1．气体状态变化

使用注射器和压强传感器探究等温情况下一定质量气体压强与体积的关系。下表为小明和小曹同学对同一空气样本测得的实验数据，操作序号 1 ~ 5 为小明完成，操作序号 5 ~9 为小曹完成。

操作序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
压强 p/kPa	185.1	131.6	102.4	84.2	71.1	88.9	114.5	164.6	244.5
体积 V/cm3	5	7	9	11	13	11	9	7	5
pV 乘积	925.5	921.2	921.6	926.2	924.3	977.9	1030.5	1152.2	1222.5

 

1．（1） 分析表格的数据可知__________（选涂：A．小明        B．小曹）的操作有错误。

（2）错误的原因可能是_______________________________。

 

2．将表格数据绘制成右侧 p–V 图像，曲线①对应小明的操作，曲线②对应小曹的操作，在曲线上找到气体的三个状态 a、b、c，其对应坐标如图所示。

（1）在 a→b 的过程中（    ）

A．活塞对密封气体做正功

B．分子平均动能几乎不变

C．气体分子垂直作用在器壁单位面积上的平均冲击力增大

（2）气体处于 a、c 状态时温度分别为 T₁ 和 T₂，则可知 \(\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}\) = ______。（用图中字母表示）

（3）在 a→b→c 的过程中，密封气体从外界吸收了热量 Q___________（选涂：A．小于 B．等于 C．大于）气体对活塞做的功 W。

【答案】

1．（1）B

（2）气体升温可能是操作时手握住注射器或者推动速度过快造成（注意：此题的 pV 乘积给得过大，导致温度可能上升几十度，与现实不符）

2．（1）B               （2）\(\frac{{{V_1}}}{{{V_3}}}\)         （3）C

 

2．频闪技术

在暗室中，照相机的快门处于常开状态，频闪仪每隔一定时间发出强烈的短暂闪光，照亮运动物体，于是在照片上获得物体在闪光时刻的位置。某实验小组使用闪光频率为 10 Hz 的频闪仪进行实验探究，以下图中数据均已换算为实际长度。

 

1．（多选）摆球从 A 位置静止释放，经最低点 O 时改变摆长，到达 B 位置。此过程频闪照片如图，分析可知（    ）

A．摆球的机械能守恒

B．摆球经过 O 点瞬间角速度变大

C．摆球运动到 O 点时，摆球加速度为零

D．O 点左右两侧摆长之比 4∶3

 

2．（多选）频闪仪连续闪光 2 次拍得绳波传播的照片如图，绳波向 x 轴正方向传播，频闪仪闪光的时间间隔小于绳波的周期。根据图中数据，分析可知（    ）

A．波长为 0.3 m

B．质点 A 正向 y 轴负方向运动

C．波速可能是 0.75 m/s

D．波速可能是 2.25 m/s

 

3．物块从斜面某位置静止释放，捕捉到运动过程中连续三个位置 A、B、C，x_AB = 10 cm，x_BC = 13.6 cm，斜面倾角 θ = 37°，则物块下滑的加速度大小 a =______m/s²，物块与斜面间的摩擦因数 μ =______。

 

4．频闪仪连续闪光 4 次拍得照片如图，在这段时间内 A、B 均在 0 ~ 90 cm 范围内，且第一次闪光时，质量为 m_A 的物块 A 在 x = 50 cm 处，质量为 m_B 的物块 B 在 x = 70 cm 处，两者在 x = 60 cm 处发生碰撞，碰撞及闪光持续时间极短，忽略水平面摩擦。

（1）（计算）A 物块与 B 物块质量的比值。

（2）两滑块发生______碰撞（选涂 A．弹性       B．非弹性）。

【答案】

1．AB

2．ACD

3．3.6，0.3

4．\(\frac{1}{3}\)

（2）A

 

3．网球

网球是一项风靡全球的体育项目。发球时通过快速挥拍，在极短时间内对网球施加极大作用力，网球获得极高初速度，在空中划出一道优美的弧线。

 

1．（1）如图（a）4 个相同的网球紧挨叠放，静止在水平地面，若网球的质量为 m，重力加速度为 g，地面对网球 A 的支持力大小为______。

（2）假设固定下层 3 球，俯视图如图（b），略增大球心距离 L，球 B（视为光滑）受到球 A 的弹力大小将（      ）

A．增大                 B．减小                 C．不变

 

