1．如图所示，图中的虚线为某同学投出篮球的运动轨迹。请标出篮球在图示位置所受的力和速度矢量。

【答案】

如图

【解析】

参考解答：见图 1（受到重力 G 竖直向下；速度 v 沿篮球运动轨迹的切线方向向前）。

命题意图：通过实例分析与作图，体会物体做曲线运动时受到偏离运动方向的力的作用，其速度方向必将改变。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅰ）。

 

2．运动员以 10 m/s的速度沿与水平面夹角为 30° 的方向斜向上推出一铅球，这个速度在水平方向和竖直方向的分速度分别是多大？画出速度分解的图示。

【答案】

v_x ≈ 8.66 m/s，v_y = 5 m/s。

【解析】

参考解答：铅球水平方向的分速度为 v_x = vcos30° ≈ 8.66 m/s，竖直方向的分速度为 v_y = vsin30° = 5 m/s。见图 2。

命题意图：通过对速度分解的计算与作图，体会用运动分解法研究实际运动的方法。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅰ）。

 

3．如图所示，一质点沿 AB 方向做匀速直线运动，当质点运动到 B 点时加上一个力 F。此后该质点的运动轨迹最接近中哪条虚线，简述理由。

【答案】

对质点施加力 F 后，质点受到的合力就为 F，它与质点原运动方向不在一条直线上。由 F 的方向推断，此后该质点的运动轨迹最接近图中的 BQ 虚线。

【解析】

参考解答：对质点施加力 F 后，质点受到的合力就为 F，它与质点原运动方向不在一条直线上。由 F 的方向推断，此后该质点的运动轨迹最接近图中的 BQ 虚线。

命题意图：体验运用曲线运动产生的条件分析与判断质点的运动轨迹。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

4．一艘渡船在宽为 d 的河中航行。现从码头出发，船头垂直于河岸，以速度 v 匀速向对岸行驶。问：

（1）若河水流速处处为 u，渡船将停靠在对岸哪个位置？

（2）若越靠近河中央水的流速越大，试定性画出该船行驶的轨迹示意图。

【答案】

（1）渡船将停靠在对岸沿河水流动方向下游距码头正对岸 s = \(\frac{{ud}}{v}\) 处。

（2）见图 3。

【解析】

命题意图：体验运用运动合成与分解的方法研究问题，运用各分运动具有等时性的特点研究较复杂的运动，为后续学习平抛运动的轨迹做准备。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

5．某飞机以 30° 仰角起飞，起飞时初速度大小为 100 m/s。假设其做加速度大小为 1 m/s² 的匀加速直线运动。则：

（1）起飞后 10 s 末飞机离地面多高？

（2）此时刻飞机距起飞点的水平距离为多少？

【答案】

（1）h = 525 m

（2）x ≈ 909.33 m。

【解析】

参考解答：（1）根据匀加速直线运动规律，s = v₀t + \(\frac{1}{2}\)at² = 1 050 m，所以飞机离地面高度为 h = ssin30° = 525 m。

（2）距起飞点的水平距离为 x = scos30° ≈ 909.33 m。

命题意图：运用运动合成与分解的思路和方法解决物体做匀变速运动时的实际问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

6．在学校趣味运动会“运动击杆”的比赛中，要求运动员坐在一辆由西向东运动的小车上抛出一小球，击中位于小车左侧（北边）路边的一根旗杆，运动员应如何抛出小球才能击中目标？请画出示意图并说明理由。

【答案】

应在小车尚未到达旗杆正前方之前抛出小球；且需控制好抛出的速度大小，使小球的水平（合）运动恰好对着旗杆。见图。

【解析】

命题意图：在实际的运动情境中，运用运动合成与分解的方法进行模型建构、问题分析及实践探究。

主要素养与水平：模型建构（Ⅲ）；科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

 

7．判断下列物体的运动是否属于抛体运动，并说明理由

（1）洒水车喷出的水。

（2）运动员推出的铅球？

（3）向空中抛出的一张纸。

（4）竖直向下扔出的一粒石子。

（5）运动员发球时竖直向上抛出的网球。

【答案】

（1）（2）（4）（5）中物体的运动可以忽略空气阻力的影响，可看作只受重力作用，属于抛体运动；（3）中的纸张不可忽略空气阻力的作用，不属于抛体运动。

【解析】

命题意图：根据对实际事例的分析，加深理解物体做抛体运动的条件。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅰ）。

 

8．做平抛运动的物体在任意 1 s 内速度变化最的大小是多少？方向如何？

【答案】

9.8 m/s，方向竖直向下

【解析】

参考解答：物体做平抛运动的加速度为重力加速度 g = 9.8 m/s²，所以其任意 1 s 内速度变化量的大小为 9.8 m/s，方向竖直向下

命题意图：对平抛运动的条件形成有进一步的认识。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

9．水平匀速飞行的飞机上连续投下一系列物体，站在地面上的人看到的情景是否如图所示？飞机上的人看到的又是怎样的情景？

【答案】

是。飞机上的人只看到最后投出的物体，之前投出的物体均被最后一个物体挡住（这些物体处在同一条竖直线上）。

【解析】

命题意图：理解平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动，在竖直方向的分运动为自由落体运动。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅱ）；科学椎理（Ⅱ）。

 

10．极限运动员想驾驶摩托车以 30 m/s 的水平初速度做飞越河谷表演，河谷的尺寸如图所示。不计空气阻力，摩托车能否越过该河谷？简述理由。

【答案】

飞跃的水平距离 s = v₀t = 16.5 m，小于河谷的宽度 20 m，所以摩托车不能越过该河谷。

【解析】

参考解答：飞越河谷到对岸其竖直高度差为 h = (3.5 – 2.0) m = 1.5 m，则根据 h = \(\frac{1}{2}\)gt² 得飞越时间 t = \(\sqrt {\frac{{2h}}{g}} \) ≈ 0.55 s，如果以 30 m/s 的水平初速度飞越河谷，飞跃的水平距离 s = v₀t = 16.5 m，小于河谷的宽度 20 m，所以摩托车不能越过该河谷。

命题意图：从题设条件中提取有用的信息，建立平抛运动模型，讨论实际问题。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学论证（Ⅱ）；科学本质（Ⅰ）。

 

11．以初速度 v₀ 水平抛出一小球，忽略空气阻力。如图所示，某同学画出了该小球经历连续相等时间后速度矢量 v₁、v₂、v₃ 的关系图。对该同学所画的图作出评价？

【答案】

该图有错。平抛运动水平方向分运动为匀速直线运动，水平方向的分速度不变，故图中各时刻速度矢量末端在同一竖直线上是正确的。但因平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，在相等时间内速度的增加量是相等的，即图中小球经历连续相等时间后的速度矢量 v₁、v₂、v₃ 末端在竖直方向的间隔应该相等，所以该图有错。

