2.5 矩阵行列式

矩阵行列式(http://zh.wikipedia.org/wiki/行列式)是一个特殊的函数，它可以将一个正方矩阵映射为一个实数，正方矩阵A的行列式通常用符号detA表示。行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。此外，当线性方程组对应的行列式不为零时，由克莱姆法则(http://zh.wikipedia.org/wiki/克萊姆法則)，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。但是，我们使用行列式的主要目的是为了用它得到逆矩阵（2.7节的主题）。此外，还可以证明：当且仅当正方矩阵A的行列式detA≠0时，它才是可逆的。这个结论非常有用，因为它提供了一个判断矩阵是否可逆的计算工具。在对行列式下定义之前，我们首先介绍余子式的概念。

2.5.1余子式

给定一个n×n矩阵A，余子式${\overline{\mathbf{A}}}_{ij}$是指删除了第i行和第j列后的(n − 1)×(n − 1)矩阵。

例2.8

找到下列矩阵的余子式${\overline{\mathbf{A}}}_{11}$、${\overline{\mathbf{A}}}_{22}$和${\overline{\mathbf{A}}}_{13}$：

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]$$

删除第1行和第1列可得：

$${\overline{\mathbf{A}}}_{11}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{22}& A_{23}\\ A_{32}& A_{33}\end{array}\right]$$

删除第2行和第2列可得：

$${\overline{\mathbf{A}}}_{22}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{13}\\ A_{31}& A_{33}\end{array}\right]$$

删除第1行和第3列可得：

$${\overline{\mathbf{A}}}_{13}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{21}& A_{22}\\ A_{31}& A_{32}\end{array}\right]$$

2.5.2 定义

行列式是递归定义的；例如，4×4矩阵的行列式是以3×3矩阵的形式定义的，3×3矩阵的定义式是以2×2矩阵的形式定义的，2×2矩阵的定义式是以1×1矩阵的形式定义的（1×1矩阵A=[A₁₁]可简单地表示为det[A₁₁] = A₁₁）。若A为一个n×n矩阵，在n＞1时我们可以定义：

$det\mathbf{A}=\sum _{j=1}^n{A}_{1j}{(-1)}^{1+j}det{\overline{\mathbf{A}}}_{1j}$（公式2.4）

回忆一下2×2矩阵的余子式${\overline{\mathbf{A}}}_{ij}$的定义，可以得到以下式子：

$$det\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]=A_{11}det\left[A_{22}\right]-A_{12}det\left[A_{21}\right]=A_{11}{A}_{22}-A_{12}{A}_{21}$$

若是3×3矩阵，则公式如下：

$$det\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]=A_{11}det\left[\begin{array}{cc}{A}_{22}& A_{23}\\ A_{32}& A_{33}\end{array}\right]-A_{12}det\left[\begin{array}{cc}{A}_{21}& A_{23}\\ A_{31}& A_{33}\end{array}\right]+A_{13}det\left[\begin{array}{cc}{A}_{21}& A_{22}\\ A_{31}& A_{32}\end{array}\right]$$

 换成4×4矩阵，公式变为：

$$\begin{array}{l}det\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}& A_{14}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}& A_{24}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}& A_{34}\\ A_{41}& A_{42}& A_{43}& A_{44}\end{array}\right]\\ =A_{11}det\left[\begin{array}{ccc}{A}_{22}& A_{23}& A_{24}\\ A_{31}& A_{33}& A_{34}\\ A_{42}& A_{43}& A_{44}\end{array}\right]-A_{12}det\left[\begin{array}{ccc}{A}_{21}& A_{23}& A_{24}\\ A_{31}& A_{33}& A_{34}\\ A_{41}& A_{43}& A_{44}\end{array}\right]\\ +A_{13}det\left[\begin{array}{ccc}{A}_{21}& A_{22}& A_{24}\\ A_{31}& A_{32}& A_{34}\\ A_{41}& A_{42}& A_{44}\end{array}\right]-A_{14}det\left[\begin{array}{ccc}{A}_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\\ A_{41}& A_{42}& A_{43}\end{array}\right]\end{array}$$

在3D图形中，我们主要使用4×4矩阵，所以就不再讨论n＞4时的公式了。

例2.9

求下面矩阵的行列式：

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}2& -5& 3\\ 1& 3& 4\\ -2& 3& 7\end{array}\right]$$

我们可以得到：

$$\begin{array}{l}det\mathbf{A}=A_{11}det\left[\begin{array}{cc}{A}_{22}& A_{23}\\ A_{32}& A_{33}\end{array}\right]-A_{12}det\left[\begin{array}{cc}{A}_{21}& A_{23}\\ A_{31}& A_{33}\end{array}\right]+A_{13}det\left[\begin{array}{cc}{A}_{21}& A_{22}\\ A_{31}& A_{32}\end{array}\right]\\ det\mathbf{A}=2det\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 3& 7\end{array}\right]-(-5)det\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 7\end{array}\right]+3det\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ -2& 3\end{array}\right]\\ =2(3\cdot 7-4\cdot 3)+5(1\cdot 7-4\cdot (-2))+3(1\cdot 3-3\cdot (-2))\\ =18+75+27\\ =120\end{array}$$

发布时间：2014/9/21 下午7:06:35  阅读次数：4830