1．如图所示，L₁和L₂为两个共轴的薄凸透镜，OOʹ为其主轴，L₁的焦距f₁＝10cm，口径（直径）为d₁＝4.0cm，L₂的焦距f₂＝5.0cm，口径（直径）为d₂＝2.0cm。两镜相距a＝30cm。AB为一与透镜共轴的直径为d＝2.0cm的均匀发光圆盘，它有清晰的边缘，把它放在L₁左侧20cm处，它在L₂右侧垂直于OOʹ的光屏P上成像。

（1）求光屏应放在何处；

（2）现发现光屏上的像的中间部分较亮，边缘部分较暗。为了使像的边缘部分也能和中间部分一样亮，但又不改变像的位置和大小，可以在OOʹ上插放一个共轴的薄透镜L₃。求L₃应放在何处；口径（直径）至少要多大；焦距应是多少。

 

【答案】

第15届全国复赛1

 

2．如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h。轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接。物体A在下面的轨道上以匀速率v运动。在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P与绳子分离，设绳长BO远大于滑轮直径，求：

（1）小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向；

（2）小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间。

【答案】

（1）\(\sqrt {\frac{{13}}{{12}}} \)v

（2）\(\frac{{\sqrt {{v^2} + 16gh}  - v}}{{4g}}\)

【解析】

无

 

3．PQQ_nP_n是由若干正方形导线方格PQQ₁P₁，P₁Q₁Q₂P₂，P₂Q₂Q₃P₄，…，P_n-1Q_n-1Q_nP_n构成的网络，如图1所示。

 

方格每边长度l＝10.0cm，边QQ₁，Q₁Q₂，Q₂Q₃ …与边PP₁，P₁P₂，P₂P₃，…的电阻都等于r，边PQ，P₁Q₁，P₂Q₂，…的电阻都等2r。已知PQ两点间的总电阻为Cr，C是一已知数。在x＞0的半空间分布有随时间t均匀增加的匀强磁场，磁场方向垂直于Oxy平面并指向纸里，如图2所示，

 

今令导线网络PQQ_nP_n以恒定的速度v＝5.0cm/s，沿x方向运动并进入磁场区域。在运动过程中方格的边PQ始终与y轴平行。若取PQ与y轴重合的时刻为t＝0，在以后任一时刻t磁场的磁感应强度为B＝B₀＋bt，式中t的单位为s，B₀为已知恒量，b＝0.10B₀。求t＝2.5s时刻，通过导线PQ的电流（忽略导线网络的自感）。

【答案】

第15届全国复赛3

 

4．在一个横截面积为S的密闭容器中，有一个质量为M的活塞把容器隔成Ⅰ、Ⅱ两室，Ⅰ室中为饱和水蒸气，Ⅱ室中有质量为m的氮气。活塞可在容器中无摩擦地滑动。原来，容器被水平地放置在桌面上。活塞处于平衡时，活塞两边气体的温度均为T₀＝373K，压强同为p₀，如图1所示。今将整个容器缓慢地转到图2所示的直立位置，两室内的温度仍是T₀，并有少量水蒸气液化成水。已知水的汽化热为L，水蒸气和氮气的摩尔质量分别为μ₁和μ₂。求在整个过程中，Ⅰ室内的系统与外界交换的热量。

 

【答案】

第15届全国复赛4

 

5．从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳作圆周运动。火星轨道半径R_m为地球轨道半径R₀的1.500倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造卫星。第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上，如图1所示。问：

（1）为使探测器成为沿地球轨道运行的人造卫星，必须加速探测器，使之在地面附近获得多大的速度（相对于地球）？

（2）当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60°，如图2所示。问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面（时间计算仅需精确到日）？已知地球半径为R_e＝6.4×10⁶m，重力加速度g可取9.8m/s²。

【答案】

第15届全国复赛5

 

6．在如图所示的网络中，仅知道部分支路上电流值及其方向、某些元件参数和支路交点的电势值（有关数值及参数已标在图上）。请你利用所给的有关数值及参数求出含有电阻R_x的支路上的电流值I_x及其方向。

 

【答案】

第15届全国复赛6