【解析】

命题意图：根据平抛运动的规律，判断速度矢量之间的关系。强化竖直方向分运动的规律。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；质疑创新（Ⅱ）。

 

12．在“探究平抛运动的特点”实验中，某同学得到了如图所示的数据轨迹线，则该平抛运动的初速度大小为多少？

【答案】

v₀ ≈ 1.58 m/s

【解析】

参考解答：由题设数据分析得，坐标原点 O 为平抛运动的抛出点。根据 y = \(\frac{1}{2}\)gt²，x = v₀t，得平抛运动的初速度为 v₀ = x\(\sqrt {\frac{g}{{2y}}} \) ≈ 1.58 m/s。

命题意图：通过对实验数据的分析，判断物体的运动性质及运动状态，提升物理实验数据分析的能力。

主要素养与水平：证据（Ⅱ）；解释（Ⅱ）。

 

13．奥运会 50 m步枪射击项目所用靶的直径为154.4 mm。如图所示，若某步枪运动员沿水平方向射击，正好对准靶的中心。分析说明：

（1）若子弹飞出枪膛的速度为 600 m/s，能否击中靶？

（2）若子弹飞出枪膛的速度为 350 m/s，能否击中靶？

（3）实际射击时，运动员应该如何瞄准才能取得更好的成绩？

【答案】

（1）能击中靶。

（2）不能击中靶。

（3）为使子弹击中靶心，运动员瞄准时应考虑子弹飞行时竖直方向有下落的效果，所以应瞄准比靶心略高处。

【解析】

参考解答：若忽略子弹飞行时空气阻力的影响，则子弹在空中的运动是平抛运动。根据平抛运动的规律，其水平方向分运动为匀速直线运动 x = v₀t，竖直方向分运动为自由落体运动 y = \(\frac{1}{2}\)gt²，亦即 y = 2g\({\left( {\frac{x}{{{v_0}}}} \right)^2}\)。（1）代入数据，得 y₁ ≈ 0.034 m = 34 mm，小于靶的半径，所以能击中靶。

（2）代入数据，得 y₂ = 0.10 m = 100 mm，大于靶的半径，所以不能击中靶。

（3）为使子弹击中靶心，运动员瞄准时应考虑子弹飞行时竖直方向有下落的效果，所以应瞄准比靶心略高处。

命题意图：将射击运动中子弹的实际运动抽象为满足条件的平抛运动，体验基于经验事实与物理原理建构物理模型的思想，联系实际学以致用。

主要素养与水平：模型建构（Ⅲ）；科学推理（Ⅲ）；科学论证（Ⅲ）；科学本质（Ⅱ）。

 

14．如图所示，一架小型运输机以 v₀ = 180 km/h的速度水平飞行，在 h = 320 m高空向灾区投放救灾物资。（不计空气阻力，g 取 10 m/s²）

（1）为了将物资准确投到目标位置，应当在离该位置的水平距离多远处释放物资？

（2）物资落地时，速度的大小和方向如何？

【答案】

（1）应当在离目标位置水平距离 400 m处提前投放。

（2）v =  94.3 m/s．速度的方向与水平面的夹角约为 58°。

【解析】

分析：救灾物资做平抛远动。运用运动分解的方法，可以先算出物资在竖直方向分运动（自由落体运动）的时间，这就是物资平抛运动的飞行时间，也是水平方向运动的时间。在这段时间内，运输机水平匀速飞行的距离就是释放物资的位置与目标位置之间的水平距离。

解：（1）物资被投放后做平抛运动。建立如图所示的坐标系，根据平抛运动在竖直方向分运动的规律，物资在竖直方向的位移 y 与其运动时间 t 的关系为

\[y = \frac{1}{2}g{t^2}\]

当 y = h 时，物资落到地面，可知救灾物资的飞行时间

\[t = \sqrt {\frac{{2y}}{g}} = \sqrt {\frac{{2h}}{g}} = \sqrt {\frac{{2 \times 320}}{{10}}} {\rm{s}} = 8{\rm{s}}\]

根据平抛运动在水平方向分运动的规律，可知物资投放后到达目标位置的水平位移

\[x = {v_0}t\]

又 v₀ = 180 km/h = 50 m/s，得

\[x = 50 \times 8{\rm{m}} = 400{\rm{m}}\]

所以，为准确地将物资投送到目标位置，应当在离目标位置水平距离 400 m处提前投放。

（2）物资落地时速度的水平分量和竖直分量的大小分别为

\[{v_x} = {v_0},{v_y} = gt = \sqrt {2gh} \]

因此，物资落地的速度大小为

\[v = \sqrt {v_x^2 + v_y^2} = \sqrt {v_0^2 + 2gh} \]

代入数据，得

\[v = \sqrt {{{50}^2} + 2 \times 10 \times 320} {\rm{m/s}} \approx 94.3{\rm{m/s}}\]

物资落地时速度的方向与水平方向夹角 θ 的正切为

\[\tan \theta = \frac{{\sqrt {2 \times 10 \times 320} }}{{50}} = 1.6\]

代入数据，得

\[\tan \theta = \frac{{{v_y}}}{{{v_x}}} = \frac{{\sqrt {2gh} }}{{{v_0}}}\]

故                                                                         θ ≈ 58°

因此，救灾物资落地时速度的大小为 94.3 m/s．速度的方向与水平面的夹角约为 58°。

 

15．已知地球的半径R = 6.37×10³ km，上海位于北纬30°附近。问：

（1）位于赤道上的物体随地球自转的角速度和线速度分别是多大？

（2）位于上海的物体随地球自转的线速度是多大？

【答案】

（1）v₁ ≈ 463 m/s

（2）v₂ ≈ 401 m/s

【解析】

分析：地球自转时，随地球一起运动的所有物体都在绕着地轴做匀速圆周运动，因此，它们的角速度、周期均与地球的相同。而线速度的大小则与物体所处位置的地理纬度有关，如图5–29所示。

解：（1）物体随地球自转的周期 T = 24 h。根据做匀速圆周运动物体的角速度与周期的关系，可得赤道上物体的角速度为

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{24 \times 3600}}{\rm{rad/s}} \approx 7.27 \times {10^{ - 5}}{\rm{rad/s}}\]

设赤道上的物体随地球转动的线速度为 v₁，运动半径为 r₁，则有 r₁ = R。根据做匀速圆周运动物体的线速度与角速度的关系可得

\[{v_1} = \omega {r_1} = 7.27 \times {10^{ - 5}} \times 6.37 \times {10^6}{\rm{m/s}} \approx 463{\rm{m/s}}\]

（2）设位于上海的物体随地球转动的线速度为 v₂，运动半径为 r₂，由上海所在纬度，则有 r₂ = Rcos30°。根据做匀速圆周运动物体的线速度与角速度关系可得

\[{v_2} = \omega {r_2} = 7.27 \times {10^{ - 5}} \times 6.37 \times {10^6} \times {\rm{cos30}}^\circ {\rm{m/s}} \approx 401{\rm{m/s}}\]

