1．一根轻杆两端通过两根轻质弹簧A和B悬挂在天花板下，一物块D通过轻质弹簧C连在轻杆上；A、B和C的劲度系数分别为k₁、k₂和k₃，D的质量为m，C与轻杆的连接点到A和B的水平距离分别为a和b；整个系统的平衡时，轻杆接近水平，如图所示。假设物块D在竖直方向做微小振动，A、B始终可视为竖直，忽路空气阻力。

（1）求系统处于平衡位置时各弹簧相对于各自原长的伸长；

（2）球物块D上下微小振动的固有频率；

（3）当a和b满足什么条件对，物块D的固有频率最大？并求出该圈有频率的最大值。

【答案】

第32届全国决赛1

 

2．如图，轨道型电磁发射嚣是由两条平行固定长直刚性金属导轨、高功率电源、接触导电性能良好的电枢和发射体等构成。电流从电流源输出，经过导轨、电枢和另一条导轨构成闭合回路，在空间中激发磁场。载流电枢在安培力作用下加速，推动发射体前进。已知电枢质量为m_s，发射体质量为m_a；导轨单位长度的电阻为R_rʹ，导轨每增加单位长度整个回路的电感的增加量为L_rʹ；电枢引入的电阻为R_s、电感为L_s：回路连线引入的电阻为R₀、电感为L₀。导轨与电电枢间摩擦以及空气阻力可忽略。

（1）试画出轨道型电磁发射器的等效电路图，并给出回路方程；

（2）求发射体在导轨中运动加速度的大小与回路电流的关系：

（3）设回路电流为恒流I（平顶脉冲龟流）、电枢和发射体的总质量为m_s＋m_a＝0.50kg、导轨长度为x_m＝500m、导轨上单位长度电感增加L_rʹ＝10μH/m，若发射体开始时静止，出口速度v_sm＝3.0×10³m/s，求回路电流I和加速时间τ。

【答案】

第32届全国决赛2

 

3．俄国火箭专家齐奥尔科夫斯基将火箭发射过程进行模型简化，得出了最早的理想火箭方程，为近代火箭、导弹工程提供了理论依据。该简化模型为：待发射火箭静止于惯性参考系S中某点，忽略火箭所受的地球引力等外力的作用，火箭（包含燃料）的初始静止质量为M_i；在t＝0时刻点火，火箭向左排出气体，气体相对于火箭的速度恒为V_S，使火箭向右发射；在S系中观测，火箭的速度为V₁，排出气体的速度为V₂，如图所示。根据此模型，火箭运行一段时间后，当其静止质量由M_i变为M时，

（1）用牛顿力学推导火箭所获得的速度V₁与质量比M/M_i之间的关系：

（2）用狭义相对论力学接导火箭所获褥的速度V₁与质量比M/M_i之间的关系；

（3）当V₁远小于真空中的光速c时，计算以上两种结果之差，保留至（\(\frac{{{V_1}}}{c}\)）²项。

【答案】

第32届全国决赛3

 

4．光在物体表面反射或者被吸收时，光子将其动量传给物体，使光具有对物体的辐射压力（光压）。利用光压，可实现对某些微小粒子的精确操控（光镊）。设在|y|≥L的区域有一匀强激光场，沿z轴负方向入射，其强度（单位时间内通过单位横截面积的光能）为I。在y∈（－L，L）之间没有光场，其横截面如图所示．一密度为ρ的三棱柱形小物体（其横截面是底边长为2L、底角为θ的等腰三角形）被置于光滑的水平面xy上，其朝上的A和B两面均涂有特殊反射层，能完全反射入射光．小物体初始时静止，位置如图。

（1）假定光子的反射角等于入射角，且反射前后光子的频率不变。试求：

（a）小物体在受到激光场照射后的动力学方程；

（b）小物体从初始位置向y轴负方向移动\(\frac{3}{2}\)L的距离所需的时间。

（2）实际上，由于小物体的运动，反射光子频率会有微小的变化；在小物体从初始位置向y轴负方向移动到距离为\(\frac{3}{2}\)L的过程中，定性比较反射光子与入射光子频率的大小及其随时间的变化。

【答案】

第32届全国决赛4

 

5．如图，一个上端固定、内半径为R₁的玻璃圆筒底部浸没在大容器中的水面之下，未与容器底接触：另将一个外半径为R₂（R₂略小于R₁）的同质玻璃制成的圆筒（上端固定）放置其中，不接触容器底，保持两玻璃圆筒的中轴线重合且竖直。设水与玻璃之间的接触角为θ（即气-液界面在水的最高处的切线与固-液界面的夹角，见局部放大图）。已知水的表面张力系数为α，地面重力加速度大小为g。

（1）在毛细现象中，系统毛细作用引起的势能变化，可

以等效地看作固-液-气分界线上液体表面张力在液面上升或下降过程中做的功。试证：以大容器中的水面处为系统势能零点，则当水由于毛细作用上升高度为h时，系统毛细作用的势能为

