1．蜻蜓点水

“蜻蜓点水”的字面意思是蜻蜓轻轻触碰水面，蜻蜓“点水”会在水面上形成水波。

 

1．蜻蜓连续“点水”于平静水面的 O 处，形成的水波近似看作简谐横波。某时刻（t = 0）水波图样如图（a）所示，图中实线、虚线分别表示波峰、波谷。M 和 N 是相邻波峰和波谷上的两个质点，两质点振动的平衡位置均在 x 轴上。质点 M 的振动图像如图（b）所示。

（1）若水波的传播速度为 v，则质点 M、N 在 x 轴方向上的距离为________；

（2）质点 N 振动的位移 y 随时间变化 t 的关系是______。

 

2．蜻蜓在水面上“点水”飞行。若蜻蜓沿 x 轴正向飞行，其水平飞行速度恰好与水波的传播速度相等，且每次“点水”只形成一个向外扩展的圆形水波波纹，则蜻蜓连续三次“点水”后某时刻水波图样（俯视）可能是（    ）

【答案】

1．（1）vt₀             （2）y = − Acos（\(\frac{\pi }{{{t_0}}}\)t）

2．A

【解析】

1．（1）由图（b）可知波的周期 T = 2t₀，由 λ = vT 可得波长 λ = 2vt₀。在相邻波峰和波谷上的质点 M 和 N， 是相邻波峰和波谷上的两个质点在 x 轴方向上的距离为 λ/2 = vt₀。

（2）振动方程为 y = − Acos（\(\frac{2\pi }{{{T}}}\)t）= − Acos（\(\frac{\pi }{{{t_0}}}\)t）。

 

2．热气球

热气球主要由球囊、吊篮和加热装置三部分构成，球囊下端有一开口，使球囊内外的气体可以流通，如图所示。热气球在运动过程中，其体积及形状可视为保持不变。

 

1．一质量为 m 的探险家乘坐热气球到达离地面 h 高处，已知地球半径为 R，质量为 M，引力常量为 G，则探险家与地球间的万有引力大小为________。

 

2．某热气球的球囊容积 V = 2000 m³（球囊壳体的体积可忽略），热气球及人员总质量 M = 600 kg（不含球囊内空气质量），若地面附近的空气温度 t₀ = 15℃、空气密度ρ₀ = 1.2 kg/m³。忽略燃料燃烧损耗的质量、吊篮和加热装置的体积。

（1）飞行前加热球囊内空气。加热前、后球囊内空气分子热运动的速率分布曲线 Ⅰ、Ⅱ 可能为（    ）

（2）缓慢加热球囊内空气，热气球刚要离开地面时球囊内热空气的密度为________kg/m³；

（3）该热气球从地面升起，球囊内气温至少为________℃。

 

3．一载有物体的热气球悬停于地面上方。某时刻在距地面高为 H 的 O 处，将一质量为 m 的物体相对于地面以大小为 v₀ 的速度水平向右抛出。不计空气阻力和抛出物体受的浮力，热气球所受浮力保持不变。重力加速度为 g。

（1）若以水平地面为零势能面，物体刚要落地时的机械能为________；

（2）水平抛出物体后，热气球相对于地面的运动轨迹可能是________；

（3）在抛出到落地的过程中，物体动量变化量的大小为________。

【答案】

1．G\(\frac{{Mm}}{{{{(R + h)}^2}}}\)

2．（1）A               （2）0.9         （3）111

3．（1）\(\frac{1}{2}\)mv₀² + mgH          （2）C           （3）m\(\sqrt {2gh} \)

【解析】

2．（2）热气球受到的空气浮力 F_浮 = ρ₀gV，热气球及人员、球囊内空气总重为 Mg + ρ₀gV，刚要离开地面应满足

F_浮 = Mg + ρ₀gV

代入数据解得：ρ = 0.9 kg/m³

（3）加热过程中球囊内气体与大气相通，经历等压膨胀过程，由盖-吕萨克定律可得：

\(\frac{{{V_0}}}{{{T_0}}}\) = \(\frac{V}{T}\)

由 ρ = \(\frac{m}{V}\)，可将上式变形为

ρ₀T₀ = ρT

代入数据：1.2×（273 + 15）= 0.9×（t + 273）

得 t = 111℃

 