 

16．对于做匀速圆周运动的两个物体，下列说法是否正确？

（1）角速度大的物体，线速度也一定大；

（2）周期大的物体，角速度也一定大？

【答案】

两种说法均错误。根据 v = ωr 可知，线速度还与运动半径有关，角速度大的物体如果运动半径很小，线速度有可能小；根据 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 可知，物体做匀速圆周运动，周期越大，角速度越小。

【解析】

命题意图：通过辨析，巩固对匀速圆周运动的线速度、角速度、周期之间关系的认识。

主要素养与水平：科学论证（Ⅱ）。

 

17．如图所示，餐桌上的自动转盘在电动机的带动下匀速转动，转盘上放有 A、B 两个茶杯？一位客人说两个茶杯运动得一样快，这个判断是否正确？简述理由。

【答案】

如果客人指的是两个茶杯的角速度一样大，则这个判断正确；如果客人指的是两个茶杯的线速度一样大，则这个判断不正确。两个茶杯随转盘一起运动，角速度都与转盘的角速度相同，但由于运动的半径不同，所以两个茶杯运动的线速度大小不同。比较做圆周运动物体的快慢时，应该说明比较的是角速度还是线速度。

【解析】

命题意图：讨论身边常见的情境有助于养成用物理知识理解身边事物的习惯。进一步理解线速度、角速度是从不同角度对圆周运动快慢进行描述的，培养从多角度看待事物的意识，增强运动的观念。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学论证（Ⅱ）。

 

18．钟表的时针针尖和秒针针尖的运动都可看作匀速圆周运动，试比较它们运动的周期和角速度的大小。

【答案】

时针针尖每 12 h 运动一圈，秒针针尖每 60 s 运动一圈，所以时针针尖运动的周期大。根据 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 即可得到时针针尖的角速度小。

【解析】

命题意图：建立匀速圆周运动的模型，关注身边的圆周运动，理解周期和角速度。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

19．某飞机在空中等待降落时，近似以 80 m/s 的速度做平行于地面的匀速圆周运动，圆周半径为 4 000 m。计算飞机运动的周期和角速度的大小。

【答案】

ω = 0.02 rad/s

【解析】

根据 T = \(\frac{{2\pi r}}{v}\) 可求得周期为 314 s。由 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 求得角速度为 0.02 rad/s。

命题意图：建立匀速圆周运动模型，运用公式计算周期和角速度。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）。

 

20．如图所示，一辆变速自行车有3个链轮和6个飞轮，链轮和飞轮的齿数如表所示。该自行车的前后轮周长均为2 m，设人脚踩踏板的转速为 1.5 r/s。

名称	链轮			飞轮
齿数	48	38	28	15	16	18	21	24	28

（1）当采用的链轮和飞轮齿数分别为48和24时，该自行车的行驶速度为多大？

（2）假设踏板的转速不变，通过选择不同的链轮和飞轮，该自行车行驶的最大速度与最小速度之比为多少？

【答案】

（1）v = 6 m/s

（2）\(\frac{{{v_{\max }}}}{{{v_{\min }}}}\) = \(\frac{16}{5}\)

【解析】

参考解答：（1）链轮与飞轮的齿数之比就是两轮的半径之比，r₁∶r₂ = 2∶1，链轮的转速与踏板的转速相同，为 n₁ = 1.5 r/s，其角速度 ω₁ = 2πn₁；传动中链轮边缘的线速度与飞轮边缘的线速度大小相等，即 ω₁r₁ = ω₂r₂；由后轮的周长 l 可求出其半径为 r₃ = \(\frac{l}{{2\pi }}\)，则自行车的行驶速度大小 v = ω₂r₃ = \(\frac{{{n_1}{r_1}l}}{{{r_2}}}\) = 2n₁l = 6 m/s。

（2）由 v = \(\frac{{{n_1}{r_1}l}}{{{r_2}}}\) 可知，r₁∶r₂ 取最大时自行车行驶速度最大，r₁：r₂ 取最小时自行车行驶速度最小，v_max = \(\frac{48}{15}\)n₁l，v_min = \(\frac{28}{28}\)n₁l，可得 \(\frac{{{v_{\max }}}}{{{v_{\min }}}}\) = \(\frac{16}{5}\)。

命题意图：从较为复杂的实际情境中建立匀速圆周运动模型，建议教师给学生有关自行车行驶速率与轮缘线速度大小之间关系的提示。通过分析、演绎的过程讨论自行车运动速率与链轮、飞轮各种组合的关系，培养科学思维，并为学期活动作铺垫。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

21．我们知道飞机的飞行速度远大于鸟的飞行速度。但我们观察近处的飞鸟和远处的飞机时，往往会觉得鸟比飞机飞得快。试解释这种现象。

【答案】

我们观察近处的飞鸟和远处的飞机时，在同一段时间内，眼睛与飞鸟连线转过的角度大于眼睛与飞机连线转过的角度，据此得出鸟比飞机快的结论，这是用角速度来判断飞鸟与飞机的快慢。而飞机的飞行速度远大于飞鸟的飞行速度，这个速度指的是线速度。实际上，在人们的潜意识里，往往以观察者自身为中心，将物体绕自己运动的角速度作为依据，来判断物体运动的快慢。

【解析】

命题意图：用学过的知识对生活中容易引起困惑的现象作出合理的解释，培养科学论证的能力。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

 

22．游乐场里有一种旋转飞椅，当飞椅以一定的速度旋转时，坐在飞椅上的游客在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。找出此时游客受到的向心力的来源。

【答案】

如图所示，以游客为研究对象，游客在水平面内做匀速圆周运动，其受到的向心力一定指向轨迹的圆心 O。根据受力分析，游客受到重力 G 和沿吊绳向上的弹力 F_N 的作用，它们的合力 F 就是游客所受的向心力，该合力一定在水平面内，并且指向 O 点。

 

23．如图所示，质量 m = 3 kg 的物体放在水平的转盘上，在半径 r = 2 m的圆周上以 v = 4 m/s 的速度随转盘做匀速圆周运动。求：

（1）物体的向心加速度大小；

（2）物体受到的静摩擦力。

【答案】

（1）a = 8 m/s²

（2）F_f = 24 N，方向始终指向圆心。

【解析】

（1）由于物体随转盘一起做匀速圆周运动，其向心加速度的大小

\[a = \frac{{{v^2}}}{r} = \frac{{{4^2}}}{2}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}} = 8{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]

（2）如图所示，物体受到三个力的作用，其中重力 G 和支持力 F_N 平衡，转盘对物体的静摩擦力 F_f 指向圆心，作为物体受到的向心力。

因此，由牛顿第二运动定律，物体受到的静摩擦力

\[{F_f} = ma = 3 \times 8{\rm{N}} = 24{\rm{N}}\]

