1．一顶端开口、竖直放置的大口径圆柱体内装有一定高度的理想流体，圆柱体底部有一小孔。若将流体的高度增加为原来的 4 倍，则流体完全流完的时间为原来的（    ）倍。

A．1               B．2               C．4               D．8

【答案】

B

 

2．一理想气体系统经历一循环过程 a→b→c→d→e→a，其 p–V 图如图所示。该循环过程中，系统对外做功以及吸、放热情况分别是（    ）

A．正功，吸热             B．负功，放热

C．正功，放热             D．负功，吸热

【答案】

A

 

3．一带正电荷的粒子以某一初速度进入匀强电场中。忽略重力影响，为了使粒子的速度方向在最短的时间内发生 \(\frac{\pi }{6}\) 的偏转，则电场方向与粒子的初速度方向之间的夹角是（    ）

A．\(\frac{2\pi }{3}\)           B．\(\frac{\pi }{2}\)             C．\(\frac{\pi }{3}\)             D．\(\frac{\pi }{4}\)

【答案】

A

 

4．1953 年诺贝尔物理学奖授予荷兰科学家弗里茨·泽尔尼克，以表彰他提出相衬显微技术。该技术可清晰分辨两种折射率相近的透明介质。现考虑一束光线经过含有细胞的培养液，产生三种不同光线 1、2 和 3，其中光线 3 穿过细胞，光线 2 经过细胞边缘附近，光线 1 和 2 相干，光线 2 和 3 相干，如图所示。已知培养液的折射率为 n₀，细胞的折射率为 n（n > n₀）。由于边缘效应，光线 2 在培养液中的光程相对于光线 1 的增加了 n₀\(\frac{\lambda }{4}\)（λ 为光线在培养液中的波长）；为增大细胞和培养液的对比度，在所有光线穿出培养液后，再通过相位补偿板使光线 2 又额外增加了 n₀\(\frac{\lambda }{4}\) 的等效光程。假设细胞的等效厚度为 d，若通过目镜观测到光线 1 和 2 的干涉条纹为暗条纹，光线 2 和 3 的干涉条纹为亮条纹，则细胞的折射率可能为（    ）

A．n₀ + \(\frac{\lambda }{d}\)              B．n₀ + \(\frac{\lambda }{{2d}}\)            C．n₀\(\left( {1 + \frac{\lambda }{d}} \right)\)                D．n₀\(\left( {1 + \frac{\lambda }{{2d}}} \right)\)

【答案】

D

 

5．原子核外只有一个电子的离子，称为类氢离子，其电子的能级可以用玻尔理论类比于氢原子推出。He⁺ 是典型的类氢离子。He⁺ 静止时，其电子从能级 n = 3 跃迁至能级 n = 2 发射出的光子能量记为 E_He+。He⁺ 朝向静止的氢原子高速运动的速度达到某个临界值 u_c 时，上述跃迁发射出的光子刚好可以电离处于基态的氢原子。基态氢原子电离能为 13.6 eV。已知光源朝向接收器高速运动时，接收器测得的光子频率 νʹ 与光源发出的光子频率 ν 存在如下关系：vʹ = v\(\sqrt {\frac{{c + u}}{{c - u}}} \)（c 为真空中的光速，u 为相对运动速率）。以下表述正确的是（    ）

A．E_He+ = 1.89 eV         B．E_He+ = 7.56 eV          C．u_c = 0.29c         D．u_c = 0.53c

【答案】

BD

 

6．如图所示，平行金属长直导轨与水平面成 θ 角并固定，两导轨之间的距离为 L，导轨用导线与固定电阻 R₁、R₂ 相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度大小为 B。一质量为 m 的导体棒 ab 置于导轨上，它与导轨间的动摩擦因数为 μ；导体棒接入电路部分的电阻与 R₁、R₂ 的阻值均为 R。棒在从静止开始沿导轨向下滑动的过程中，始终与导轨垂直并密接，其最终速度为_________，棒达到最终速度时整个装置消耗的机械功率为_________。已知重力加速度大小为 g，不计导轨和导线的电阻。