3．（2）水平抛出物体后，热气球的初速度水平向左，受到的合外力竖直向上，做类平抛运动。正确选项为 C。

（3）动量是矢量，动量的变化量是矢量差。

Δp = mΔv = mΔv_y = mv_y = m\(\sqrt {2gh} \)

或由动量定理：Δp = I_合 = mgt = mg\(\sqrt {\frac{{2H}}{g}} \) = m\(\sqrt {2gh} \)

 

3．云室

云室是利用带电粒子使气体分子电离，从而显示带电粒子运动径迹的装置。通过对不同粒子运动径迹的分析和比较，科学家可以得到粒子的带电、运动等情况的信息，甚至可以发现新粒子。

 

1．（多选）如图，云室中封闭一定质量的气体。在快速向下拉动活塞的过程中，若不考虑云室中气体的液化，则云室中的气体________。

A．温度升高                 B．温度降低

C．压强增大                 D．压强减小

 

2．云室中有 A、B 两个点电荷，其周围的电场线分布如图所示。通过云室观察到一带电粒子的运动轨迹为曲线 ab，a 为两点电荷连线中垂线上的点、b 为两点电荷连线上的点。

（1）a、b 两点的电场强度和电势分别为 E_a、E_b 和 φ_a、φ_b，则一定有（    ）

A．E_a > E_b                                 B．E_a < E_b                                 C．φ_a > φ_b                                  D．φ_a < φ_b

（2）带电粒子从 a 运动到 b 的过程中，其电势能（    ）

A．一定变大                          B．可能变大                          C．一定变小                          D．可能变小

 

3．云室置于垂直纸面向里的匀强磁场中，云室中一静止的原子核 X 发生了一次衰变，其衰变产物为新的原子核 Y 和粒子 Z。观察到 Y、Z 在磁场中的运动轨迹是互为外切的圆，如图所示，同时测得两个圆的半径之比 R₁∶R₂ = 42∶1。普朗克常量 h = 6.6×10⁻³⁴ J·s，元电荷 e = 1.6×10⁻¹⁹ C。

（1）粒子 Z 是（    ）

A．⁴₂He                           B．⁰₋₁e            C．¹₁H                     D．¹₀n

（2）若原子核 X 衰变时，释放出一种频率为 1.2×10¹⁵ Hz 的光子，那么这种光子照射在逸出功为 4.52 eV 的金属钨上，逸出光电子的最大初动能为______eV；

（3）原子核 X 的核电荷数为________。

 

4．（论证）如图，云室中有一相距为 d、长为 L 的一对平行金属板组成的偏转电场和光屏 MN。将含有氕（¹H）、氘（²₁H）、氚（³₁H）三种粒子的粒子束从偏转电场一端、两金属板中间 O 点，以大小为 v₀ 的速度平行金属板射入偏转电场。通过云室观察发现能到达光屏的径迹只有一条。已知氕（¹₁H）的电荷量为 e，质量为 m，不计阻力、粒子间的相互作用和粒子重力。分析说明平行金属板两端的电压范围。

【答案】

 1．BD

2．（1）B                       （2）C

3．（1）A               （2）0.43               （3）86

4．\(\frac{{2mv_0^2{d^2}}}{{e{L^2}}}\) < U ≤ \(\frac{{3mv_0^2{d^2}}}{{e{L^2}}}\)

疑似：\(\frac{{2mv_0^2{d^2}}}{{e{L^2}}}\) ≤ U < \(\frac{{3mv_0^2{d^2}}}{{e{L^2}}}\)

【解析】

3．（1）由于是衰变，所以排除选项 C 和 D。

原子核原来处于静止状态，根据动量守恒，新的原子核 Y 和粒子 Z 的运动方向必相反。由图轨迹可知两者所受洛伦兹力的方向相反，因此两者的电性必相同——都带正电。正确选项为 A。

（2）由光电方程得：E_km = hν – W = （\(\frac{{6.6 \times {{10}^{ - 34}} \times 1.2 \times {{10}^{15}}}}{{1.6 \times {{10}^{ - 19}}}}\) − 4.52）eV = 0.43 eV

（3）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 R = \(\frac{{mv}}{{qB}}\)，由动量守恒可知两个新核的动量 mv 大小相同，再由 R₁∶R₂ = 42∶1 可知粒子 Z（即 ⁴₂He）和原子核 Y 和的电量之比 q₁∶q₂ = 1∶42，⁴₂He 核电荷数为 2，则原子核 Y 的核电荷数为 84。最后根据衰变过程的核电荷数守恒可知原子核 X 的核电荷数为 86。