2．某同学使用网球训练器单人打回弹，如图，一轻质弹性绳将网球拴在底座中心 O 点，以 O 为原点在竖直平面内建直角坐标系 xOy，将质量 m = 60 g 的网球从 A 点静止释放，落地后竖直弹起到最高点 B，此时使用网球拍击打网球，网球瞬间获得水平速度 v = 15 m/s，网球运动到 C 点时，弹性绳恰好绷直，最后运动到 D 点与地面相撞。假设网球始终在竖直平面内运动，底座保持不动，忽略底座的高度、网球的大小、空气阻力以及网球旋转带来的影响。

（1）若网球第一次落地与地面接触的时间为 t = 50 ms，撞击过程中损失的机械能为______J，地面对网球的平均作用力大小为______N。

（2）（多选）网球从 B 运动到 C 过程中，动能 E_k 和重力势能 E_p 随时间 t 变化正确的是（    ）

（3）网球从 B 点运动到 C 点经历的时间为______s，网球在 C 点时重力的瞬时功率为______W。

（4）如图所示为弹性绳所受拉力 F 与伸长量 x 之间的关系，当网球撞向 D 点时，弹性绳伸长量 x = 1.0 m，此时弹性绳中的弹性势能为______J，网球的动能为______J。

【答案】

1．（1）\(\frac{{4mg}}{3}\) （2）A（注意：将网球视为光滑不太妥当）

2．（1）0.6，13.6

（2）BD

（3）0.2，1.2

（4）4.3 ~ 4.7，2.65 ~ 3.05

【解析】

2．（1）由 v = \(\sqrt {2gh} \) 可知：从 2 m 高处下落到地面的速度 v_A = 2\(\sqrt {10} \) m/s，回弹至高度为 1 m 的初速度 v_B = 2\(\sqrt {5} \) m/s，撞击过程中损失的机械能 ΔE = \(\frac{1}{2}\)mv_A² − \(\frac{1}{2}\)mv_B² = 0.6 J。

由动量定理：(F − mg)t = mv_B – (− mv_A)，解得 F = 13.6 N。

（4）F–x 图像的面积表示弹力做的功，当 x = 1.0 m 时对应的面积大小上等于 D 点的弹性势能。由图数出方格数为 45，E_pD = 45×0.1 J = 4.5 J。

B→D 过程中机械能守恒，有：mgh_B + \(\frac{1}{2}\)mv_B² = E_pD + E_kD，代入数据：0.6 + 6.75 = 4.5 + E_kD，解得 E_kD = 2.85 J。

 

4．碳14

近期我国首次批量生产出碳 14，打破了国外长期垄断该项关键技术的局面。碳 14 是碳的唯一一种天然放射性同位素，广泛存在于地球环境中，生物体通过呼吸和摄取食物，保持自身碳 14 含量与所处自然环境相等且恒定。

 

1．写出碳 14 发生 β 衰变的方程：¹⁴₆C→________+________。

 

2．“碳14测年”在考古学中被用于鉴定有机文物的年代。当生物体死亡后，碳 14 开始衰变，含量越来越少，可据其比例计算出文物年代。但此方法只能鉴定 5 万年以内的样本。

（1）（论述）下图为碳 14 剩余质量与原质量比例 \(\frac{m}{{{m_0}}}\) 随时间 t 变化的规律，据此解释为何“碳 14 测年”只能鉴定 5 万年以内的样品。

（2）（计算）“加速器质谱法”可测量样本中碳的三种同位素（¹²C、¹³C、¹⁴C）的比例。首先需要提取样品中的碳，转化为碳原子核，从 P 点由静止经电场加速，再经磁场偏转可分离成三束单独的离子流，分别打在底片的 N₁、N₂、N₃ 点，其过程可简化如下图。¹⁴C 打到的是哪个点？距离之比 N₁N₂∶N₂N₃ 是多少？

【答案】

1．¹⁴₆C→⁰₋₁e + ¹⁴₇N

2．（1）据图可得，¹⁴C 的半衰期为 5730 年。

根据衰变规律，如果经过 10 个半衰期，57300 年，\(\frac{m}{{{m_0}}}\) = (\(\frac{1}{2}\))¹⁰ = 0.1%

超过五万年，¹⁴C 含量太低，很难测量。

（2）N₃

\(\frac{{\sqrt {13}  - \sqrt {12} }}{{\sqrt {14}  - \sqrt {13} }}\)