【答案】

3Rmg\(\frac{{\sin \theta  - \mu \cos \theta }}{{2{B^2}{L^2}}}\)，3R（mg）²\(\frac{{\sin \theta  - \mu \cos \theta }}{{2{B^2}{L^2}}}\)sinθ

 

7．如图所示，三个质量均为 m 的质点由三根长度均为 l 的轻质细杆相连，组成一个位于竖直平面内的△OAB，此系统可绕过 O 点且垂直于△OAB 的轴转动，C 为△OAB 的中心。初始时 OC 水平静止。系统在重力作用下，OC 从水平位置转到竖直位置时，质点 A 的速度大小为_________，O 点的支持力大小为_________。已知重力加速度大小为 g，不计摩擦。

【答案】

\(\sqrt {\sqrt 3 gl} \)，6mg

 

8．近地卫星入轨时，对入轨角度的要求极高。假设原计划卫星处于一个圆轨道。若卫星入轨时其速度方向相对圆轨道的切线方向有一小偏角 θ，则会导致其轨道偏离圆轨道，而变成一个椭圆轨道。此小偏角可能导致其近地点过低，影响卫星正常工作。现欲发射一圆轨道人造卫星，其轨道高度为 300 km，卫星准确入轨后的运行速率应是_________km/s。假设该卫星实际入轨时速度大小仍为原设计的值，但速度方向在圆轨道所在平面内有 1° 的偏离，该卫星的近地点高度为_________km。已知地球半径为 6 400 km，重力加速度大小为 9.8 m/s²，不考虑空气阻力。

【答案】

7.7，1.8×10²

 

9．冷藏泡沫塑料箱通常用于日常保温。现有一封闭泡沫箱内壁总面积为 0.80 m²，壁厚为 2.0 cm，内部放满水、足量的冰块和一瓶可乐，并整体处于 0℃，箱外温度为 30℃。泡沫塑料箱的热导率为 0.020 W/(m·K)，冰的熔化热为 3.34×10⁵ J/kg。传入泡沫箱的热传导功率是_____W，在一天内融化的冰为_____kg。（已知单位时间内通过导热层由高温处传导到低温处的热量 H = k\(\frac{{\Delta T}}{d}\)S，其中 k、d 和 S 分别为导热层的热导率、厚度和横截面积，ΔT 为导热层两侧的温度差。）

【答案】

24，6.2

 

10．自然界铀矿中的铀主要有两种同位素：²³⁵U 和 ²³⁸U，其它同位素含量极少，可忽略。前者半衰期约为 7.0 亿年，后者半衰期约为 45 亿年，²³⁵U 在自然界铀元素中所占的原子数百分比称为占比，其现代值为 0.72%，由此推断出 20 亿年前铀矿的 ²³⁵U占比为_________%。许多放射性核素并非一次衰变后就稳定，而是经过多次衰变，最后生成稳定核素，这个过程称为级联衰变。一个 ²³⁵U 核经历数次 α 衰变、β 衰变和 γ 衰变，最后生成的稳定核素为 ²⁰⁷Pb，问其间所经历的 α 衰变为_________次。不计铀元素与任何其他元素之间的转化。

【答案】

3.7，7

 

11．如图（a）所示，三种透明介质 1、2 和 3 的交界面为相互平行的无限大平面，两平面之间的距离为 d；介质 1、2 的折射率分别为 n₁、n₂。一束单色光自介质 1 入射到介质 1、2 的交界面上的 A 点。

（1）当光线在 A 点的反射光线和折射光线相互垂直时，其折射光线到达介质 2、3 的交界面上刚好能发生全反射。求介质 3 的折射率 n₃。

（2）如图（b）所示，一束波长为 λ（λ 为真空中的波长）的单色光以某一初始入射角入射到介质 1、2 的交界面，反射光为光线 a，经介质 2、3 交界面上的 B 点反射后再经介质 1、2 交界面上的 C 点折射后的出射光为光线 b；两光线 a 和 b 经凸透镜汇聚后在其焦平面上发生干涉，观察到第一级亮条纹。假设 n₁ > n₂，求初始入射角。

【答案】

（1）n₃ = \(\frac{{{n_1}{n_2}}}{{\sqrt {n_1^2 + n_2^2} }}\)