静摩擦力的方向始终指向圆心。

 

24．试根据力、质量、速度和半径的单位，判断向心力公式 F = m\(\frac{{{v^2}}}{r}\) 是否合理。

【答案】

合理，因为 1 \(\frac{{{\rm{kg \times (m/s}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{m}}}\) = 1 kg·m/s² = 1 N

【解析】

命题意图：从物理量单位推演的角度理解物埋公式和物理量间的关系。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）。

 

25．关于向心加速度与半径的关系，甲同学认为，根据公式 a = ω²r 得 a 与 r 成正比；乙同学认为，根据公式 a = \(\frac{{{v^2}}}{r}\) 可得 a 与 r 成反比。试对这两种截然不同的说法做出评价。

【答案】

这两种结论都正确，但前提不同，在角速度相同的情况下，a 与 r 成正比；在线速度相同的情况下，a 与 r 成反比。

【解析】

命题意图：对两种截然不同的结论进行评价，引导学生全面考虑问题，形成在应用物理规律时要注重规律前提的意识，养成全面思考问题的科学态度。

主要素养与水平：质疑创新（Ⅰ）。

 

26．由于地球的自转，地球上的物体都有向心加速度，试回答：

（1）“在地球表面各处的向心加速度的方向都是指向地心的”，这种说法是否正确？为什么？

（2）在赤道和极地附近的向心加速度哪个大？为什么？

（3）在上海的物体由于地球自转而产生的向心加速度为多大？

【答案】

（1）不正确。处于地表不同纬度的物体做圆周运动的圆心位于地轴上的不同位置，随地球自转的物体的向心加速度方向在所在纬度平面内指向地轴。

（2）在赤道处物体的向心加速度比较大。因为不同位置物体的角速度相同，根据 a = ω²r，赤道处物体的运动半径大，所以向心加速度也大。

（3）上海位于北纬 30°附近，r = R_地cos30°，地球自转周期为 24 h，根据 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 和 a = ω²r，可求得 a ≈ 0.03 m/s²。

【解析】

命题意图：以物体随地球自转为情境，抽象出物理模型，加深对加速度的理解。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

 

27．有一种游乐项目，游客进入一个大型圆筒状容器后，紧靠竖直筒壁站立（图5–41）。当圆筒开始转动后，转速逐渐增大，游客会感到自己被紧紧地压在筒壁上，当转速增大到一定数值时，底板突然下落了几厘米，游客们惊奇地发现自己己竟然没有跟着底板一起下落！解释这一现象？

【答案】

人受到竖直向下的重力、指向圆心的弹力和竖直向上的摩擦力，向心力由这三个力的合力提供；或者说摩擦力和重力相互平衡，筒壁给人的弹力提供向心力。当转速足够大时，向心力的大小，即筒壁的弹力足够大，导致人和筒壁间的最大静摩擦力大于人受到的重力，人就不会往下掉。

【解析】

命题意图：综合应用静摩擦力、向心力的知识，解决生活中的实际问题，提高解决综合问题的能力。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

 

28．若旋转餐厅转动一周的时间约为 1 h，某顾客坐在离转轴距离约为 20 m 的座位上。计算该顾客受到的向心力与重力的比值。

【答案】

\(\frac{F}{G}\) ≈ 6.22×10⁻⁶

【解析】

参考解答：设顾客的质量为 50 kg。根据已知条件，他随餐厅做圆周运动的周期 T = 1 h = 3 600 s，运动半径 r = 20 m。由公式 F = mω²r 和 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 可得 F = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r。代入数据可得 F ≈ 3.05×10⁻³ N。向心力与重力的比值 \(\frac{F}{G}\) ≈ 6.22×10⁻⁶，可见这个比值非常小，所以顾客感觉不到。

命题意图：通过建模、估算，巩固向心力知识，讨论生活中的实际问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

29．线的一端系一个重物，手执线的另一端使重物在光滑水平桌面上做匀速圆周运动。在使重物运动周期相同的条件下，使用长线易断还是短线易断？为什么？

【答案】

长线易断。由向心力公式 F = mω²r 和 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 可得 F = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r。当周期相同时，线越长即重物做圆周运动的半径越大，所需向心力越大，线越容易断。

【解析】

命题意图：针对问题情境，选择适合的向心力公式解决问题。

主要素养与水平：科学论证（Ⅱ）。

 

30．在如图所示的装置中，A、B两个小球穿在光滑杆上并可沿杆滑动，两球之间用一根细线连接。甲、乙两位同学就“装置绕轴匀速转动时，如何能使两球相对光滑杆静止”这一问题展开讨论。甲认为，两个小球放置在任意位置都可以。乙则认为，两个小球只有放置在特定位置才可以。你赞同哪个观点？试为这个观点作进一步论证。

【答案】

乙的观点正确。两个小球只有放置在特定位置才可以相对杆静止。两球所受向心力均来自细线的拉力，大小相等；两球的角速度相等，根据公式 F = mω²r 可以得出两球做圆周运动的半径与两球的质量成反比，所以位置由两球的质量之比决定。

【解析】

命题意图：在真实情境中抽象出物理模型，综合运用圆周运动相关知识，经过分析、推理解决问题。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅲ）。

 

31．图（a）、（b）所示是高速公路上常见的限速标志，为什么在弯道出口处的限速件行与其他路段的限速有如此大的差异？

（a）

（b）

【答案】

汽车通过弯道出口时的运动可近似看作局部的圆周运动，速度越大需要的向心力就越大，如果不减速，地面不能提供足够的向心力，容易发生汽车冲出弯道的事故。

【解析】

命题意图：用圆周运动知识解释生活中的常见现象，巩固向心力的相关知识。

主要素养与水平：质疑创新（Ⅰ）；社会责任（Ⅱ）。

 

32．试解释下列常见现象。

（1）舞蹈演员在表演旋转动作时，裙子会张开。

（2）在雨中转动伞柄，伞面上的雨水会很容易被甩掉。

（3）满载黄沙的卡车急转弯时，部分黄沙会被甩出。

【答案】

（1）舞蹈演员旋转时，裙摆因得不到足够的向心力而做远离圆心的运动，裙子张开。

（2）转动伞柄，伞面对水的附着力不足以提供水所需的向心力，水就被甩离伞面。

（3）车辆急转弯时，黄沙做圆周运动，如得不到足够向心力，黄沙就会被甩出。

【解析】

命题意图：从实际情境中抽象物理模型，用物理语言解释生活中常见的现象，提升物理观念。

主要素养与水平：科学论证（Ⅱ）。

 

