横坐标 y0(i)=ym; %上壁纵坐标 dx=dx-(x-xx); %反弹横位移 dy=-(dy-(ym-yy)); %反弹纵位移 vy(i)=-vy(i); %速度反向 end %结束条件 if yy+dy<-ym %如果超过下边界 x=xx+dx/dy*(-ym-yy); %计算与下壁碰撞的横坐标 set(h(i),'XData',x,'YData',-ym)%设置点的坐标 x0(i)=x; %下壁横坐标 y0(i)=-ym; %下壁纵坐标 dx=dx-(x-xx); %反弹横位移 dy=-(dy-(-ym-yy)); %反弹纵位移 vy(i)=-vy(i); %速度反向 end %结束条件 x0(i)=x0(i)+dx; %新的起点横坐标 y0(i)=y0(i)+dy; %新的起点纵坐标 set(h(i),'XData',x0(i),'YData',y0(i))%设置点的坐标 % set(hh(i),'XData',x0(i),'YData',y0(i),'UData',vx(i),'VData',vy(i))%设置箭杆 end %结束循环 set(h1,'XData',x0(1),'YData',y0(1),'UData',vx(1),'VData',vy(1))%设置第一个分子的箭杆 drawnow %刷新屏幕 end %结束循环 quiver(x0,y0,vx,vy); %画所有分子的箭杆
说明
(1)程序执行时从键盘输入分子个数,例如1000。
(2)将正态分布随机数和均匀分布随机数初始化之后,可重复相同的运动,否则可演示不同的运动。
(3)分子的坐标是随机选取的。
(4)分子的速度也是随机选取的。
(5)用随机点表示分子,分子的颜色也是随机选取的。
(6)用箭杆表示分子速度的方向。
(7)第一个分子的箭杆单独画出来。如果要演示所有分子运动的方向,句柄要取在循环中,此句改为
hh(i)=quiver(x0(i),y0(i),vx(i),vy(i),le – 6);
(8)在显示分子初始状态后,按回车键就演示分子的运动。
(9)将分子箭杆的长度设置为零就消除了箭杆。
(10)设置分子的坐标就演示分子的运动。
(11)设置第一个分子的箭杆,可指示第一个分子的运动方向。如果要显示所有分子的速度方向,此句要放在循环中
set(hh(i),'Xdata’,x0(i),'YData', y0(i),'UData',vx(i),’VData',vy(i))
但是,如果分子数很多,分子运动就显得太慢。
(12)用简单的方法画第一个分子的轨迹,轨迹在分子与墙碰撞前有一点断裂。
(13)最后用箭杆表示分子运动的方向。
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