1．如图所示，弹簧S₁的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球A与球B之间用线相连。球B与球C之间用弹簧S₂相连。A、B、C的质量分别为m_A、m_B、m_C，弹簧与线的质量均可不计。开始时它们都处在静止状态。现将A、B间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C的加速度。

【答案】

\(\frac{{({m_{\rm{B}}} + {m_{\rm{C}}})g}}{{{m_{\rm{A}}}}}\)；\(\frac{{({m_{\rm{B}}} + {m_{\rm{C}}})g}}{{{m_{\rm{B}}}}}\)；零

 

1．两个相同的条形磁铁，放在平板AB上，磁铁的N、S极如图所示，开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动。

（1）现将AB突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互接触），并使之停在AʹBʹ处，结果发现两个条形磁铁碰在一起。

（2）如果将AB从原来位置突然竖直向上平移（磁铁与平板间始终相互接触），并使之停在AʺBʺ处，结果发现两个条形磁铁也碰在一起。

试定性地解释上述现象。

【答案】

开始时每一磁铁受到另一磁铁的磁吸引力与板对它的静摩擦力平衡，所以静止不动。

（1）从板突然向下平移到停下是先向下加速后向下减速运动，板向下加速时，磁铁对板的弹力减小，最大静摩擦力也减小，当最大静摩擦力小于磁吸引力时，磁铁就沿板相向运动并吸在一起。

（2）从板突然向上平移到停下是先向上加速后向上减速运动，板向上减速时，磁铁对板的弹力减小，最大静摩擦力也减小，当最大静摩擦力小于磁吸引力时，磁铁就沿板相向运动并吸在一起。

 

2．老爷爷的眼睛是老花眼。

（1）一物体P放在明视距离处，老爷爷看不清楚。试在示意图1中画出此时P通过眼睛成像的光路示意图。

（2）戴了一副300度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体P，试在示意图2中画出P通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。

（3）300度的老花镜的焦距f＝_________m。

【答案】

（3）\(\frac{1}{3}\)

 

2．有两个凸透镜，它们的焦距分别为f₁和f₂，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为f₃和f₄。已知f₁＞f₂＞|f₃|＞|f₄|。如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大倍数尽可能大的正立像，则应选取焦距为_____的透镜作物镜，应选取焦距为_____的透镜为目镜。

【答案】

f₁，f₄

 

3．如图所示，电荷量为q₁的正点电荷固定在坐标原点O处，电荷量为q₂的正点电荷固定在x轴上，两电荷相距l，已知q₂＝2q₁。

（1）求在x轴上场强为零的P点的坐标。

（2）若把一电荷量为q₀的点电荷放在P点，试讨论它的稳定性（只考虑被限制在沿x轴运动和被限制在垂直于x轴方向运动这两种情况）。

【答案】

（1）x₀＝（\(\sqrt 2 \)－1）l

（2）点电荷被限制在沿x轴运动的情况：

P点合场强为零，所以是平衡位置。在x轴上P点右侧处，q₁产生的场强变小，q₂产生的场强增大，合场强沿x轴负方向，在x轴上P点左侧处，q₁产生的场强变大，q₂产生的场强减小，合场强沿x轴正方向。

当q₀＞0时，它在P点附近所受电场力是指向的P点，所以P点是稳定平衡位置；当q₀＜0时，它在P点附近所受电场力是背离的P点，所以P点是不稳定平衡位置。

点电荷被限制在沿垂直于x轴方向运动的情况：

在P点两侧附近，点电荷q₁和q₂产生的合场强沿垂直于x轴分量的方向都背离P点，所以，当q₀＞0时，P点是不稳定平衡位置；当q₀＜0时，P点是稳定平衡位置。

 

3．有一个静电场，其电势U随坐标x的改变而变化，变化的图线如图1所示，试在图2中画出该静电场的场强E随x变化的图线（设场强沿x轴正方向时取正值，场强沿x轴负方向时取负值）。

 

【答案】

第23届全国预赛3（2）

 