（2）i_Aʹ = arcsin\(\left( {\frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}\sqrt {1 - \frac{{{\lambda ^2}}}{{4n_2^2{d^2}}}} } \right)\)

 

12．空间中存在恒定的匀强电场和匀强磁场，其电场强度 E = Ei，磁感应强度 B = B\(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)(i + j)，E 和 B 分别表示电场强度和磁感应强度的大小，这里 i、j 和 k 分别表示坐标轴 x、y 和 z 方向的单位矢量，坐标原点记为 O，如图所示（z 轴未画出）。不计重力。考虑此空间中一个质量为 m、带正电荷 q 的粒子。

（1）试选择合适的新坐标系 O–xʹyʹz，使得粒子所受到的磁场力在新坐标系的某基矢方向为零；列出在此坐标系中粒子的运动方程，并证明粒子沿磁场方向的运动和垂直于磁场方向的运动相互独立。

（2）若将粒子从 O 点在 t = 0 时刻由静止释放，P 为此后该粒子运动轨迹上的一点，其 x 坐标和 y 坐标之和为 c，计算该粒子由 O 点运动到 P 点所用的时间。

（3）若将粒子从 O 点在 t = 0 时刻由静止释放，Pʹ 为此后该粒子运动轨迹上的一点，其 x 坐标和 y 坐标之差为 cʹ，计算该粒子在 Pʹ 点所受的磁场力的大小。

（4）若将粒子从 O 点在 t = 0 时刻以某一非零初速率 v₀ 沿某一特定方向释放，发现该粒子的运动轨迹始终处在同一个平面内。计算该粒子在时刻 t 的位置 (x(t),y(t),z(t))。

【答案】

（1）略

（2）t = \(\sqrt {\frac{{2cm}}{{qE}}} \)

（3）f = qB\(\sqrt {\frac{{c'qE}}{m}} \)

（4）x = ±\(\frac{1}{2}\sqrt {v_0^2 - \frac{{{E^2}}}{{2{B^2}}}} \)t +\(\frac{{qE}}{{4m}}\)t²

y = ±\(\frac{1}{2}\sqrt {v_0^2 - \frac{{{E^2}}}{{2{B^2}}}} \)t +\(\frac{{qE}}{{4m}}\)t²

z = \(\frac{E}{{\sqrt 2 B}}\)t

 

13．如图所示，一滑块（可视为质点）以初速度 v₀ 沿光滑水平地面向右运动，滑块右方有一倾角为 θ 的光滑斜面（斜面足够长）处于静止状态，斜面与地面光滑接触，其交线过地面 O 点。滑块遇到斜面后能继续沿斜面向上运动。已知滑块和斜面的质量分别为 m 和 M，重力加速度大小为 g。求 

（1）滑块上升至最高点时离地面的高度和速度大小；

（2）滑块在斜面上升高至离地面高度 h 处时，斜面的速度大小和滑块相对于斜面的速度大小；

（3）滑块从 O 点运动到最高点所需时间，此过程中斜面运动的加速度和滑块相对于斜面运动的加速度。

【答案】

（1）V_amx = \(\frac{m}{{M + m}}\)v₀

h_max = \(\frac{M}{{M + m}}\frac{{v_0^2}}{{2g}}\)

（2）V_h = \(\frac{m}{{M + m}}\left[ {1 - \sqrt {1 - \left( {\frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta }} + \frac{{2gh}}{{v_0^2}}} \right)\frac{{(M + m){{\cos }^2}\theta }}{{M + m{{\sin }^2}\theta }}} } \right]\)v₀

v_Rh = \(\sqrt {1 - \left( {\frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta }} + \frac{{2gh}}{{v_0^2}}} \right)\frac{{(M + m){{\cos }^2}\theta }}{{M + m{{\sin }^2}\theta }}} \frac{{{v_0}}}{{\cos \theta }}\)

（3）a_Rh = − \(\frac{{(M + m)\sin \theta }}{{M + m{{\sin }^2}\theta }}\)g

a_h = \(\frac{{m\sin \theta \cos \theta }}{{M + m{{\sin }^2}\theta }}\)g

 