33．公路上有一段半径 r = 50 m的水平弯路，一辆质量 m = 2.0 × 10³ kg的汽车，其轮胎与路面间的最大静摩擦力 F_fmax = 1.4 × 10⁴ N，该汽车在这段弯路上行驶的最大安全速度为多大？

【答案】

v  ≈ 18.71 m/s

【解析】

参考解答：汽车受到的重力和支持力平衡，静摩擦力提供向心力。由公式 F_f = m\(\frac{{{v^2}}}{r}\) 可得，最大安全速度 v = \(\sqrt {\frac{{{F_{f\max }}r}}{m}} \) =  \(\sqrt {\frac{{1.4 \times {{10}^4} \times 50}}{{2.0 \times {{10}^3}}}} \) m/s ≈ 18.71 m/s。

命题意图：用向心力公式计算车辆转弯的最大安全速度，熟悉向心力公式，提升安全意识。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；社会责任（Ⅱ）。

 

34．列举一些生活中与离心现象有关的例子。

【答案】

高速转弯时赛车冲出赛道；长发女孩快速旋转时，头发会“飘”起来……

【解析】

命题意图：引导学生关注生活，理解离心现象。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）。

 

35．如图所示是一种可用于测定子弹速度的装置示意图，纸质圆筒绕中心轴 OOʹ 以角速度 ω 旋转，子弹以一定速度沿与轴线平行的方向从圆筒一个底面上的 A 点射入，从另一个底面上的 B 点射出，射出时 A、B 两点在圆筒上的位置如图中所示。若 A 点与 B 点所在半径的夹角为 θ，圆筒的长度为 l，求子弹的速度大小 v。

【答案】

v =  \(\frac{{l\omega }}{{2\pi n + \theta }}\)（式中 n 为正整数）

【解析】

参考解答：子弹的运动可看作匀速直线运动，纸筒匀速转动，子弹运动距离 l 的时间与纸筒转过 2πn + θ（n = 0，1，2，…）的时间相等，即 \(\frac{l}{v}\) = \(\frac{{2\pi n + \theta }}{\omega }\) ，解得 v =  \(\frac{{l\omega }}{{2\pi n + \theta }}\)（式中 n 为正整数）

命题意图：思考圆周运动的周期性问题，结合直线运动、圆周运动的规律解决比较复杂的问题，提升分析问题、解决问题的综合能力。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅲ）；科学推理（Ⅲ）。

 

36．如图所示，一质点在恒力 F 的作用下，由坐标原点以初速度 v₀ 沿曲线运动至 A 点。质点在 A 点的速度 v_t 方向恰与 x 轴平行，判断恒力 F 的方向是否可能沿 x 轴正方向或 y 轴正方向，并说明理由。

【答案】

如果 F 沿 x 轴，则质点在 y 轴方向的速度分量应不变，现 y 轴方向的速度分量减小，故 F 不沿 x 轴；如果 F 沿 y 轴正方向，则 y 轴方向的速度分量应增加，与题意不符。所以恒力 F 的方向既不可能沿 x 轴正方向，也不可能沿 y 轴正方向。

【解析】

命题意图：用牛顿第二定律分析曲线运动。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

37．两块相同的木块 A、B 置于水平转盘上，木块 A 到转轴的距离大于木块 B。在转盘越转越快的过程中，木块 A 先飞离转盘，分析说明造成这种现象的原因。

【答案】

A、B 均做匀速圆周运动，由题意可知 m_A = m_B，ω_A = ω_B，r_A > r_B，根据F = mω²r 可判定同一时刻 F_A > F_B；随着转盘越转越快，ω 增大，A、B 所需向心力均增大；又已知 A、B 与水平转盘间的最大静摩擦力相同，所以 A 所需向心力先超过最大静摩擦力的数值，会先飞离转盘。

【解析】

命题意图：理解情境，建立模型，运用向心力、离心现象以及静摩擦力的相关知识分析推理解决问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

38．三个物体 A、B、C 分别静止在北京、上海、广州，关于三个物体随地球自转的运动，试分析：

（1）角速度 ω_A、ω_B、ω_C 的大小关系；

（2）线速度 v_A、v_B、v_C 的大小关系；

（3）周期 T_A、T_B、T_C 的大小关系。

【答案】

（1）三个物体都随地球自转，所以 ω_A = ω_B = ω_C。

（2）由地理知识可知r_A < r_B < r_C，根据 v = ωr 可判定 v_A < v_B < v_C。

（3）物体的周期与地球自转周期相同，所以 T_A = T_B = T_C。

【解析】

命题意图：结合地理知识建立模型，巩固角速度、线速度、周期的概念。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

39．有一款手摇削笔器如图5–53所示，手柄的 BO 段长为 l，AB 段长为 d。一位同学转动手柄削铅笔，在 1 min 内匀速转动了 n 圈？

（1）写出手柄 A 处角速度和线速度大小的表达式；

（2）根据日常经验估算角速度和线速度的大小？

【答案】

（1）ω = \(\frac{{2\pi n}}{t}\)，v = \(\frac{{2\pi nl}}{t}\)

（2）以 OB 长 5 cm、手柄每 1 min 匀速转动80圈代入上述表达式，可估算得角速度、线速度大小分别为 8.4 rad/s、0.42 m/s。

【解析】

命题意图：培养从真实情境中抽象出物理模型的能力，学会用圆周运动规律估算日常情境中的问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

 

40．如图所示，在一条玻璃生产线上，宽 9 m 的成型玻璃板以 2 m/s 的速度向前匀速平移。在切割工序处，金刚石切割刀的移动速度为 10 m/s。为使割下的玻璃板呈矩形，问：

（1）切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向的夹角应为多大？

（2）切割一块玻璃需要多少时间？

【答案】

（1）切割刀位移轨迹与玻璃平移方向的夹角为 α，tanα = \(\frac{{{v_刀}}}{{{v_玻璃}}}\) = 5，所以 α = 78.7°。

（2）根据分运动与合运动的等时性，t = \(\frac{d}{{{v_刀}}}\) = 0.9 s。

【解析】

命题意图：在生产实际问题中分析什么是分运动、什么是合运动，运用运动合成与分解的方法和规律处理问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅱ）；科学本质（Ⅱ）。

 

41．一架飞机在无风的天气里以 120 m/s 的速度在距地面 250 m 处水平匀速飞行，向受雪灾影响的牧区投下成捆的干草。若忽略空气阻力，干草经过多少时间到达地面？干草落地时速度大小为多少？

【答案】

干草竖直方向为自由落体运动，t = \(\sqrt {\frac{{2h}}{g}} \) ≈ 7.14 s。干草落地时竖直方向的分速度为 v_y = \(\sqrt {2gh} \) =70 m/s，落地速度大小为 v_t = \(\sqrt {v_0^2 + v_y^2} \) ≈ 138.92 m/s。

【解析】

命题意图：体会运用运动合成与分解的方法研究平抛运动的事例。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学本质（Ⅱ）。

