1．设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为ρ；物块边长为b，密度为ρ'，且ρ'＜ρ。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。

 

【答案】

第29届全国复赛1

 

2．设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度R（从地心算起）延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。

1．设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80R处意外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。

（1）论证卫星脱落后不会撞击地面。

（2）如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起，在0~12小时及12~24小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。

2．如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为R_x处有一卫星从电梯脱落（脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零），脱落后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星着地点的经度。提示：此问要用数值方法求解高次方程。

已知：地球质量M＝6.0×10²⁴kg，半径R_e＝6.4×10⁶m的球体；引力恒量G＝6.7×10^-11N·m²·kg^-2；地球自转周期T_e＝24小时；假设卫星与太空电梯脱落后只受地球引力作用。

【答案】

第29届全国复赛2

 

3．如图所示，两根刚性轻杆AB和BC在B段牢固粘接在一起，AB延长线与BC的夹角α为锐角，杆BC长为l，杆AB长为lcosα。在杆的A、B和C三点各固连一质量均为m的小球，构成一刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板，杆AB延长线与挡板垂直。现使该系统以大小为v₀、方向沿AB的速度向挡板平动。在某时刻，小球C与挡板碰撞，碰撞结束时球C在垂直于挡板方向的分速度为零，且球C与挡板不粘连。若使球C碰撞后，球B先于球A与挡板相碰，求夹角α应满足的条件。

 

【答案】

第29届全国复赛3

 

4．如图所示，虚线小方框是由2n个电容器联成的有限网络；虚线大方框是并联的两个相同的无限网络，此无限网络的结构是：从左到中间，每个电容器的右极板与两个电容器的左极板相连，直至无穷；从中间到右，每两个电容器的右极板与一个电容器的左极板相连，直至联接到一个电容器为止。网络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电容器，其极板面积为S，极板间距为d（d≪\(\sqrt S \)）。整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电池连接，电池电动势恒定、大小为ε。忽略电容器的边缘效应，静电力常量k已知。

1．若将虚线小方框中标有a的电容器的右极板缓慢地向右拉动，使其两极板的距离变为2d，求在拉动极板过程中电池所做的功和外力所做的功。

2．在电容器两极板的距离变为2d后，再将一块与电容器a的极板形状相同、面积也为S、带电荷量为Q（Q＞0）的金属薄板沿平行于a的极板方向全部插入到电容器a中，使金属薄板距电容器a左极板的距离为x。求此时电容器a的左极板所带的电荷量。

【答案】

第29届全国复赛4

 

5．如图所示，两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆环固定在水平的桌面上。大圆环半径为R₁，小圆环表面绝缘半径为R₂（R₂≪R₁），两圆环导线每单位长度电阻均为r₀，它们处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下，一每单位长度电阻为r₁的长直金属细杆放在大圆环平面上，并从距圆环中心左侧为R₁/100（＞R₂）的ab位置，以速度v匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中心与ab对称的位置cd，滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。试求在上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。

提示：当半径为R，长度为l的一段圆弧导线通有电流I时，圆弧电流在圆心处产生的磁感应强度大小为B＝k_m\(\frac{{Il}}{{{R^2}}}\)，方向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的方向满足右手螺旋法则；无限长直导线通有电流I时，电流在距直导线距离为r处产生的磁感应强度B的大小为B＝k_m\(\frac{{2I}}{r}\)，其中k_m为已知常量。

【答案】

第29届全国复赛5

 

6．如图所示，刚性绝热容器A和B水平放置，一根带有绝热阀门和多孔塞的绝热刚性细短管把容器A、B相互连通。初始时阀门是关闭的，A内装有某种理想气体，温度为T₁；B内为真空。现将阀门打开，气体缓慢通过多孔塞后进入容器B中。当容器A中气体的压强降到与初始时A中气体压强之比为α时，重新关闭阀门。设最后留在容器A内的那部分气体与进入容器B中的气体之间始终无热量交换，求容器B中气体质量与气体总质量之比。已知：1摩尔理想气体的内能为u＝CT，其中C是已知常量，T为绝对温度；一定质量的理想气体经历缓慢的绝热过程时，其压强p与体积V满足过程方程\(p{V^{\frac{{C + R}}{C}}}\)＝常量，其中R为普适气体常量。重力影响和连接管体积均忽略不计。

【答案】

第29届全国复赛6

 

7．图中L₁为一薄凸透镜，Q为高等于2.00cm与光轴垂直放置的线状物，已知Q经L₁成一实像，像距为40.0cm。现于L₁的右方依次放置薄凹透镜L₂、L₃和薄凸透镜L₄以及屏P，它们之间的距离如图所示，所有的透镜都共轴，屏与光轴垂直，L₂、L₃焦距的大小均为15.0cm。已知物Q经上述四个透镜最后在屏上成倒立的实像，像高为0.500cm。

 

1．L₁焦距的大小为_____cm，L₄焦距的大小为_______cm。

2．现保持Q、L₁、L₃和P位置不变，而沿光轴平移L₂、L₃，最后在屏上成倒立的实像，像高为1.82cm，此时L₂和L₁的距离为______cm，L₃和L₄的距离为_______cm。

最后保留结果至小数点后一位。

【答案】

1．19.2，10.2

2．20.3，4.2

 

8．如图所示，竖直固定平行放置的两条相同长直导线1和2相距为a（a≪长直导线的长度），两导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流，电流方向向上。导线中正离子都是静止的，每单位长度导线中正离子的电荷量为λ；形成电流的导电电子以速度v₀沿导线向下匀速运动，每单位长度导线中导电电子的电荷量为－λ。已知：单位长度电荷量为η的无限长均匀带电直导线在距其距离为r处产生的电场的强度大小为E＝k_e\(\frac{{2\eta }}{r}\)，其中k_e是常量；当无限长直导线通有稳恒电流I时，电流在距导线距离为r处产生磁场的磁感应强度大小为B＝k_m\(\frac{{2I}}{r}\)，其中k_m是常量。试利用狭义相对论中的长度收缩公式求常量k_e和k_m的比值。

提示：忽略重力；正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关；真空中的光速为c。

【答案】

第29届全国复赛8