1．有一光导纤维，光芯折射率n＝1.500的透明度极好的介质，其截面半径为r；光芯外面包层的折射率nʹ＝1.400。有一半导体激光器S，位于光纤轴线的延长上，发出半角宽为30°的光束。为便于使此光束全部进入光纤，在光纤端面处烧结了一个其材料与光芯相同的、半径为R的球冠QAQʹ，端面附近的结构如图所示（包层未画出），S可看作点光源，光纤放在空气中，空气的折射率n₀按1.000计算。

1．若要半导体激光器发出的光能够全部射到球冠上，则光源S离A的距离x应满足什么条件？

2．如果R＝1.8r，光源S与A的距离为R，入射与轴的夹角用α表示，则α角分别为α₁＝30°、α₂＝25°和α₃＝20°的三根光线能否经过全反射在光纤中传播？

【答案】

第21届全国决赛1

 

2．试从相对论能量和动量的角度分析论证：

1．一个光子与真空中处于静止状态的自由电子碰碰撞时，光子的能量不可能完全被电子吸收。

2．光子射到金属表面时，其能量有可能完全被吸收被使电子逸出金属表面，产生光电效应。

【答案】

第21届全国决赛2

 

3．如图所示，一质量M＝30.0kg的楔形木块OABC静止在水平地面上，其斜面段AB的倾角β＝60°，BC段的倾角α＝45°，AB段与BC段连接处（B处）为一非常短的光滑圆弧，现将一质量的m＝4.00kg小物块（可视为质点），放在斜面上离地面高h₁＝2.80m的A处，然后放手，令小物块从静止开始斜面下滑。已知小物块与斜面之间无摩擦，木块与地面间的最大静摩擦系数和滑动摩擦系数为μ＝6.00×10^-2，B处离桌面的高度h₂＝2.00m，如果不计小物块经过处B时小物块及木块速度大小的改变，求小物块从斜面上A处滑动到斜面底部C处整个过程中小物块对木块所做的功（取重力加速度g＝10.0m/s²）

【答案】

第21届全国决赛3

 

4．由如图所示的电路，其中E为内阻可以忽略的电源的电动势，R为电阻的阻值；S为开关；A、B右边是如图所标的8个完全相同的容量均为C的理想电容器组成的电路。问从合上S到各电容器充电完毕，电阻R上发热消耗的能量是多少？（在解题时，要求在图上标出你所设定的各个电容器极板上电荷的正负）

【答案】

第21届全国决赛4

 

5．如图所示，K为一带电粒子发生器，从中可以不断地射出各种不同速率的带电粒子，它们都带正电，电量为q，质量为m，速度的方向都沿图中的虚线，D₁、D₂为两块档板，可定时开启和关闭。C₁、C₂为两扇“门”，C₁紧靠D₁，两门之间的距离为l，两个门上都加上交变电压u＝U₀sin(\(\frac{{2\pi }}{T}\)t)，T为交变电压的周期。已知只有当上电压的值为零附近的无限短的时间内，粒子才能通过该门。G为能量增减器，它紧靠档板D₂，到门C₂的距离为l/2。当带电粒子在t时刻通过G时，粒子获得一定的能量ΔE_t＝E₀sin(\(\frac{{2\pi }}{T}\)t＋\(\frac{\pi }{4}\))，但速度的方向不变，式中E₀＝\(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\)×m\(\frac{{{l^2}}}{{{T^2}}}\)。通过G的粒子从O点进入G右侧的匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直面向里（整个装置都放在真空中）。在磁场区建立以O作为原点的如图所示的直角坐标系Oxy，MN为磁场区域的边界，它平行于x轴。现在t＝0时刻，同时打开D₁与D₂，让粒子进入C₁，在t＝3T/4时刻，关闭档板D₁，使粒子无法进入C₁，在t＝10T/4时刻，再关闭档板D₂，使粒子无法进入G。已知从O进入磁场中速度最大的粒子经过坐标为（3cm，3cm）的Q点。问：假如要使从O进入磁场中速度最小的粒子能经过Q点，则应将磁场边界MN在平面内Oxy平移到什么位置。

【答案】

第21届全国决赛5

 

6．如图，a、b、c、d是位于光滑水平桌面上的四个小物块，它们的质量均为m。a、b间有一自然长度为l，劲度系数为k₁的弹簧联结；c、d之间有一自然长度为l，劲度系数为k₂的弹簧联结。四个物块的中心在同一直线上。如果b、c发生碰撞，碰撞是完全弹性的，且碰撞时间极短。开始时，两个弹簧都处在自然长度状态，物块c、d静止物块，a、b以相同的速度v₀向右运动，试定量论述 

（1）若k₁＝k₂，四个物块相对于桌面怎样运动？

（2）若k₁＝4k₂，四个物块相对于桌面怎样运动？

【答案】

第21届全国决赛6