 

42．以速度 v₀ 沿水平方向抛出一物体，问：

（1）抛出多少时间后，物体水平方向和竖直方向的分速度大小相等？求此时物体的速度大小和方向。

（2）抛出多少时间后，物体水平方向和竖直方向的分位移大小相等？求此时物体的位移大小和方向。

（3）至少从多高处水平抛出物体，才会分别出现第（1）小题和第（2）小题中的情况。

【答案】

（1）t₁ = \(\frac{{{v_0}}}{g}\)； v_t = \(\sqrt 2 \)v₀，速度方向与水平方向成 45° 角斜向下

（2）t₂ = \(\frac{{2{v_0}}}{g}\)；s =  \(\frac{{2\sqrt 2 v_0^2}}{g}\)，位移方向与水平方向成45°角斜向下。

（3）y₁ = \(\frac{{v_0^2}}{g}\) ，y₂ = \(\frac{{2v_0^2}}{g}\) 

【解析】

参考解答：（1）由题意 v₀ = v_y = gt，，得 t₁ = \(\frac{{{v_0}}}{g}\)；此时速度大小为 v_t = \(\sqrt 2 \)v₀，速度方向与水平方向成 45° 角斜向下

（2）x = v₀t，y = \(\frac{1}{2}\)gt₂²，由题意 x = y，则 v₀t₂ = \(\frac{1}{2}\)gt₂²，得 t₂ = \(\frac{{2{v_0}}}{g}\)；此时 x = \(\frac{{2v_0^2}}{g}\)，物体位移大小为 s = \(\sqrt 2 \)x = \(\frac{{2\sqrt 2 v_0^2}}{g}\)，位移方向与水平方向成45°角斜向下。

（3）因 y = \(\frac{1}{2}\)gt²，所以至少从 y₁ = \(\frac{1}{2}\)gt₁² = \(\frac{{v_0^2}}{g}\) 高处抛出物体，第（1）小题的情况才能满足；至少从 y₂ = \(\frac{1}{2}\)gt₂² = \(\frac{{2v_0^2}}{g}\) 高处抛出物体，第（2）小题的情况才能满足。

命题意图：运用运动合成与分解的方法研究平抛运动的规律。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

43．如图所示，半径为 r 的圆筒 A 绕竖直中心轴匀速转动，筒的内壁上有一个质量为 m 的物体B。物块 B 一边随圆筒 A 转动，一边以竖直向下的加速度 a 下滑。若物体与筒壁间的动摩擦因数为 μ，圆筒 A 转动的角速度为多大？

【答案】

ω = \(\sqrt {\frac{{g - a}}{{\mu r}}} \)

【解析】

参考解答：对物体 B 进行受力分析：在竖直方向受到重力和滑动摩擦力的作用，水平方向受到垂直于筒壁指向轴心的弹力作用。根据牛顿第二定律，有 ma = mg – F_f 和 mω²r = F_N，另有 F_f = F_N。由此三式可解得 ω = \(\sqrt {\frac{{g - a}}{{\mu r}}} \)。

命题意图：在综合运用动力学知识解决问题中培养分析、综合的思维能力。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）。

 

44．用如图（a）所示的装置可以测定分子速率。在小炉 O 中，金属银熔化并蒸发。银原子束通过小炉的圆孔逸出，经过狭缝 S₁ 和 S₂ 进入真空的圆筒C。圆筒 C 可绕过 A 点且垂直于纸面的轴以一定的角速度转动。

（1）若已测出圆筒 C 的直径为 d、转动的角速度为 ω，银原子落在玻璃板 G 上的位置到 b 点的弧长为 s，写出银原子速率的表达式；

（2）若 d = 1 m，ω = 200π rad/s，s 约为圆筒周长的 \(\frac{1}{4}\)，估算银原子速率的数量级；

（3）如图（b）所示，银原子在玻璃板 G 上堆积的厚度各处不同。比较靠近 b 处与靠近 e 处的银原子速率哪个大，并说明理由。

【答案】

（1）v = \(\frac{{\omega {d^2}}}{{2s}}\)

（2）10² m/s。

（3）根据 v = \(\frac{{\omega {d^2}}}{{2s}}\) 即可确定，落点越靠近 b 处的原子的速率越大。

【解析】

参考解答：（1）银原子运动距离 d，所用时间与圆筒转过弧长，所用时间相等，即：

\(\frac{d}{v}\) = \(\frac{s}{{\frac{d}{{2\omega }}}}\)，可解得 v = \(\frac{{\omega {d^2}}}{{2s}}\)。

（2）将已知数据代入上述表达式可得银原子速率的数量级为 10² m/s。

（3）根据 v = \(\frac{{\omega {d^2}}}{{2s}}\) 即可确定，落点越靠近 b 处的原子的速率越大。

命题意图：从真实情境中抽象出圆筒的圆周运动和分子的匀速直线运动，并能建立两者的联系。培养抽象建模、逻辑推演的思维能力。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅲ）；科学推理（Ⅲ）。

 

45．某同学利用电磁定位板研究某物体的抛体运动，得到了如表5–6所示的一组数据，相邻数据对应的时间间隔均为 0.02 s。类比平抛运动的研究过程，分析说明这个物体的运动在水平方向和竖直方向上的运动特点。

x/m	0.009	0.036	0.062	0.088	0.114	0.140	0.166	0.192	0.217	0.243	0.268	0.293
y/m	0.004	0.025	0.040	0.061	0.052	0.065	0.065	0.062	0.055	0.044	0.028	0.010

【答案】

在水平方向上，此物体在连续相等时间内运动的位移近似相等，所以水平方向为匀速直线运动；在竖直方向上，此物体在连续相等时间内运动的位移先减小，再反方向增大（可能是斜上抛运动）。

【解析】

命题意图：通过对实验数据的分析，判断物体的运动规律，提升实验探究能力。

主要素养与水平：证据（Ⅲ）；解释（Ⅲ）。

 

46．如图所示，将小球从倾角为 45°、高 1.8 m 的斜面顶端 A 处水平抛出，刚好落在斜面底端 B 处。

（1）抛出后经过多少时间，小球的速度方向恰好与斜面平行？

*（2）小球在运动过程中离斜面的最大距离是多少？

【答案】

（1）t₁ ≈ 0.30 s

（2）H ≈ 0.31 m

【解析】

参考解答：小球从 A 处水平抛出，刚好落在斜面底端 B 处，在竖直方向的分运动 h = \(\frac{1}{2}\)gt²，得 t = \(\sqrt {\frac{{2h}}{g}} \) ≈ 0.61 s，水平方向的分运动 x = v₀t，得 v₀ = \(\frac{x}{t}\) = \(\frac{{h\cot 45^\circ }}{t}\) ≈ 2.95 m/s。

