20.2 粒子的运动

我们希望粒子按照自然逼真的方式运动。为简单起见，在本书中，我们将粒子的净加速度（net acceleration）限定为一个常量；例如，由重力产生的加速度。（我们也可以为由其他作用力产生的加速度指定大概的近似值，比如风力。）另外，我们的粒子不做任何碰撞检测。

设p(t)为一个粒子沿着一条曲线运动（到时间t时）的位置。当时间等于t时，粒子的瞬时速度（instantaneous velocity）为：

\[{\bf{v}}(t) = {\bf{p'}}(t)\]

当时间等于t时，粒子的瞬时加速度（instantaneous acceleration）为：

\[{\bf{a}}(t) = {\bf{v'}}(t) = {\bf{p''}}(t)\]

回顾以下微积分知识：

1．如果函数F(t)为函数f(t)的任意一个原函数（也可理解为不定积分），则F(t)的导数为f(t)；也就是Fʹ(t)=f(t)。

2．如果函数F(t)为函数f(t)的任意一个原函数，e为任意常量，则F(t)+e也为f(t)的一个原函数。而且，对于f(t)的每个原函数的形式都是F(t)+e。

3．我们使用积分符号表示f(t)的任意原函数，

\[\int {{\bf{f}}(t)} dt = {\bf{F}}(t) + c\]

由速度和加速度的定义可知，速度函数是加速度函数的积分，而位置函数是速度函数的积分。也就是：

\[\begin{array}{l}{\bf{p}}(t) = \int {{\bf{v}}(t)} dt\\{\bf{v}}(t) = \int {{\bf{a}}(t)} dt\end{array}\]

现在，假设加速度为常量（即，它不随时间而变化）。当时间t=0时，粒子的初始速度v(0)=v₀、粒子的初始位置p(0)=p₀。然后把常量加速度代入速度函数：

\[{\bf{v}}(t) = \int {{\bf{a}}(t)} dt = t{\bf{a}} + {\bf{c}}\]

我们用初始速度来求解常量：

\[{\bf{v}}(0) = 0 \cdot {\bf{a}} + {\bf{c}} = {{\bf{v}}_0}\]

则速度函数为：

\[{\bf{v}}(t) = t{\bf{a}} + {{\bf{v}}_0}\]

我们把它代入位置函数，求得：

\[{\bf{p}}(t) = \int {{\bf{v}}(t)} dt = \int {(t{\bf{a}} + {{\bf{v}}_0})} dt = \frac{1}{2}{t^2}{\bf{a}} + t{{\bf{v}}_0} + {\bf{k}}\]

我们用初始位置来求解常量：

\[{\bf{p}}(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot {\bf{a}} + 0 \cdot {{\bf{v}}_0} + {\bf{k}} = {\bf{k}} = {{\bf{p}}_0}\]

则位置函数为：

\[{\bf{p}}(t) = \frac{1}{2}{t^2}{\bf{a}} + t{{\bf{v}}_0} + {{\bf{p}}_0}\]

换言之，粒子的运动轨迹p(t)完全取决于它的初始位置、初始速度和加速度常量（其中，时间t≥0）。这不难理解，因为当我们知道粒子从哪个地方开始运动、有多快以及朝哪个方向运动，还有整个过程中的加速情况，我们就可以计算出粒子的运动轨迹。

让我们来看一个例子。假设，在坐标系原点上放置一门大炮，它的炮管与x轴成30°角（参见图20.2）。在该坐标系中，p₀=(0,0,0)（即，炮弹的初始位置位于原点），重力加速度常量a= (0,−9.8,0)m/s²（即，由重力产生的加速度为9.8 米/秒²）。另外，假设我们已经测出大炮在开火的一瞬间，炮弹的初始速度为50米/秒。那么，初始速度v₀=50(cos30°,sin30°,0)m/s≈(43.3,25.0,0)m/s。记住，速度（velocity）是由速率（speed）和方向（direction）组成的，我们要将速率乘以单位方向向量(cos30°,sin30°,0)，这样就得到了炮弹的运动轨迹：

如果我们把炮弹的运行轨迹绘制在xy平面上（z坐标始终为0），就可以得到如图20.2所示的曲线。这是我们预测出来的受重力影响的运动轨迹。

注意：你也可以不做上面那样的函数推导。如果你已经知道了粒子使用的轨迹函数p(t)，那么可以直接把它写入程序。例如，当你希望粒子按照一个椭圆轨迹运动时，可以直接以一个参数化的椭圆方程来作为p(t)。

发布时间：2014/8/28 下午6:58:43  阅读次数：3794