第一讲 运动的合成与分解 抛体运动参考资料

1．运动合成或小船渡河的演示实验

在一根一端封闭、长约1m的玻璃管内注满清水，水中放入一小块红蜡做的小圆柱体R，然后将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，如图1（a）所示，将这根玻璃管倒置，如图1（b）所示，由于液体的粘滞阻力，蜡块R将徐徐上升，几乎沿着玻璃管做匀速运动，如果在蜡块上升的同时将玻璃管匀速向右移动，就看到蜡块沿斜上方向上升，如图1（c）所示，这时蜡块的运动是水平运动和竖直运动的合运动。

当玻璃管向右移动时，如果要使蜡块在玻璃管中的运动维持在竖直向上方向，则必须让玻璃管向左倾斜一定的角度，如图1（d）所示。

在这个演示实验中，蜡块可模拟为渡河的小船；随玻璃管移动的水可模拟为流动的河水。于是，蜡块沿玻璃管的运动速度可模拟为小船在静水中的速度；玻璃管的移动速度可模拟为河水的流速；我们所看到的蜡块的运动速度可模拟为流水中船的速度，它是小船在静水中的速度与河水流动的速度的合速度。

2．改进型平抛运动的演示实验装置

图2是一种改进型平抛运动演示装置。它由滑槽、电池、铁芯线圈、两个铁制小球以及导线等组成，用细铜丝做成活动开关，演示前，活动开关接通，小球A被铁芯线圈吸住。演示时，让小球B从滑槽上端滑下，冲出槽口，做平抛运动。与此同时，活动开关被经过的小球B撞开，铁芯线圈中的电流被切断，小球A下落，做自由落体运动。

如果在平抛运动演示装置的背面安装一块电网，并在电网上覆盖一层白纸，电网与可产生高达2kV的高压发生器相连，那么，当金属小球做平抛运动时，由于火花放电，在白纸上将会显示出该小球平抛运动的轨迹。

3．说明平抛和斜抛运动轨迹的教具

如图3所示，在长1m的直棍上取若干个等距离的点O，A，B，…，F，在A，B，…，F各点用细线分别悬挂小球，细线长度（由悬点到球心）按1²∶2²∶3²∶……∶6²截取。当直棍成水平时，这些小球显示出平抛运动的轨迹。如果将直棍倾斜如图4所示，则显示出斜抛运动的轨迹，并能借以说明斜抛运动也可以看成是初速度方向上的匀速直线运动和自由落体运动的合成。如果最后一根线的长度$l=\frac{OF}{\sqrt{2}}$，那么在直棍仰角为45°时，最后一个小球恰好在过O点的水平线Ox上，这时显示出最大的水平射程。若改变仰角，无论大于或小于45°，都可以由这些小球显示出的抛物线与水平线Ox的交点看到水平射程变小。

4．用喷射水流的实验演示平抛和斜抛运动的射程

用喷射水流的实验演示平抛和斜抛运动的射程时，水流初速不宜过大，以减小空气阻力的影响，将水平射程控制在0.5m左右即可。用自来水作水源，可通过调节龙头阀门而得到不同的水流初速度，然后保持阀门位置不变，就可使水流的初速恒定。如果用装水的桶做水源，为了在短时间内保持水流的初速不变，水桶的横截面要大。如图5所示的装置中，瓶的上口用塞子塞紧，穿入一根玻璃管A与外界相通，当瓶中的水面下降到玻璃管A的下端口之前，水中BBʹ平面的压强始终等于外界大气压强，从而当喷嘴C与平面BBʹ的高度差保持一定时，喷嘴C就以恒压喷出初速度恒定的水流。

用这个实验可以演示平抛运动和斜抛运动的轨迹；平抛运动的射程x与物体抛出时的高度h和初速度v₀的关系；斜抛运动的射程x与物体抛出时的角度θ和初速度v₀的关系等。此外，还可进行某些粗略的半定量估计，例如，从一定高度上做平抛运动的水流的射程估计出它的初速度；利用这估计的初速度检验斜抛运动时水流所能达到的最大高度和水平射程等。

5．关于抛射角θ＝45°是射程最大的问题

课本中导出了确定斜抛运动射程的公式：$x_m=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$，因此，在初速度大小不变的条件下，当θ＝45°时，斜抛物体的射程最大。

但是应当指出，这个结论只有当斜抛物体的抛出点与落地点是在同一水平面上时才成立，如图6中，AB为最大，这并非意味着OC为最大。现在的问题是要从下列两个基本公式导出使x为最大时确定θ的表达式。

x＝v₀cosθ•t， ①

y＝h＋v₀sinθ•t－$\frac{1}{2}$gt²。 ②

如果从上两式直接确定使x为最大时的θ值，需要求解三角学方程，比较困难，为此，我们先来确定使x为最大时的飞行时间t，然后再由t确定θ。

将小球落地时的条件y＝0代入②式，得

$\frac{1}{2}$gt²－h＝v₀sinθ•t， ③

将①、③式各自平方，然后相加，得

$\begin{array}{l}{x}^2=v_0^2{t}^2-{(\frac{1}{2}g{t}^2-h)}^2\\ =\frac{1}{4}{g}^2\left\{\frac{4}{g^2}{(v_0^2+gh)}^2-\frac{4h^2}{g^2}-{\left[t^2-\frac{2}{g^2}(v_0^2+gh)\right]}^2\right\}\end{array}$。

