1．用两个“爬犁”（雪撬）在水平雪地上运送一根质量为m、长为l的均匀横梁，横梁保持水平，简化示意图如图所示，每个爬犁的上端A与被运送的横梁端头固连，下端B与雪地接触，假设接触面积很小，一水平牵引力F作用于前爬犁，作用点到雪地的距离用h表示，已知前爬犁与雪地间的动摩擦系数为k₁，后爬犁与雪地间的动摩擦系数为k₂，问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移动，h应满足什么条件？水平牵引力F应多大？设爬犁的质量可忽略不计。

【答案】

h≤\(\frac{l}{{2{k_1}}}\)

F＝\(\frac{1}{2}\frac{{l({k_1} + {k_2})}}{{l - ({k_1} - {k_2})h}}\)mg

 

2．1摩尔的理想气体经历了一个在T-V图上标为1—2—3—1的循环过程，如图所示，其中，过程1—2的方程式为T＝2T₁（1－\(\frac{1}{2}\)βV）βV，过程2—3为经过原直线上的一段，过程3—1的方程式为T＝T₁β²V²，式中β是常量，状态1和2的热力学温度已知为T₁和\(\frac{3}{4}\)T₁，求该气体在此循环过程中对外所做的功。

【答案】

第15届全国决赛2

 

3．焦距f的数值均相同的三个薄透镜L₁、L₂与L₃，依次为凸透镜、凹透镜与凸透镜，它们构成一个共轴光学系统，相邻透镜间的距离均为d，各透镜的光心分别为O₁、O₂、O₃，如图所示，在透镜L₁左方，位于主光轴上的物点P，经过此光学系统最终成像于透镜L₃右方的Q点，若距离PO₂＝O₂Q，则物点P与透镜L₁的距离应为多少？

【答案】

第15届全国决赛3

 

4．一条在湖面上以恒定速度行驶的船上，有一与船固边的竖直光滑墙壁，有一个小球沿水平方向射到墙上，相对于岸，小球速度的大小为v₁，方向与墙的法线成60°角，小球自墙反弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直。问船的速度应满足什么条件？设小球与墙的碰撞是完全弹性的。

【答案】

第15届全国决赛4

 

5．如图所示，在半径为R的圆形平面内，分布有匀强磁场，磁场方向与圆面垂直且指向纸面外，圆面的周界是一刚性的固定的圆环，SD是圆环的一条直径。一束质量和电量都相等的带正电的粒子以不同的速度沿垂直于磁场的方向从S点射入磁场，速度方向与SD的夹角不超过30°，已知这种粒子在该磁场中做圆周运动时的周期为T，在D点，圆环上有一小孔，只要粒子到达D点，该粒子便从小孔穿出磁场区域。设粒子与圆环的碰撞都是完全弹性的，每次碰撞后，粒子的电量不变，不考虑粒子间的相互作用与相互碰撞以及重力的影响。求满足以下条件的那些粒子在射入磁场时的速度的大小和方向：在磁场内运动的总时间为T且与圆环的碰撞不超过6次，其中最后一次“碰撞”是指正好到达D点。

【答案】

第15届全国决赛5

 

6．两条质量均为m的相同的均匀细杆AB、BC在B端相连，杆AB的上端A与天花板上的固定点相连，杆BC的下端C与水平地面接触，A点和B点的连接都是光滑的，地面是粗糙的，A点到地面的距离为杆长的\(\sqrt 2 \)倍，整个系统可在竖直平面内自由运动，θ₁和θ₂分别为两杆与竖直线的夹角，如图所示。

1．试讨论在什么条件下，无论杆与地面间的动摩擦系数多么大，这两杆组成的系统都不可能达到平衡，要求用计算器通过数值计算法找出处于这种情况时θ₁的取值范围。

2．讨论该系统处在各种平衡位置的摩擦力f的大小（用θ₁和θ₂表示）和方向。

【答案】

第15届全国决赛6