第六讲匀强电场中场强与电势差的关系参考资料

电势梯度

电场强度和电势都是描述电场中各点性质的物理量，可以用积分形式表示场强与电势之间的关系，即电势等于电场强度的线积分，反过来，场强与电势的关系也应该可以用微分形式表示出来，即场强等于电势的导数，但由于场强是一个矢量；这后一导数关系显得复杂一些，下面我们来导出场强与电势的关系的微分形式。

在电场中考虑沿任意的r方向相距很近的两点P₁和P₂（图1），从P₁到P₂的微小位移矢量为dr根据定义，这两点间的电势差为

φ₁－φ₂＝E•dr

由于φ₂＝φ₁＋dφ，其中dφ为φ沿r方向的增量，所以

φ₁－φ₂＝－dφ＝E•dr＝Edrcosθ，

式中θ为E与r之间的夹角，由此式可得

Ecosθ＝E_r＝－ $\frac{d φ}{d r}$ ，（1）

式中 $\frac{d φ}{d r}$ 为电势函数沿r方向经过单位长度时的变化，即电势对空间的变化率。（1）式说明，在电场中某点场强沿某方向的分量等于电势沿此方向的空间变化率的负值。

由（1）式可看出，当θ＝0时，即r沿着E的方向时，变化率 $\frac{d φ}{d r}$ 有最大值，这时

$E = - \frac{d φ}{d r} |_{max}$ 。（2）

过电场中任意一点，沿不同方向其电势随距离的变化率一般是不等的，沿某一方向其电势随距离的变化率最大，此最大值称为该点的电势梯度，电势梯度是一个矢量，它的方向是该点附近电势升高最快的方向。

（2）式说明，电场中任意点的场强等于该点电势梯度的负值，负号表示该点场强方向和电势梯度方向相反，即场强指向电势降低的方向。

当电势函数用直角坐标表示，即φ＝φ（x，y，z）时，由（1）式可求得电场强度沿3个坐标轴方向的分量，它们是

$E_{x} = - \frac{\partial φ}{\partial x}, E_{y} = - \frac{\partial φ}{\partial y}, E_{z} = - \frac{\partial φ}{\partial z}$ 。（3）

将上式合在一起用矢量表示为

$E = - (\frac{\partial φ}{\partial x} i + \frac{\partial φ}{\partial y} j + \frac{\partial φ}{\partial z} k)$ 。（4）

这就是（2）式用直角坐标表示的形式。梯度常用grad或▽算符表示，这样（2）式又常写作

$E = - g r a d φ = - \nabla φ$ （5）

上式就是电场强度与电势的微分关系，由它可方便地根据电势分布求出场强分布。

需要指出的是，场强与电势的关系的微分形式说明，电场中某点的场强决定于电势在该点的空间变化率，而与该点电势值本身无直接关系。电势梯度的单位名称是伏每米，符号为V/m。根据（2）式，场强的单位也可用V/m表示，它与场强的另一单位N/C是等价的。

【摘自清华大学出版社出版清华大学教材《大学物理学》第三册《电磁学》第二版（张三慧主编）】

发布时间：2013/12/13 上午11:13:49 阅读次数：2411