16.1 屏幕到投影窗口的变换

在本章中，我们要讨论如何对用户使用鼠标拾取的3D物体或图元进行测定（参见图16.1）。换言之，当给定鼠标的2D屏幕坐标时，我们是否能够推断出位于该投影点上的3D物体？从某种意义上说，我们要解决这一问题就必须做一些与之前相反的工作；也就是说，我们通常都是从3D空间变换到屏幕空间，而这里我们要从屏幕空间变换回3D空间。当然，我们还必须解决另外一个小问题：不存在一个与2D屏幕点唯一对应的3D点（即，可以有任意多个3D点投影在同一个2D点上——参见图16.2）。所以，在测定实际拾取的物体时存在一些不确定性。不过，这不是什么大问题，因为通常与摄像机距离最近的物体就是我们实际拾取的物体。

考虑图16.3所示的视域体。这里，p是屏幕坐标s在投影窗口上的位置。现在，如果我们从观察点引出一条穿过点p的拾取射线，那该射线将会与所有投影到点p上的物体相交，在本例中与射线相交的是圆柱体。所以，我们的实现思路是：只要我们计算出一条拾取射线，就可以遍历场景中的每个物体，测试物体是否与该射线相交。与射线相交的物体就是被用户选中的物体。前面提到，射线可能会与场景中的多个物体相交（当然，也有可能不会与任何物体相交）。如果我们沿着射线的路径观察物体，那么就会发现它们具有不同的深度值。既然这样，我们就可以将与摄像机距离最近的相交物体作为最终的拾取物体。

注意，投影点p是屏幕坐标s在投影窗口上的位置。学习目标学习如何实现拾取算法，理解拾取算法的工作原理。我们将拾取算法分解为如下4个步骤：

1．给定屏幕坐标s，求出它在投影窗口上的对应点p。

2．在观察空间中计算拾取射线。该射线从观察空间的原点射出，并穿过点p。

3．把拾取射线和模型变换到同一个空间，测试模型是否与拾取射线相交。

4．确定与射线相交的物体。（与摄像机距离）最近的物体就是用户拾取的屏幕物体。

第一步是把单击的屏幕坐标变换为规范化设备坐标（参见5.6.3.3节）。回顾前文，视口矩阵（viewport matrix）可以把顶点从NDC空间变换到屏幕空间：

$$\mathbf{M}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{Width}{2}& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{Height}{2}& 0& 0\\ 0& 0& MaxDepth-MinDepth& 0\\ TopLeftX+\frac{Width}{2}& TopLeftY+\frac{Height}{2}& MinDepth& 1\end{array}\right]$$

视口矩阵中的这些变量由D3D11_VIEWPORT结构体指定：

typedef struct D3D11_VIEWPORT { 
    FLOAT TopLeftX; 
    FLOAT TopLeftY; 
    FLOA Width; 
    FLOA Height; 
    FLOAT MinDepth; 
    FLOAT MaxDepth; 
} D3D11_VIEWPORT;

对于游戏来说，视口通常是整个后台缓冲区，深度缓冲区的取值范围是[0,1]。所以，该结构体的成员应分别设置为：TopLeftX = 0、TopLeftY = 0、MinDepth = 0，MaxDepth = 1，Width = w，Height = ℎ，其中w和ℎ是后台缓冲区的宽度和高度。此时的视口矩阵可简化为：

$$\mathbf{M}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{w}{2}& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{h}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ \frac{w}{2}& \frac{h}{2}& 0& 1\end{array}\right]$$

现在，设p_ndc = (x_ndc,y_ndc,z_ndc,1)是NDC空间中的一个点（即，−1≤x_ndc≤1、−1≤y_ndc≤1、0≤z_ndc≤1）。将p_ndc变换到屏幕空间后的结果为：

$$\left[x_{ndc},y_{ndc},z_{ndc},1\right]\left[\begin{array}{cccc}\frac{w}{2}& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{h}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ \frac{w}{2}& \frac{h}{2}& 0& 1\end{array}\right]=\left[\frac{x_{ndc}w+w}{2},\frac{-y_{ndc}h+h}{2},z_{ndc},1\right]$$