14．如图所示，光滑水平地面上方有匀强电场，其场强方向水平向右，大小 E = 100 V/m；地面上一质量 m₁ = 0.010 kg 的小物块 a 与一水平轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在竖直墙面上，弹簧的劲度系数 k = 0.16 N/m。将弹簧处于原长时 a 的位置记为原点 O，水平向右记为 x 正方向。将物块 a 从原点左移 4.0 m 后由静止释放，以释放时刻为计时起点 t = 0。此时，另一质量 m₂ = 0.030 kg、电荷量 q = + 1.6×10⁻³ C 的小物块 b，以大小为  16.7 m/s 的速度 v₀ 向左运动，经过 \(\frac{\pi }{{24}}\) s 与 a 发生完全非弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后两物块组成新物块 c。已知碰撞中没有电荷损失。求

（1）碰撞前物块 a 在 t（t ≥ 0）时刻的坐标 x_a(t) 和速度 v_a(t)；

（2）物块 c 在 t 时刻的坐标 x_c(t)。

【答案】

（1）x = − 4.0cos（4.0t）m

v = 16sin（4.0t）m/s

（2）x = 6.7cos[2(t − \(\frac{\pi }{{24}}\)) + 2.3] + 1.0 （m）

 

15．半径为 a、单位长度匝数为 n 的长直密绕螺线管中，通有随时间 t 变化的励磁电流 i(t) = I₀cosωt，在 t = 0 时刻，磁场的方向垂直纸面向外。如图所示，一等腰梯形闭合回路 ABCDA 由均匀导线构成，其上底长为 a，下底长为 2a，导线总电阻为 R；梯形回路平面在螺线管的横截面内，A、D 两点在螺线管区域的边缘。

（1）求梯形各边上的感应电动势，以及整个回路中的感应电动势；

（2）求 B、C 两点间的电势差和 CD 段消耗的平均功率；

（3）若在梯形回路的 A、D 两点间沿圆弧 \(\overset{\frown}{AD}\) 也接入同样导线，那么通过直导线段 AD 的电流是多大？

闭合回路和圆弧导线均不与螺线管的导线连通。已知真空磁导率为 μ₀。

【答案】

（1）ε_AB = 0，ε_CD = 0，ε_AD = \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\)a²μ₀nI₀ωsinωt，ε_BC = \(\frac{\pi }{6}\)a²μ₀nI₀ωsinωt

ε =（\(\frac{\pi }{6}\) − \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\)）a²μ₀nI₀ωsinωt

（2）U_BC = − \(\frac{{\sqrt 3  + \pi }}{{10}}\)a²μ₀nI₀ωsinωt

P_CD = \(\frac{{{{(2\pi  - 3\sqrt 3 )}^2}}}{{1440R}}\)a⁴μ₀²n²I₀²ω²

（3）I = \(\frac{{60 + 5\pi }}{{12 + 5\pi }}\frac{{2\pi  - 3\sqrt 3 }}{{12R}}\)a²μ₀nI₀ωsinωt

 

16．太空中有一没有大气的球形行星，该行星有一沿圆形轨道运行的小卫星，其质量 m = 1.00×10³ kg，运行周期 T = 258.4 min。此卫星运行至轨道上的 A 点时，瞬间分裂成沿原速度方向的两块 P 和 Q，P 在前，Q 在后。在分裂后的瞬间，P 相对 Q 的速度 u = 3.00×10³ m/s。此后，Q 沿着紧贴行星表面的B点的轨道运行（Q 不与行星表面接触）。已知行星半径 R = 7.00×10⁶ m，行星表面的“重力加速度”g₀ = 11.3 m/s²。

（1）求卫星分裂前的运行速率及距行星表面的高度；

（2）求 P、Q 的质量及 Q 到达 B 点时的速率；

（3）Q 从 B 点飞出后还能成为该行星的卫星吗？若能，求出 Q 的运动周期；若不能，写出 Q 的轨迹方程。

【答案】

（1）h = 8.00×10⁶ m

v_A = 6.08×10³ m/s

（2）m₁ = 4.10×10² kg

m₂ = 5.90×10² kg

v_B = 1.04×10⁴ m/s

（3）T₁ = 162 min