1． 图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心。己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U＝1000V。在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以E_k＝2000eV的动能沿与O′O平行的方向射向a。以l表示b与O′O线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值。把质子换成电子，再求l的最大值。

【答案】

l_max＝\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)R

l_max＝\(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\)R

 

2．U形管的两支管 A、B和水平管C都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计。己知三部分的截面积分别为S_A＝1.0×10^-2cm²，S_B＝3.0×10^-2cm²，S_C＝2.0×10^-2cm²，在C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭。当温度为t₁＝27℃时，空气柱长为l＝30cm（如图所示），C中气柱两侧的水银柱长分别为a＝2.0cm，b＝3.0cm，A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为h＝12cm．大气压强保持为p₀＝76cmHg不变。不考虑温度变化时管和水银的热膨胀。试求气柱中空气温度缓慢升高到t＝97℃时空气的体积。

【答案】

V＝0.72cm³

 

3．有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小。这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星。若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M＝20m，地球半径R₀＝6400km。假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的。

【答案】

h＝0.925R₀＝5920km

 

4．如图所示，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为h₀的区域被涂黑。一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面。Ox为以球心O为原点，与平而垂直的坐标轴。通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标。

【答案】

在轴Ox上玻璃半球以右\(\frac{{nR}}{{\sqrt {{n^2} - 1} }}\)≤x≤\(\frac{{{n^2}\sqrt {{R^2} - h_0^2}  + n\sqrt {{R^2} - {n^2}h_0^2} }}{{{n^2} - 1}}\)的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。

 

5．有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触。现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手。

己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30。若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径r的值各应满足什么条件？

【答案】

R≥r≥0.29R

 

6．两个点电荷位于x轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正 轴上各点的电势如图中曲线所示，当x→0时，电势U→∞：当x→∞时，电势U→0；电势为零的点的坐标x₀，电势为极小值－U₀的点的坐标为αx₀（α＞2）。试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电荷的符号、电量的大小以及它们在x轴上的位置。

【答案】

这两个点电荷必定是一正一负。正的点电荷必定位于原点O处，负的点电荷必定在原点的左侧α（α－2）x₀。

Q₁＝\(\frac{{\alpha {x_0}}}{{\alpha  - 2}}\frac{{{U_0}}}{k}\)

Q₂＝\(\frac{{\alpha {x_0}{{(\alpha  - 1)}^2}}}{{\alpha  - 2}}\frac{{{U_0}}}{k}\)

【解析】

无

 

7．如图所示，将一铁饼状小物块在离地面高为h处沿水平方向以初速v₀抛出。己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为e（＜1）。又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为μ（≠0）：每次碰撞过程的时间都非常短，而且都是“饼面”着地．求物块沿水平方向运动的最远距离。

【答案】

s＝v₀\(\sqrt {\frac{{2h}}{g}} \)（1＋2e\(\frac{{1 - {e^{{n_0}}}}}{{1 - e}}\)）－\(\frac{{4e\mu h}}{{{{(1 - e)}^2}}}\)（1－eⁿ⁰）（1－e^n0＋1）