坐标z_ndc只由深度缓冲区使用。在拾取中，我们不需要考虑任何深度坐标。2D屏幕坐标p_s = (x_s,y_s)仅与p_ndc变换后的x、y坐标有对应关系：

$$\begin{array}{l}{x}_s=\frac{x_{ndc}w+w}{2}\\ y_s=\frac{-y_{ndc}h+h}{2}\end{array}$$

上述方程说明，只要给定规范化设备坐标p_ndc和视口大小，我们就可以得到屏幕坐标p_s。不过，在拾取过程中我们最初得到的是屏幕坐标p_s和视口大小，想要求出的是p_ndc。所以，由上述方程解得：

$$\begin{array}{l}{x}_{ndc}=\frac{2x_s}{w}-1\\ y_{ndc}=-\frac{2y_s}{h}+1\end{array}$$

我们现在有了NDC空间中的屏幕坐标。不过，在计算拾取射线时，我们实际想要的是观察空间中的屏幕坐标。回顾5.6.3.3节，我们通过将x坐标除以横纵比r，使投影点从观察空间变换到NDC空间：

$$\begin{array}{l}-r\le x^{\prime }\le r\\ -1\le \frac{x^{\prime }}{r}\ge 1\end{array}$$

那么，要回到观察空间，我们只需要将NDC空间中的x坐标乘以横纵比r。现在，观察空间中的屏幕坐标为：

$$\begin{array}{l}{x}_v=r\left(\frac{2x_s}{w}-1\right)\\ y_v=-\frac{2y_s}{h}+1\end{array}$$

注意：观察空间和NDC空间中的y坐标相同。这是因为我们把观察空间中的投影窗口高度限定在了[−1,1] 区间内。现在回顾5.6.3.1节，投影窗口与原点的距离为d = cot（α/2） ，其中α为垂直视域角。这样我们可以引出一条穿过投影窗口上的点(x_v,y_v,d)的拾取射线。不过，这需要我们计算d = cot（α/2） 。图16.4给出了一种更简单的方法：

$$\begin{array}{l}{x_v}^{\mathrm{\prime }}=\frac{x_v}{d}=\frac{x_v}{\cos \frac{\alpha }{2}}=x_v\tan \frac{\alpha }{2}=\left(\frac{2x_s}{w}-1\right)r\tan \frac{\alpha }{2}\\ {y_v}^{\mathrm{\prime }}=\frac{y_v}{d}=\frac{y_v}{\cos \frac{\alpha }{2}}=y_v\tan \frac{\alpha }{2}=\left(-\frac{2y_s}{h}+1\right)\tan \frac{\alpha }{2}\end{array}$$

回忆一下，在投影矩阵中${\mathbf{P}}_{00}=\frac{1}{r\tan \frac{\alpha }{2}}$和${\mathbf{P}}_{11}=\frac{1}{\tan \frac{\alpha }{2}}$。我们可以将上述方程改写为：

$$\begin{array}{l}{x_v}^{\mathrm{\prime }}=\left(\frac{2x_s}{w}-1\right)/\mathbf{P}{}_{00}\\ {y_v}^{\mathrm{\prime }}=\left(-\frac{2y_s}{h}+1\right)/{\mathbf{P}}_{11}\end{array}$$

这样，我们可以引出一条穿过点(x_vʹ , y_vʹ ,1)的拾取射线，它与穿过点(x_v , y_v ,d)的拾取射线是同一条射线。下面给出了在观察空间中计算拾取射线的代码：

void PickingApp::pick(int sx, int sy) 
{
    XMMATRIX P = mCam.Proj();

    // 在视空间中计算拾取射线
    float vx = (+2.0f*sx/mClientWidth - 1.0f)/P(0,0); 
    float vy = (-2.0f*sy/mClientHeight + 1.0f)/P(1,1); 
    // 视空间中的射线定义
    XMVECTOR rayOrigin = XMVectorSet(0.0f, 0.0f, 0.0f，1.0f);
    XMVECTOR rayDir = XMVectorSet (vx, vy, 1.0f，0.0f);

注意，该射线的起点是观察空间的原点，因为观察点位于观察空间的原点上。

发布时间：2014/8/16 下午8:27:42  阅读次数：4681