由上式可知，在h和v₀一定的条件下，当$t^2=\frac{2}{g^2}(v_0^2+gh)$，即

$t=\frac{\sqrt{2(v_0^2+gh)}}{g}$

时，x²有最大值，x也有最大值。

现在将上述t的结果代入③式，整理后便可得到在h和v₀一定的条件下，使射程为最大的抛射角θ的正弦为

$\sin \theta =\frac{v_0}{\sqrt{2(v_0^2+gh)}}$。

此结果表明，当h＝0时，sinθ＝$\frac{1}{\sqrt{2}}$，即θ＝45°；当h≠0时，sinθ＜$\frac{1}{\sqrt{2}}$，因此θ＜45°。

6．应用频闪仪拍摄平抛运动过程，显示平抛运动轨迹，研究平抛运动特点（上海市大同中学宋淑光）

（1）器材：频闪仪（25～30Hz，亮度较大的好些），平抛运动演示仪（即能使两个小球在相同高度上同时分别做平抛运动和自由落体运动的装置），黑布（画有白线方格，作为背景屏幕用）、有手动功能的数码相机（具有单反功能的相机效果更好）、照相机支架等。

（2）环境：只要在教室内用窗帘遮挡阳光，关闭前排灯光即可。

（3）相机快门、光圈的控制方法：光圈开到8左右，快门控制在0.8～1秒左右，即光圈优先。

（4）注意事项：拍摄时将手动快门调至闪动待拍摄状态，同时释放乎抛运动演示仪上的两个小球，一个小球做自由落体运动，另一个小球做平抛运动。为了操作方便，可用电磁铁和开关控制小球的释放。

（5）实验结果

将拍摄到的两个小球的平抛运动和自由落体运动照片插入Powerpoint，利用Powerpoint中的画图工具画出一条水平线，然后按下Ctrl键和上下方向移动键，可以看到做平抛运动的小球在竖直方向上的分运动与做自由落体运动的小球在每一时刻均处于同一水平位置，如图7所示。再利用Powerpoint中的画图工具画出两条竖直线，按下Ctrl键和左右移动方向键，可以看出做平抛运动的小球在水平方向上的分运动在相等的时间间隔内所通过的路程相等，如图8所示，从而证明是匀速运动。

7．用数码相机的连拍功能研究抛体运动的轨迹（摘自教师教育技术学习网）

数码相机大多具有摄像功能，每秒钟拍摄约15帧照片。可用它拍摄小球从水平桌面飞出后做平抛运动的几张连续照片。如果用数学课上画函数图象的方格黑板做背景，就可根据照片上小球的位置在方格纸上画出小球的轨迹，也可将拍摄的照片输入计算机，把多张图片合成一张，从而显示出小球做平抛运动的轨迹。

注意：如果小球从高度大约为1.5m处水平抛出，则小球从抛出到落地大约为0.5s，所以要选择连续曝光间隔小于0.1s的数码相机，以便能得到小球在空中时的4～5张照片。

（1）实验设计

①实验设计意图与目的

掌握数码相机动画拍摄功能；学习计算机Premier、Photoshop图像处理与Excel软件数据处理方法，观察抛体运动轨迹，研究其运动规律。

②仪器设备制作与配置

带有支架的数码相机1台；直径为2.33cm、一端弯成弧形的铜管1只，并将其装于高低适当的支架上；印制最小分格为1cm的75×120cm的网格背景布1张；直径为1.98cm的小黑球1个；功率为500W的新闻灯2只。

（2）抛体运动的拍摄与画面制作

①小球运动规律拍摄

为弥补实验室的亮度不足，合理放置2只新闻灯，以便使背景布表面有较强的均匀照度。调节弯曲铜管平面与背景布平面平行。

将数码相机设置为动画状态，设置数码相机每隔1/15s曝光一次，打开快门，同时将小球从铜管一端掉入，从另一端A抛出，从而得到如图9所示的小球在1～8位置处的8幅照片。

②不同像点画面的合成方法

在Premier软件包支持下，将数码相机拍摄的8幅图输入计算机。选择“菜单文件”——“素材输出”——“静帧”，以“抛射体1”为文件名保存于桌面。

打开Photoshop图像处理软件包，在此界面下，分别打开“抛体1～8”的所有文件。选择工具栏中的“矩形选择框工具”——选择“对象”（保存于桌面的各文件）——“图层复制”，然后将包“抛体2”文件部分复制、粘贴至“抛体1”图片上，并使其对应点重合，割去覆盖“抛体1”文件的小球像部分，使小球像点1裸露出来并组合，依次类推，可将图片1至8的小球像合成为一幅含有8个小球像的画面，如图9所示，从而得到抛体运动的轨迹。

此外，还可参考如下文章：俞俊雄“用数码相机、Movie Maker处理物理实验过程”，《物理教学》Vol. 30 No.4（2008）第25页。

发布时间：2013/11/13 下午1:42:32  阅读次数：2394