（1）小球运动过程中速度与斜面平行时，其速度方向与水平方向成 45°角，所以 v₀ = v_y = gt₁，得 t₁ = \(\frac{{{v_0}}}{g}\) ≈ 0.30 s。

（2）小球运动过程中离斜面距离最大时就是第（1）小题结论的位置。可用另一种运动分解的思路：把小球的运动分解为沿斜面的匀加速直线运动，和垂直于斜面向上的匀减速直线运动。因此，只要求出垂直于斜面向上运动的最大高度就可回答第（2）小题的设问。垂直于斜面运动初速度分量 v_y = vsin45°，加速度分量 a_y = gcos45°，根据匀变速直线运动的规律 0 = v_y² − 2a_yH，解得 H ≈ 0.31 m。

命题意图：研究比较复杂的平抛运动问题，体会模型建构的思想，体验从不同的角度思考问题，培养科学的态度。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

47．如图所示为排球比赛场地示意图。球场总长 18 m，网高 2.43 m。运动员在离网 3 m处（前排 3 m 线）跳起并沿水平方向将排球击出，击球点的高度为 3.23 m。试讨论击出排球的水平初速度在什么范围内才能使排球既能过网又不会出界？

【答案】

7.42 m/s 和 14.78 m/s 之间

【解析】

参考解答：假设击球方向垂直于网面，根据平抛运动的规律，竖直方向分运动为自由落体运动 h = \(\frac{1}{2}\gt²，得 t =  \(\sqrt {\frac{{2h}}{g}} \)；水平方向分运动为匀速直线运动 v₀ = \(\frac{x}{t}\)，由此得 v₀ = x\(\sqrt {\frac{g}{{2h}}} \)。由题意可知，若排球恰能过网：x₁ = 3 m，h₁ = （3.23 − 2.43） m = 0.8 m，代入数据得 v₀ = x₁\(\sqrt {\frac{g}{{2{h_1}}}} \) ≈ 7.42 m/s；若排球恰好不出界：x₂ =  （3 + 9） m = 12 m，h₂ = 3.23 m，代入数据得 v₀ = x₂\(\sqrt {\frac{g}{{2{h_2}}}} \) ≈ 14.78 m/s。所以击出排球的水平初速度大小应在 7.42 m/s 和 14.78 m/s 之间。

命题意图：将一个比较复杂的排球实际运动抽象为满足题设条件的平抛运动，体验基于经验事实与物理原理建构物理模型的思想，联系实际学以致用。

主要素养与水平：模型建构（Ⅳ）；科学推理（Ⅲ）；科学本质（Ⅲ）；科学态度（Ⅱ）。

 

48．17世纪，天文学家哈雷观察到一颗彗星，这颗彗星绕太阳运行的轨道示意图如图所示。彗星最近飞临地球的时间是在1986年。在如图位置飞临地球阶段，彗星运动速度的大小如何变化？简述理由。

【答案】

暂无

 

49．判断下列关于行星绕太阳运动的描述是否正确，并说明理由。

（1）太阳处于椭圆轨道的中心。

（2）所有行星在同一椭圆轨道上运动。

（3）轨道半长轴越短的行星周期越长？

（4）行星从近日点运动到远日点过程中速率逐渐减小。

【答案】

暂无

 

50．天文学家发现一颗小行星沿近似圆形轨道绕太阳运行，测得该轨道的平均半径约为地球公转轨道半径的 3 倍。这颗小行星绕太阳运行的周期大约是多少年？

【答案】

暂无

 

51．已知地球的质量 m_地 = 5.972 × 10²⁴ kg，地球半径 r_地 = 6.371 × 10⁶ m。利用万有引力定律计算地球表面重力加速度 g 的大小。

【答案】

9.81 m/s²

【解析】

分析：地球表面的物体所受到的重力近似等于地球对物体的万有引力。由引力常量、地球质量和半径可以计算地球表面的重力加速度。

解：设地球上有一物体的质量为 m，物体所受重力为 mg，地球对物体的万有引力为 G\(\frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}\)，由 mg = G\(\frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}\) 可得

\[g = G\frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}} = 6.67 \times {10^{ - 11}} \times \frac{{5.972 \times {{10}^{24}}}}{{{{(6.371 \times {{10}^6})}^2}}}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2} \approx 9.81{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]

 

52．“我们说苹果落向地球，而不说地球向上运动碰到苹果，是因为地球的质量比苹果大得多，地球对苹果的引力比苹果对地球的引力大得多。”这种说法对吗？为什么？

【答案】

这种说法错误。首先，运动是相对的，如果以苹果为参照物，可以说地球向苹果运动。其次，地球和苹果间的万有引力大小与它们质量的乘积成正比，是作用力与反作用力，两者大小相等。人是站在地球上的，一般以地球为参照物，观察到的是苹果落向地球，所以从这个角度，我们一般说“苹果落向地球，而不说地球向上运动碰到苹果”。

【解析】

命题意图：通过该问题的讨论，进一步体会万有引力的大小与两个相互作用物体的质量的乘积成正比，不是由各自的质量大小决定的。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；解释（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

 

53．简述如何在卡文迪什扭秤实验中用“放大法”测量 T 形架转动的微小角度。

【答案】

如教材图所示，采用的方法是利用 T 形架上的平面镜 M 对入射光的反射，以“放大”石英丝扭转的微小角度。装置有两个效果：①反射光的偏转角是平面镜偏转角的 2 倍，这是第一次“放大”；②标尺离乎面镜越远，光点移动距离越大，此为第二次“放大”。只要测量光点移动的距离，根据光路的几何关系即可计算石英丝扭转的微小角度。

【解析】

命题意图：通过此实验“放大法”的描述，进一步了解卡文迪什扭秤实验设计的精妙之处，体验物理实验的创新性设计思想。

主要素养与水平：问题（Ⅰ）；证据（Ⅰ）；解释（Ⅱ）。

 

54．根据天文观测，在距离地球 430 1.y. 处有两颗恒星，它们的质量分别为 1 × 10³¹ kg 和6.4 × 10³⁰ kg，半径分别为 4.86 × 10¹⁰ m 和 2.4 × 10⁹ m，它们之间的距离为 7.57×10¹² m。能否用万有引力定律直接计算它们之间的万有引力大小？（1.y. 为长度单位光年的符号，即光在一年内传播的距离，1 1.y. = 9.46 × 10¹⁵ m）

【答案】

能。F ≈ 7.45×10²⁵ N。

【解析】

参考解答：能。万有引力定律表述的是两个质点间的吸引力，而两颗恒星的尺度远小于彼此间的距离，可视为质点。根据万有引力定律得两颗恒星间的万有引力

F = G\(\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\) = 6.67×10⁻¹¹×\(\frac{{1 \times {{10}^{31}} \times 6.4 \times {{10}^{30}}}}{{{{(7.57 \times {{10}^{12}})}^2}}}\) N ≈ 7.45×10²⁵ N。