E_S（h）＝－2παcosθ（R₁＋R₂）h

（2）试导出系统在水由于毛细作用上升的过程中释放的热量；

（3）如果在超万米高空飞机中短时间内做此实验，飞机可视为做匀速直线运动。测得该系统在同样过程中放出的热量为Q，试求此时飞机距离地面的高度。假定该飞机内水的表面张力系数和接触角与地面情形相同。

以上计算不考虑地球的自转。

【答案】

第32届全国决赛5

 

6．太阳系内行星的公转方向是基本相同的。地球上的观测者所看到的行星位置实际上是该行星在遥远的背景星空中的投影。由于各行星的公转速度以及它们在轨道上位置的不同，地球上的观测者看到的行星在背景星空中移动的方向与地球的公转方向并非总是相同。人们把看到的行星移动方向与地球公转方向相同情形下行星的视运动叫顺行，方向相反的叫逆行。当行星位于由顺行转为逆行或由逆行转为顺行的转折点时，行星看起来好像停留在星空不动，该位置叫留。天文学把地外行星运行至太阳和地球所在的直线上、且太阳和地外行星位于地球两侧的情形叫行星冲日。火星冲日是常见的天文现象。设地球和火星都在同一平面内绕太阳做圆周运动。且只考虑太阳对行星引力。已知火星轨道半径R_m为她球轨道半径R₀的1.524倍，不考虑地球的自转，试计算火星在经历相邻两次冲日的时间间隔内其视运动为逆行和顺行的时间间隔。

【答案】

第32届全国决赛6

【解析】

无

 

7．飞行时间质谱仪（TOFMS）的基本原理如图l所示，主要由离子源区、漂移区和探测器三部分组成。带正电的离子在离子源区形成后被电场E_S加速，经过漂移区（真空无场），到达离子探测器。设离子在离子源区加速的距离为S，在漂移区漂移的距离为L。通过记录离子到达探测器的时刻，可以把不同的离子按质荷比m/q的大小进行分离，这里m和q分别表示离子的质量和电量。分辨率是TOFMS最重要的性能指标，本题将在不同情况下进行讨论或计算。忽略重力的影响量。

（1）对于理想的TOFMS，不同离子在离子源区X轴方向同一位置、同一时刻t＝0产生，且初速度为零。探测器可以测定离子到达探测器的时刻t，其最小分辨时间为Δt（即探测器所测时刻t的误差）。定义仪器的分辨率为R＝m/Δm，其中Δm为最小分辨时间Δt对应的最小分辨质量。此种情形下，R完全由Δt决定，试推导R与t和Δt之间的关系。

（2）实际上，离子产生的位置也有微小的差别ΔS（ΔS≪S），这导致具有相同质荷比的离子不能同时到达探测器，从而影响质谱仪的分辨率。如图2所示，引入双加速场，即在离子源后引入第二加速电场E₁，该电场区域的长度为D₁。通过适当选择漂移区的长度L，可使同一时刻在不同位置产生的质荷比相同的离子尽量同时到达探测器，以使分辨率受ΔS的影响最小，试求L的值。

（3）为了进一步降低离子产生位置的离散性对分辨率的影响：通常采用如图3所示的反射式TOFMS。这里，在二级加速电场（E_S和E₁）的基础上增加了反射器，它由两级电场E₂和E₃组成。通过这两个电场对离子的飞行方向进行反转，以使分辨率受△S的影响最小，试求L的值。为简化计算，假设离子的运动是平行于X方向的直线运动．（装置的各参数间满足E_SS＋E₁D₁≤E₂D₂＋E₃D₃，以使所有离子飞行方向的反转都可以实现。）

【答案】

第32届全国决赛7

 

8．激光瞄准打击系统的设计需考虑空气折射率的交化。由于受到地表状况、海拔高度、气温、湿度和空气密度等多种因素的影响，空气的折射率在大气层中的分布是不均匀的，因而激光的传播路径并不是直线，为简化起见，假设某地的空气折射率随高度y的变化如下式所示 

n²＝n₀²＋α²y

其中n₀是y＝0处（地面）空气的折射率，n₀和α均为大于零的已知常量。激光本身的传播时间可忽略。激光发射位于坐标原点O（如图）。

（1）若激光的出射方向与竖直方向y轴的夹角为θ₀（0≤θ₀≤π/2），求描述该激光传播路径的方程。

（2）假定目标A位于第一象限。当目标A的高度为y_a时，求激光发射器可照射到的目标A的最大x坐标值x_amax。

（3）激光毁伤目标需要一定的照射时间。若目标A处在激光发射器的可照射范围内，其初始位置为（x₀，y₀），该目标在同一高度上以匀速度v接近激光发射器。为了使激光能始终照射该目标，激光出射角θ₀应如何随时间t而变化？

（4）激光发射器的攻击通常遵从安全击毁的原则，即既要击毁目标飞行器A，又必须使目标飞行器A水平投出的所有炸弹，都不能炸到激光发射器（炸弹在投出时相对于A静止）。假定A一旦进入激光发射器可攻击范围，激光发射器便立即用激光照射它。已知水平飞行目标A的高度为y_a，击毁A需要激光持续照射的时间为t_a，且位于坐标原点O的激光器能安全击毁它；已知重力加速度大小为g，不考虑空气阻力，试求A的速度范围。

【答案】

第32届全国决赛8