1．A，B，C三个刚性小球静止在光滑的水平面上。它们的质量皆为m，用不可伸长的长度皆为l的柔软轻线相连，AB的延长线与BC的夹角α＝π/3，如图所示。在此平面内取正交坐标系Oxy，原点O与B球所在处重合，x轴正方向和y轴正方向如图。另一质量也是m的刚性小球D位于y轴上，沿y轴负方向以速度v₀（如图）与B球发生弹性正碰，碰撞时间极短。设刚碰完后，连接A，B，C的连线都立即断了。求碰后经多少时间，D球距A，B，C三球组成的系统的质心最近。

【答案】

第24届全国决赛1

 

2．为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU（AU为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU＝1.495×10¹¹m），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）。试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u₀（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径R_e＝6.37×10⁶m，地面处的重力加速度g＝9.80m/s²，不考虑空气的阻力。

【答案】

第24届全国决赛2

 

3．如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H、内壁横截面积为S的绝热气缸内，有一质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、下两部分。活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动。缸内顶部与A之间串联着两个劲度系数分别为k₁和k₂（k₁≠k₂）的轻质弹簧。A的上方为真空；A的下方盛有一定质量的理想气体。已知系统处于平衡状态，A所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为h₁＝H/4。现给电炉丝R通电流对气体加热，使A从高度h₁开始上升，停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为h₂＝3H/4。求此过程中气体吸收的热量ΔQ。已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高1K吸收的热量为3R/2，R为普适气体恒量。在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律。

【答案】

第24届全国决赛3

 

4．为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式。在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端A挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B。绝缘子的结构如图乙所示：在半径为R₁的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R₂的半球形导体球壳。已知当导体球与导体球壳间的电压为U时，介质中离球心O的距离为r处的场强为E＝\(\frac{{{R_1}{R_2}}}{{{R_2} - {R_1}}}\frac{U}{{{r^2}}}\)，场强方向沿径向。

1．已知绝缘子导体球壳的内半径R₂＝4.6cm，陶瓷介质的击穿强度E_k＝135kV/cm。当介质中任一点的场强E＞E_k时，介质即被击穿，失去绝缘性能。为使绝缘子所能承受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R₁应取什么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？

2．一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有电容C₀。每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容C₁（导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容）；每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容C₂。若高压输电线对地电压的有效值为U₀。试画出该系统等效电路图。

3．若C₀＝70pF＝7×10^-11F，C₁＝5pF，C₂＝1pF，试计算该系统所能承受的最大电压（指有效值）。

【答案】

第24届全国决赛4

 

5．如图所示，G为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端O为原点，建立一直角坐标系Oxy，y轴与玻璃管的轴线重合。在x轴上与原点O的距离为d处固定放置一电荷量为Q的正点电荷A，一个电荷量为q（q＞0）的粒子P位于管内，可沿y轴无摩擦地运动。设两电荷之间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响。

1．求放在管内的带电粒子P的质量m满足什么条件时，可以在y＞0的区域内存在平衡位置。

2．上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量m。以y（m）表示质量为m的粒子P处于平衡位置时的y坐标。当粒子P处于稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_________________；当粒子P处于不稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_________________（请将填空答案写在答题纸上）。

3．已知质量为m₁的粒子P处于稳定平衡位置，其y坐标为y₁。现给P沿y轴一微小扰动。试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期。

4．已知质量为m₂的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为y₂，现设想把P放在坐标y₃处，然后从静止开始释放P。求释放后P能到达玻璃管底部的所有可能的y₃（只要列出y₃满足的关系式，不必求解）。

【答案】

第24届全国决赛5

 

6．如图所示，一半径为R、折射率为n_g的透明球体置于折射率n₀＝1的空气中，其球心位于图中光轴的O处，左、右球面与光轴的交点为O₁与O₂。球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反射器。光轴上O₁点左侧有一发光物点P，P点到球面顶点O₁的距离为s。由P点发出的光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射。

1．问发光物点P经此反射器，最后的像点位于何处？

2．当P点沿光轴以大小为v的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的速度运动？并说明当球体的折射率n_g取何值时像点亦做匀速运动。

【答案】

第24届全国决赛6

 

7．已知钠原子从激发态（记做P_3/2）跃迁到基态（记做S_1/2）所发出的光谱线波长λ₀＝588.9965nm。现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考虑相对论效应），被一束沿z轴负方向传播的波长为λ＝589.0080nm的激光照射。以θ表示钠原子运动方向与z轴正方向之间的夹角（如图所示）。问在30°＜θ＜45°角度区间内的钠原子中速率u在什么范围内能产生共振吸收，从S_1/2态激发到P_3/2态？并求共振吸收前后钠原子速度（矢量）变化的大小。已知钠原子质量为M＝3.79×10^-26kg，普朗克常量h＝6.626069×10^-34J·s，真空中的光速c＝2.997925×10⁸m/s。

【答案】

第24届全国决赛7