【解析】

（2）N₃ 点；

qvB = m\(\frac{{{v^2}}}{r}\)            ①

qU = \(\frac{1}{2}\)mv²         ②

由①②得      r = \(\frac{1}{B}\sqrt {\frac{{2mU}}{q}} \)         ③

¹²C、¹³C、¹⁴C的原子核的电荷量相等，质量之比为 12∶13∶14

\(\frac{{{{\rm{N}}_1}{{\rm{N}}_2}}}{{{{\rm{N}}_2}{{\rm{N}}_3}}}\) = \(\frac{{2{r_2} - 2{r_1}}}{{2{r_3} - 2{r_2}}}\)  = \(\frac{{\sqrt {{m_2}}  - \sqrt {{m_1}} }}{{\sqrt {{m_3}}  - \sqrt {{m_2}} }}\)  = \(\frac{{\sqrt {13}  - \sqrt {12} }}{{\sqrt {14}  - \sqrt {13} }}\)

 

5．西电东输

我国已经掌握世界上最先进的高压输电技术，并在西电东输工程上效果显著。

 

1．下列示意图中的变压器能给电灯供电，且副线圈中电流比原线圈大的是哪一种（    ）

 

2．如图（a）所示，交流发电机的矩形线圈在匀强磁场中顺时针匀速转动，穿过该线圈的磁通量中随时间 t 变化的规律如图（b）所示。已知线圈匝数为 N = 20 匝。

（1）该发电机线圈的角速度为______rad/s，产生电动势最大值为______V（结果保留 3 位有效数字）。

（2）图（a）中流经负载上电流方向为

A．a→b                 B．b→a

（3）由图（b）可知，线圈中的感应电流改变方向的时刻为

A．0.01 s                        B．0.015 s

（4）若发电机的最大电动势为 E_m，负载为最大阻值为 R_L 的滑动变阻器，线圈总内阻为 R₀，且 R_L < R₀，则流经负载的电流有效值的最小值为 I_L = __________，发电机的最大输出功率为 P_max = _________。

 

3．（计算）在图（a）中发电机输出功率为 P = 200 kW，输出电压为 U₁ = 250 V，每一根输电线阻值为 r = 20 Ω。若输电时输电线上损失的电功率恰好为 2%，并向用户输送 220 V 的电压，则所用升压变压器和降压变压器的原、副线圈的匝数比分别为多少？

 

【答案】

1．B

2．（1）314，126

（2）A

（3）B

（4）\(\frac{{\sqrt 2 {E_{\rm{m}}}}}{{2({R_0} + {R_{\rm{L}}})}}\)，\(\frac{{E_{\rm{m}}^2{R_{\rm{L}}}}}{{2{{({R_0} + {R_{\rm{L}}})}^2}}}\)

3．1∶80，980∶11

【解析】

3．由 I₁ = \(\frac{P}{{{U_1}}}\) = \(\frac{{200 \times {{10}^3}}}{{250}}\) A = 800 A

输电线上损耗的功率为 P_损 = 40000 W，由 P_损 = I₂²(2r) 得 I₂ = 10 A

由 \(\frac{{{n_1}}}{{{n_2}}}\) = \(\frac{{{I_2}}}{{{I_1}}}\) = 1∶80

负载上的电压 ΔU = I₂·2r = 400 V

由电压关系得 U₃ = U₂ − ΔU = 19600 V

由 \(\frac{{{n_3}}}{{{n_4}}}\) = \(\frac{{{U_3}}}{{{U_3}}}\) = \(\frac{19600}{220}\) = 980∶11

 

6．行星模型

天体运动和地面物体运动规律相似，微观世界和宏观世界的物理规律有相似之处，引力场和电场也相似，请在比较之中找到相似之奇妙。

 

1．德国天文学家开普勒研究发现行星的运动具有相似性，并将其总结为开普勒行星运动定律。牛顿认为天体运动和地面物体运动规律相似，在开普勒行星运动定律的基础上，推演得到了万有引力定律。

（1）理论和实践证明，开普勒定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且适用于一切天体运动。若研究地球的卫星运动，开普勒第三定律公式 \(\frac{{{a^3}}}{{{T^2}}}\) = k 中的 k 与什么有关系（    ）