 

4．三种粒子进入偏转电场后，受到垂直于 v₀ 方向的电场力作用做匀变速曲线运动。

水平方向上做匀速直线运动，即 L = v₀t                            ①

竖直方向上做匀加速直线运动，即

Eq = \(\frac{{qU}}{d}\) = ma 得 a = \(\frac{{qU}}{{md}}\)                                                   ②

又 y = \(\frac{1}{2}\)at²                                                                            ③

由①②③得 y = \(\frac{1}{2}\)·\(\frac{{qU}}{{md}}\)·（\(\frac{L}{{{v_0}}}\)）² = \(\frac{{qU{L^2}}}{{2mv_0^2d}}\)             ④

三种粒子以相同速度进入同一偏转电场，由于所带电荷量相同，由④式可知 y 与 m 成反比。故结合题意可得：y_氘 > \(\frac{d}{2}\) ≥ y_氚 ，即

\(\frac{{eU{L^2}}}{{4mv_0^2d}}\) > \(\frac{d}{2}\) ≥ \(\frac{{eU{L^2}}}{{6mv_0^2d}}\)

解得平行金属板两端的电压范围为 \(\frac{{2mv_0^2{d^2}}}{{e{L^2}}}\) < U ≤ \(\frac{{3mv_0^2{d^2}}}{{e{L^2}}}\)

 

4．中国高铁

中国高铁利用“北斗”导航技术、5G通信技术等构建运营的“超强大脑”，实现了数字化、智能化的管理。具有完全自主知识产权的新一代高速列车“复兴号”投入了高铁运营。

 

1．5G 信号相较于 4G 信号采用了频率更高的无线电波，具有数据传输更快的特点。

（1）（多选）在空气中传播时，5G 信号与 4G 信号相比（    ）

A．具有更快的传播速度                     B．具有相同的传播速度

C．更容易发生衍射                              D．更不容易发生衍射

（2）（多选）无线电波可由 LC 振荡电路产生，某时刻的电路工作状态如图所示，此时（    ）

A．电容器正在放电                             B．电容器正在充电

C．线圈中磁场的方向向上                 D．线圈中磁场的方向向下

E．线圈储存的磁场能正在增大         F．线圈储存的磁场能正在减小

 

2．“北斗”导航系统主要由地球同步轨道卫星和中轨道卫星组成。某一地球同步轨道卫星和一颗中轨道卫星在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图（a）所示。

     

（1）同步轨道卫星和中轨道卫星绕地球做圆周运动的线速度分别 v₁、v₂，则（    ）

A．v₁ < v₂                                  B．v₁ = v₂                                  C．v₁ > v₂

（2）若这两颗卫星之间的距离 Δr 随时间 t 变化的关系如图（b）所示，则中轨道卫星的运行周期 T =________h。

 

3．“复兴号”列车在某段长为 1000 m 的平直轨道上行驶，其速度的平方 v² 与位移 x 的关系，如图所示。

（1）乘客将一水杯放置在车厢水平桌面上，在此过程中水杯里水面的形状可能是（    ）

（2）列车通过此路段所用的时间为________s。

 

4．如图，“复兴号”动车组共 8 节车厢，每节车厢的质量均为 m，每节动力车厢能提供的最大驱动功率相同，重力加速度为 g。

（1）（计算）动车组采用 4 动 4 拖模式，依靠前面的 4 节动力车厢来带动整个列车运行。动车组在平直轨道上匀加速启时，若每节车厢所受阻力均为车厢所受重力的 k 倍，每节动力车厢提供的牵引力大小为 F，求第 4 节车厢对第 5 节车厢的作用力大小；

 

（2）若动车组在高速行驶过程中所受阻力与其速率成正比，采用 4 动 4 拖模式，最高时速可达 350 km/h，则改为采用 1 动 7 拖模式后，动车组的最高时速为________km/h。

 

5．高速列车上安装有电磁制动系统，其原理可简单描述为线框进出磁场受电磁阻尼作用。某同学进行了模拟研究：用同种导线制成边长为 L、质量为 m 的正方形线框 abcd，将其放置在光滑绝缘的水平面内。线框 abcd 以初速度 v₀ 进入磁感应强度大小为 B、方向竖直向下，宽度为 d 的匀强磁场（d > L），测得当线框刚离开磁场时，其速度大小为 \(\frac{{{v_0}}}{2}\)，如图所示。