4．一根长为L（以厘米为单位）的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处于大气中。大气压强与H厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长L＞H。现把细管弯成L形，如图所示。假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气泄出。当细管弯成L形时，以l表示其竖直段的长度，问l取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？给出你的论证并求出水银量的最大值（用水银柱的长度表示）

【答案】

当l≥L－H时，x有最大值x_m＝L－H

 

5．一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电子与负电子都以速率v绕它们连线的中点做圆周运动。假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素，电子的质量m、速率v和正、负电子间的距离r的乘积也满足量子化条件，即

mrv＝nh/2π

式中n称为量子数，可取整数值1，2，3，…；h为普朗克常量。试求电子偶素处在各定态时的r和能量以及第一激发态与基态能量之差。

【答案】

r_n＝\(\frac{{{n^2}{h^2}}}{{2{\pi ^2}k{e^2}m}}\)，n＝1，2，3，…

ΔE＝\(\frac{{3{\pi ^2}{k^2}{e^4}m}}{{4{h^2}}}\)

 

6．如图所示，两个金属轮A₁、A₂，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴O₁和O₂转动，O₁和O₂相互平行，水平放置，每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A₁轮的辐条长为a₁、电阻为R₁，A₂轮的辐条长为a₂、电阻为R₂，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径为a₀的绝缘圆盘D与A₁同轴且固连在一起。一轻绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P，当P下落时，通过细绳带动D和A₁绕O₁轴转动。转动过程中，A₁、A₂保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触，两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连，除R和两轮A₁、A₂中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行。现将P释放，试求P匀速下落时的速度。

【答案】

v＝\(\frac{{mg(4R + {R_1} + {R_2})a_0^2}}{{{B^2}a_1^2{{({a_1} + {a_2})}^2}}}\)

 

7．图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为R，圆筒的轴线在O处，圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为B。筒壁的H处开有小孔，整个装置处在真空中。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设：筒壁是光滑的，P与筒壁碰撞是弹性的，P与筒壁碰撞时其电量是不变的。若要使P与筒壁碰撞的次数最少，问：

（1）P的速率应为多少？

（2）P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？

【答案】

（1）v＝\(\frac{{\sqrt 3 qBR}}{m}\)

（2）t＝\(\frac{{\pi m}}{{qB}}\)

 

8．图中正方形ABCD是水平放置的固定的横梁的横截面，AB是水平的，截面的边长为l，一根长为2l的柔软的轻细绳，一端固定在A点，另一端系一质量为m的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过B点使小球处于C点。现给小球一竖直向下的初速度v₀，使小球与CB边无接触地向下运动，当v₀²分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？

（1）v₀²＝2（6\(\sqrt 2 \)＋3\(\sqrt 3 \)－1）gl

（2）v₀²＝2（3\(\sqrt 3 \)＋11）gl

设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。

【答案】

（1）x＝0.335l

（2）C点

 

9．从赤道上的C点发射州际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少，假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R＝6400 km。已知质量为m的物体在地球引力作用下做椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系是E＝－G\(\frac{{Mm}}{{2a}}\)。式中M为地球质量，G为引力常量。

（1）假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与地心O到发射点C的连线的夹角表示）。

（2）若考虑地球自转，则最小发射速度的大小为多少？

（3）试导出E＝－G\(\frac{{Mm}}{{2a}}\)。

【答案】

（1）v＝7.2km/s，θ＝67.5°。

（2）vʹ＝7.4 km/s

（3）由\(\frac{1}{2}\)mv₁²－G\(\frac{{Mm}}{{{r_1}}}\)＝\(\frac{1}{2}\)mv₂²－G\(\frac{{Mm}}{{{r_2}}}\)、\(\frac{1}{2}\)r₁v₁＝\(\frac{1}{2}\)r₂v₂和r₁＋r₂＝2a

可解得：\(\frac{1}{2}\)mv₂²＝G\(\frac{{Mm{r_1}}}{{2a{r_2}}}\)，

所以E＝\(\frac{1}{2}\)mv₂²－G\(\frac{{Mm}}{{{r_2}}}\)＝－G\(\frac{{Mm}}{{2a}}\)