1．某甲设计了一个如图所示的“自动喷泉”装置，其中A、B、C为三个容器，D、E、F为三根细管。管栓K是关闭的。A、B、C及细管D、E中均盛有水，容器水面的高度差分别为h₁和h₂，如图所示。A、B、C的截面半径为12cm，D的半径为0.2cm。甲向同伴乙说：“我若拧开管栓K，会有水从细管口喷出。”乙认为不可能。理由是：“低处的水自动走向高处，能量从哪儿来？”甲当即拧开K，果然见到有水喷出，乙哑口无言，但不明自己的错误所在。甲又进一步演示。在拧开管栓K前，先将喷管D的上端加长到足够长，然后拧开K，管中水面即上升，最后水面静止于某个高度处。

1．论证拧开K后水柱上升的原因。

2．当K管上端足够长时，求拧开K后D中静止水面与A中水面的高度差。

3．论证水柱上升所需能量的来源。

【答案】

第19届全国复赛1

 

2．在图中，半径为R的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直图面指向纸外。磁感应强度B随时间均匀变化，变化率\(\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\)＝k（k为一正值常量）。圆柱形区外空间中没有磁场，沿图中AC弦的方向画一直线，并向外延长，弦AC与半径OA的夹角α＝\(\frac{\pi }{4}\)。直线上有一任意点，设该点与A点的距离为x，求从A沿直线到该点的电动势的大小。

【答案】

第19届全国复赛2

 

3．如图所示，在水平光滑绝缘的桌面上，有三个带正电的质点1、2、3，位于边长为l的等边三角形的三个顶点处，C为三角形的中心。三个质点的质量皆为m，带电量皆为q。质点1、3之间和2、3之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连，在3的连接处为无摩擦的铰链，已知开始时三个质点的速度为零，在此后运动过程中，当质点3运动到C处时，其速度大小为多少？

【答案】

第19届全国复赛3

 

4．有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数。在图（a）中，E为电压可调的直流电源，K为开关，L为待测线圈的自感系数，r_L为线圈的直流电阻，D为理想二极管，r为用电阻丝做成的电阻器的电阻，A为电流表。将图（a）中a、b之间的电阻丝装进图复19-4（b）所示的试管1内。图（b）中其他装置见图下说明。其中注射器筒5和试管1组成的密闭容器内装有某种气体（可视为理想气体），通过活塞6的上下移动可调节毛细管8中有色液柱的初始位置，调节后将阀门10关闭，使两边气体隔开。毛细管8的内直径为d。

已知在压强不变的条件下，试管中每摩尔气体的温度升高1K时，需要吸收的热量为C_p，大气压强为p。设试管、三通管、注射器和毛细管皆为绝热的，电阻丝的热容不计。当接通开关K后，线圈L中将产生磁场，已知线圈中储存的磁场能量W＝\(\frac{1}{2}\)LI²，I为通过线圈的电流，其值可通过电流表A测量。现利用此装置及合理的步骤测量线圈的自感系数L。

1．简要写出此实验的步骤。

2．用题中所给出的各已知量（r、r_L、C_p、p、d等）及直接测得的量导出L的表达式。

【答案】

第19届全国复赛4

 

5．薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为n₁和n₂，则透镜两侧各有一焦点（设为F₁和F₂），但F₁、F₂和透镜中心的距离不相等，其值分别为f₁和f₂。现有一薄凸透镜L，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图所示。

1．试求出此时物距u，像距v，焦距f₁、f₂四者之间的关系式。

2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为θ₁，则与之相应的出射线与主轴的夹角θ₂多大？

3．f₁、f₂，n₁、n₂四者之间有何关系？

【答案】

第19届全国复赛5

 

6．在相对于实验室静止的平面直角坐标系S中，有一个光子，沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子。在y轴方向探测到一个散射光子。已知电子的静止质量为m₀，光速为c，入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的1/10。

1．试求电子运动速度的大小v；电子运动的方向与x轴的夹角θ；电子运动到离原点距离为L₀（作为已知量）的A点所经历的时间Δt。

2．在电子以1中的速度v开始运动时，一观察者S′相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动（即S′相对于电子静止），试求S′测出的OA的长度。

【答案】

第19届全国复赛6

 

7．一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计）。细杆与A在同一竖直平面内。开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图复（a）所示。已知：绳长为l，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大张力为T_d，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断。求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）。

注：质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度a_n，可以证明，a_n＝\(\frac{{{v^2}}}{R}\)，v为质点在该点时速度的大小，R为轨道曲线在该点的“曲率半径”。所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看作是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径。如图（b）中曲线在A点的曲率半径为R_A，在B点的曲率半径为R_B。

【答案】

第19届全国复赛7