（1）线框 abcd 刚进入磁场和刚离开磁场时，ab 两点间的电势差分别为 U_ab 和 Uʹ_ab，则 U_ab∶Uʹ_ab = ________；

（2）（计算）求线框 abcd 的电阻大小 R；

（3）线框 abcd 在进入磁场和离开磁场的过程中，线框中产生的热量分别为 Q₁ 和 Q₂，则 Q₁∶Q₂ =________。

【答案】

1．（1）BD          （2）BCF

2．（1）A                     （2）8

3．（1）B                     （2）25

4．（1）T = 2F

（2）175

5．（1）6∶1

（2）R = \(\frac{{4{B^2}{L^3}}}{{m{v_0}}}\)

（3）7∶5

【解析】

2．（1）由万有引力作为卫星做匀速圆周运动的向心力可求得卫星的速度大小 v = \(\sqrt {\frac{{GM}}{r}} \)，由图可知同步轨道卫星和中轨道卫星的轨道半径的关系为 r₁ > r₂，则 v₁ < v₂。正确选项为 A。

（2）由图（b）可知在 t = 0 时两者相距最近，即位于一条过地球球心的直线的同侧，当 t = 12 h，两者再次位于某条直线的同侧，此时它们转过的圈数差应为 1 圈，即：

\(\frac{t}{T}\) − \(\frac{t}{{{T_同}}}\) = 1

将 t = 12 h，同步卫星的周期 T_同 = 24 h 代入上式，解得中轨道卫星的周期 T = 8 h。

 

4．（1）设第 4 节车厢对第 5 节车厢的作用力大小为 T，

以动车整体为研究对象受力如图，

由牛顿第二定律可知：4F − 8kmg = 8ma           ①

以 5 ~ 8 车厢为研究对象受力如图，

由牛顿第二定律可知：T − 4kmg = 4ma             ②

由①②解得：T = 2F

（2）以最高时速匀速行驶时，有 P = fv_m = kv_m²。

设每节动力车厢能提供的最大驱动功率为 P，当采用 4 动 4 拖模式时，有 4P = 8kv_m²；采用 1 动 7 拖模式时，有 P = 8kv_mʹ²。联立两式可得 v_mʹ = \(\frac{1}{2}\)v_m = 175 km/h。

 

 

5．（1）设线框电阻为 R，线框 abcd 刚进入磁场时，ab 边在切割磁感线，相当于电动势 E₁ = BLv₀，内阻为 R/4 的电源。ab 两点间的电势差 U_ab 为外电压，可得 U_ab = \(\frac{3}{4}\)E₁ = \(\frac{3}{4}\)BLv₀；

线框 abcd 刚离开磁场时，cd 边在切割磁感线，相当于电动势 E₂ = \(\frac{1}{2}\)BLv₀，内阻为 R/4 的电源。ab 两点间的电势差 Uʹ_ab 为 ab 边上的电压，可得 Uʹ_ab = \(\frac{1}{4}\)E₂ = \(\frac{1}{4}\)·\(\frac{1}{2}\)BLv₀ = \(\frac{1}{8}\)BLv₀。

可得 U_ab∶Uʹ_ab = 6∶1。

（2）正方形线框进、出匀强磁场时所受安培力为

F = BIL = B·\(\frac{{BLv}}{R}\)·L = \(\frac{{{B^2}{L^2}}}{R}\)v

由动量定理 \(\frac{{{B^2}{L^2}}}{R}\)vΔt = mΔv

即 \(\frac{{{B^2}{L^2}}}{R}\)Δx = mΔv 可得 \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta x}}\) = \(\frac{{{B^2}{L^2}}}{mR}\)

由此可知正方形线框进、出匀强磁场时其速度随位移均匀减小。

故有题意可得 \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta x}}\) = \(\frac{{{v_0} - 0.5{v_0}}}{{2L}}\) = \(\frac{{{B^2}{L^2}}}{mR}\)，解得 R = \(\frac{{4{B^2}{L^3}}}{{m{v_0}}}\)

（3）设线框 abcd 完全进入磁场时的速度为 v，由动量定理，在进入磁场的过程中有：

− F_安t = mv – mv₀

\(\frac{{{B^2}{L^2}}}{R}\bar v\)Δt = \(\frac{{{B^2}{L^2}}}{R}\)L = mv₀ – mv

同理，离开磁场的过程中有

\(\frac{{{B^2}{L^2}}}{R}\)L = mv – m\(\frac{v_0}{2}\)