A．卫星质量                 B．地球质量                 C．太阳质量

（2）（论述）请论述据开普勒定律和牛顿定律得到万有引力定律的过程。

 

2．静电场和引力场有许多相似之处。类比电场强度和电势的定义，已知引力常量为 G，质量为 M 的质点产生的引力场中，与之相距 r 的地方引力场强度 E_G =_________；引力势 φ_G =___________。（以无穷远处为零势能面）

 

3．原子的核式结构模型有些类似太阳系，原子核犹如太阳，电子犹如行星，所以也被称为原子的“行星模型”。

（1）类比太阳系，以无穷远处为零势能面，氢原子中电子与氢原子核间静电相互作用的电势能为（k为静电力常量，r为电子轨道半径）（    ）

A．k\(\frac{{{e^2}}}{r}\)                     B．− k\(\frac{{{e^2}}}{r}\)                  C．k\(\frac{{{e^2}}}{{{r^2}}}\)                     D．− k\(\frac{{{e^2}}}{{{r^2}}}\)

（2）氢原子的核外电子吸收电磁波从一个轨道跃迁至另一轨道，关于电子绕核运动的动能，原子的电势能，以及动能和电势能的总和说法正确的是（    ）

A．动能增大，电势能减小，总和不变

B．动能减小，电势能增大，总和不变

C．动能减小，电势能增大，总和增大

 

4．（多选）如图为氢原子在可见光区的四条谱线 H_α、H_β、H_γ、H_δ。对于四条谱线，下列说法中正确的是（    ）

A．在同一介质中，H_α 的速度最大

B．由同一介质射入空气，H_α 的临界角最小

C．H_α 更容易发生衍射现象

D．H_α 对应的光子动量最小

 

5．（计算）为解释氢原子光谱，玻尔在“行星模型”的基础上，引入量子化的概念，认为原子只能处于不连续的轨道和能量状态中。已知氢原子核外电子第 1 条（量子数 n = 1）轨道半径 r₁ = 5.3×10⁻¹¹ m，普朗克常量 h = 6.626×10⁻³⁴ J·s，求它从量子数 n = 2 的激发态跃迁到基态，向外辐射的电磁波的波长。（结果保留 3 位有效数字）

【答案】

1．（1）B

（2）行星运动轨道近似为圆轨道，则开普勒第三定律为 \(\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}}\) = k                                       ①

据牛顿第二定律，万有引力提供行星绕太阳运动的向心力，F = m \(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\) R         ②

代入②得，F = 4π²k \(\frac{m}{{{r^2}}}\)，F ∝ \(\frac{m}{{{r^2}}}\)

根据牛顿第三定律（或者对称性），Fʹ = F ∝ \(\frac{M}{{{r^2}}}\)

F ∝ \(\frac{Mm}{{{r^2}}}\)

2．\(\frac{{GM}}{{{r^2}}}\)，− \(\frac{{GM}}{r}\)

3．（1）B       （2）C

4．ACD

5．122 nm

【解析】

5．k\(\frac{{{e^2}}}{{{r^2}}}\) = m\(\frac{{{e^2}}}{{{r^2}}}\)

E_k = \(\frac{1}{2}\)mv² = k\(\frac{{{e^2}}}{{2r}}\)，类比引力势能 E_p = − k\(\frac{{{e^2}}}{{r}}\)，∴E = E_k + E_p = − k\(\frac{{{e^2}}}{{2r}}\)

E₁ = − k\(\frac{{{e^2}}}{{2r_1}}\)  = − 9×10⁹×\(\frac{{{{(1.6 \times {{10}^{ - 19}})}^2}}}{{2 \times 5.3 \times {{10}^{ - 11}}}}\) J = − 2.17×10⁻¹⁸J ≈ − 13.6 eV

E_n = \(\frac{1}{{{n^2}}}\)E₁

∴ E₂ = \(\frac{1}{{{2^2}}}\)E₁ = \(\frac{1}{4}\)×(− 13.6 eV) = − 3.4 eV

E₂ − E₁ = h\(\frac{c}{\lambda }\)

λ = h\(\frac{c}{{{E_2} - {E_1}}}\)  = 6.624×10⁻³⁴×\(\frac{{3 \times {{10}^8}}}{{[ - 3.4 - ( - 13.6)] \times 1.6 \times {{10}^{ - 19}}}}\) J = 1.22×10⁻⁷ m = 122 nm