1．图中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径都是R的1/4圆周连接而成，它们的圆心O₁、O₂与两圆弧的连接点O在同一竖直线上。O₂B沿水池的水面。一小滑块可由弧AO的任意点从静止开始下滑。

（1）若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处？（用该处到O₁的连线与竖直线的夹角表示）。

（2）凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O₂的距离如何？

【答案】

（1）cosθ＝\(\frac{4}{5}\)

（2）\(\sqrt 2 \)R≤x≤2R

 

2．如图所示，O为半径等于R的原来不带电的导体球的球心，O₁、O₂、O₃为位于球内的三个半径皆为r的球形空腔的球心，它们与O共面，已知OO₁＝OO₂＝OO₃＝\(\frac{R}{2}\)。在OO₁、OO₂的连线上距O₁、O₂为\(\frac{r}{2}\)的P₁、P₂点处分别放置带电量为q₁和q₂的线度很小的导体（视为点电荷），在O₃处放置一带电量为q₃的点电荷，设法使q₁、q₂和q₃固定不动。在导体球外的P点放一个电量为Q的点电荷，P点与O₁、O₂、O₃共面，位于O₃O的延长线上，到O的距离OP＝2R。

（1）求q₃的电势能；

（2）将带有电量q₁、q₂的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？此时q₃的电势能为多少？

【答案】

（1）E_p3＝kq₃（\(\frac{{Q + 2{q_1} + 2{q_2} + 2{q_3}}}{{2R}}\)－\(\frac{{{q_3}}}{r}\)）

（2）达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化。O₃处的电势U与q₃的电势能E_p3不变。

 

3．如图所示，水平放置的横截面积为S的带有活塞的圆筒形绝热容器中盛有1mol的理想气体。其内能U＝CT，C为已知常量，T为热力学温度。器壁和活塞之间不漏气且存在摩擦，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且皆为F。图中r为电阻丝，通电时可对气体缓慢加热。起始时，气体压强与外界大气压强p₀相等，气体的温度为T₀。现开始对r通电，已知当活塞运动时克服摩擦力做功所产生热量的一半被容器中的气体吸收。若用Q表示气体从电阻丝吸收的热量，T表示气体的温度，试以T为纵坐标，Q为横坐标，画出在Q不断增加的过程中T和Q的关系图线。并在图中用题给的已知量及普适气体常量R标出反映图线特征的各量（不要求写出推导过程）。

【答案】

答案如图所示

 

4．封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O₁，光源一直在发光，并通过圆孔射出。车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示。某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点。在地面参考系中坐标为x_A处放一半径为R（R＞r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直。板的圆心O₂、S、、O₁都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上。由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况。不考虑光的衍射。试求：

（1）车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻；

（2）地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻。

【答案】

（1）t＝\(\frac{{{x_{\rm{A}}}\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{v}\)－\(\frac{{Rl}}{{rv}}\)

（2）tʹ＝\(\frac{{{x_{\rm{A}}}}}{v}\)－\(\frac{{Rl}}{{rv}}\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \)

 

5．一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为a₁、a₂，厚度可以忽略。两个表面都带有电荷，电荷面密度σ随离开环心距离r变化的规律均为σ（r）＝\(\frac{{{\sigma _0}}}{{{r^2}}}\)，σ₀为已知常量。薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度β减速转动，t＝0时刻的角速度为ω₀。将一半径为a₀（a₀≪a₁）、电阻为R并与薄圆环共面的导线圆环与薄圆环同心放置。试求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力F与时间t的关系。

提示：半径为r、通有电流I的圆线圈（环形电流），在圆心处产生的磁感应强度为B＝k\(\frac{I}{r}\)（k为已知常量）

【答案】

F＝\(\frac{{4{k^2}\sigma _0^2\pi a_0^3{{({a_2} - {a_1})}^2}\beta }}{{a_1^2a_2^2R}}\)（ω₀－βt）

 

6．两辆汽车A与B，在t＝0时从十字路口O处分别以速度v_A和v_B沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图所示。汽车A持续地以固定的频率ν₀鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率。已知声速为u，且当然有u＞v_A、v_B。

【答案】

ν＝\(\frac{{{u^2}(\sqrt {{u^2}(v_A^2 + v_B^2) - v_A^2v_B^2}  - v_A^2) - v_B^2({u^2} - v_A^2)}}{{({u^2} - v_A^2)\sqrt {{u^2}(v_A^2 + v_B^2) - v_A^2v_B^2} }}\)ν₀

 

7．如图所示，在一个劲度系数为k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球A和质量为2m的小球B。A用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为l。现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与此时A球的位置重合如图。试求任意时刻两球的坐标。

【答案】

x_B（t）＝l＋\(\frac{1}{2}\)gt²－\(\frac{{2mg}}{{3k}}\)[1－cos（\(\sqrt {\frac{{3k}}{{2m}}} \)t）]

x_A（t）＝\(\frac{1}{2}\)gt²－\(\frac{{4mg}}{{3k}}\)[1－cos（\(\sqrt {\frac{{3k}}{{2m}}} \)t）]