联立两式解得 v = \(\frac{3}{4}\)v₀

设两个过程中克服安培力做的功分别为 W_安克1、W_安克2，由动能定理，可得：

W_安克1 = \(\frac{1}{2}\)mv₀² − \(\frac{1}{2}\)m(\(\frac{3}{4}\)v₀)² = \(\frac{7}{32}\)mv₀²

W_安克2 = \(\frac{1}{2}\)m(\(\frac{3}{4}\)v₀)² − m(\(\frac{v_0}{2}\))² = \(\frac{5}{32}\)mv₀²

由功能关系：克服安培力做功的大小等于线框中产生的热量，所以：

Q₁∶Q₂ = W_安克1∶W_安克2 = 7∶5

 

5．发光二极管

发光二极管（LED）可高效地将电能转化为光能，并具有单向导电性。用  表示，电流只有从标有“＋”的一端流入时，二极管才能发光。

 

1．某发光二极管发出波长为 λ 的光，已知普朗克常量为 h，光速为 c，则该束光中光子的动量大小为（    ）

A．\(\frac{{h\lambda }}{c}\)                    B．\(\frac{{hc}}{\lambda }\)                    C．hλ                      D．\(\frac{h}{\lambda }\)

 

2．将红、绿两个发光二极管作为指示灯，与螺线管连接成闭合回路，如图所示。磁铁 S 极朝下，从图中位置静止释放穿过线圈的过程中，红、绿两灯发光的情况是（    ）

A．只有红灯亮                                     B．只有绿灯亮

C．先红灯亮后绿灯亮                         D．先绿灯亮后红灯亮

 

3．a、b、c、d 四个相同的发光二极管，与电动势为 E、内阻为 r 的电源、自感线圈 L、滑动变阻器 R、开关 S 等元件连接成如图所示电路。某同学在 t = 0 时，闭合 S；经过一段时间后，在 t = t₁ 时再断开 S。在此过程中，

（1）一直没发光的发光二极管是（    ）

A．a                        B．b                        C．c                        D．d

（2）通过电流传感器的电流 i 随时间 t 的变化关系可能是（    ）

 

4．某种射灯及内部结构，如图所示。发光二极管封装在半径为 R 透明半球体中，其管芯的发光面 AOB 是半径为 r 的圆面，其圆心与半球体的球心 O 重合。若发光面发出的光第一次到达半球面时，均可从球面射出，则透明半球体的折射率应小于（    ）

A．\(\frac{r}{R}\)             B．\(\frac{R}{r}\)             C．\(\frac{R}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}\)                 D．\(\frac{r}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}\)

 

5．某同学利用 LED 制作频闪光源，结构如图（a）所示，变压器原、副线圈的匝数之比为 22∶1。该 LED 的伏安特性曲线如图（b）所示。副线圈的输出电压 u = 10sin100πt（V），

    

（1）原线圈输入电压的有效值为______V；

（2）若定值电阻 R₀ 的阻值为 500 Ω，工作时流过 LED 的最大电流约为________mA（保留2位有效数字）。

【答案】

1．D

2．C

3．（1）C             （2）D

4．B

5．（1）110\(\sqrt 2 \)           （2）16 mA（15 mA）

【解析】

4．如图所示，要使发光面发出的光第一次到达半球面时，均可从球面射出，从 A 处发出的光与分界面法线的夹角 θ 应小于全反射临界角，即

sinθ < sinC = \(\frac{1}{n}\)

得 n < \(\frac{1}{{\sin \theta }}\) = \(\frac{R}{r}\)

正确选项为 B。

 

5．（1）由 u = 10sin100πt（V）可知副线圈的电压最大值为 10 V，则有效值 U₂ = 5\(\sqrt 2 \) V。由变压器工作原理可知原线圈输入电压有效值 U₁ = 22U₂ = 110\(\sqrt 2 \) V。

（2）副线圈电路可看做一个最大电动势为 10 V，内阻为 500 Ω 的电源，在 I–U 图像上可表示为一条截距为 20 mA（即短路电流），斜率为 500 的直线，如图所示。此直线与 LED 的伏安特性曲线的交点即表示最大电动势对应下的最大电流，约为 16 mA。