命题意图：从已知条件中提炼有用信息，应用万有引力定律解决问题，并了解在宇观尺度中万有引力定律的应用，以及天体之间万有引力大小的数量级。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

55．氢原子是由一个质子和一个电子组成的，质子的质量是 1.7 × 10⁻²⁷ kg，电子的质量是9.1 × 10⁻³¹ kg。在氢原子中，电子和质子相距约5.9 × 10⁻¹¹ m，两者间的万有引力有多大？

【答案】

F  ≈ 2.96×10⁻⁴⁷ N

【解析】

参考解答：F = G\(\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\) = 6.67×10⁻¹¹×\(\frac{{1.7 \times {{10}^{-27}} \times 9.1 \times {{10}^{-31}}}}{{{{(5.9 \times {{10}^{-11}})}^2}}}\) ≈ 2.96×10⁻⁴⁷ N

命题意图：通过氢原子的质子和电子之间万有引力大小的计算，体会在微观粒子中万有引力大小的数量级。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

56．我们知道，任何两个物体间一定存在万有引力。为什么图中放在水平地面上的两个铅球没有因为万有引力而吸引在一起？它们的万有引力与重力之比约为多少？

【答案】

\(\frac{F}{G}\) ≈ 3.41×10⁻¹¹。可见两铅球间的万有引力远小于自身的重力，在水平地面上不可能克服铅球受到的摩擦阻力而运动，所以它们不可能吸引在一起。

【解析】

参考解答：每个铅球的质量约为 5 kg，若取两个铅球相距 1 m 放置，根据万有引力定律计算它们之间的万有引力 F = G\(\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\) = 6.67×10⁻¹¹×\(\frac{{5 \times 5}}{{{1^2}}}\) ≈ 1.67×10⁻⁹ N；万有引力与重力之比 \(\frac{F}{G}\) = \(\frac{{1.67 \times {{10}^{ - 9}}}}{{5 \times 9.8}}\) ≈ 3.41×10⁻¹¹。可见两铅球间的万有引力远小于自身的重力，在水平地面上不可能克服铅球受到的摩擦阻力而运动，所以它们不可能吸引在一起。

命题意图：根据生活常识，通过建立简单的物理模型计算两铅球间的万有引力大小加以判断，感受在我们生活空间里的万有引力大小的数量级，提高“问题、证据、解释”等科学探究的素养。

主要素养与水平：问题（Ⅱ）；证据（Ⅱ）；解释（Ⅱ）。

 

57．地球的质量约为月球质量的 81 倍，假设月球探测器“嫦娥一号”沿地月连线飞行，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，“嫦娥一号”与地心和月心之间的距离之比为多少？

【答案】

9

【解析】

参考解答：“嫦娥一号”与地心和月心间的距离分别为r₁、r₂。由题意 G\(\frac{{{m_地}{m_0}}}{{r_1^2}}\) = G\(\frac{{{m_月}{m_0}}}{{r_2^2}}\)，得 \(\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\) = \(\sqrt {\frac{{{m_地}}}{{{m_月}}}} \) ≈ 9。

命题意图：运用万有引力定律讨论“嫦娥一号”探月飞行的实际问题，同时体现对科学本质与社会责任方面素养的培养。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）；科学本质（Ⅱ）。

 

58．我国于1970年4月发射的第一颗人造地球卫星“东方红一号”（图6–16）可近似看成沿圆轨道做匀速圆周运动，这颗卫星离地球表面的平均高度 h = 1.41 × 10⁶ m。已知地球半径 r_地 = 6.37 × 10⁶ m．地球质量 m_地= 5.97 × 10²⁴ kg，求该卫星绕地球运行的速度和周期。

【答案】

v = 7.15×103 m/s，T = 114 min

【解析】

分析：卫星受到地球的万有引力提供其绕地球运行的向心力。根据万有引力定律和向心力表达式，可以计算卫星的速度和周期。

解：卫星绕地球做匀速圆周运动轨道的平均半径 r = r_地 + h = （6.37 × 10⁶ + 1.41 × 10⁶）m = 7.78 × 10⁶ m

设卫星质量为 m，卫星绕地球运行速度为 v，由于卫星受到地球的万有引力即为其绕地球运行的向心力，有

\[G\frac{{m{m_地}}}{{{r^2}}} = m\frac{{{v^2}}}{r}\]

则

\[v = \sqrt {\frac{{G{m_地}}}{r}} = \sqrt {\frac{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 5.97 \times {{10}^{24}}}}{{7.78 \times {{10}^6}}}} \approx 7.15 \times {10^3}{\rm{m/s}}\]

由匀速圆周运动的周期公式，得卫星绕地球运行的周期

\[T = \frac{{2\pi r}}{v} = \frac{{2 \times 3.14 \times 7.78 \times {{10}^6}}}{{7.15 \times {{10}^3}}}{\rm{s}} \approx 6.83 \times {10^3}{\rm{s}} \approx 114\min \]

 

59．已知月球半径为 1.7 × 10⁶ m，质量为 7.3 × 10²² kg，则月球表面的重力加速度为多大？猜想并描述登月航天员在月球表面的行动会是怎样的情形。

【答案】

g_月 ≈ 1.68 m/s²

 

【解析】

参考解答：物体在月球表面，有 mg_月 = G\(\frac{{{m_月}m}}{{r_月^2}}\)，则 g_月 = G\(\frac{{{m_月}}}{{r_月^2}}\) = 6.67×10⁻¹¹×\(\frac{{7.3 \times {{10}^{22}}}}{{{{(1.7 \times {{10}^6})}^2}}}\) m/s² ≈ 1.68 m/s²。

由于月球表面的重力加速度为 1.68 m/s²，约为地球表面重力加速度的 \(\frac{1}{6}\)，所以航天员在月球上受到的重力也仅为地球上重力的 \(\frac{1}{6}\)。若航天员在月球表面按地球上的习惯行走，会有飘浮感，不容易掌握平衡，一不小心就会跌倒。

命题意图：运用万有引力定律讨论在月球上行走的实际问题，体会万有引力在生活中的作用，培养学生对物理问题进行猜想、假设，然后做出解释的科学探究能力。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；问题（Ⅰ）；解释（Ⅱ）。

 

60．已知海王星以近似圆轨道绕太阳运行，半径为 4.50 × 10¹² m。已知太阳的质量为 1.99 × 10³⁰ kg，试计算海王星绕太阳运行的周期。

【答案】

T ≈ 5.21×10⁸ s ≈ 165 y

【解析】

参考解答：太阳对海王星的万有引力提供海王星绕太阳运行的向心力，有 G\(\frac{{{m_日}m}}{{r^2}}\) = ma = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r，得 T = 2π\(\sqrt {\frac{{{r^3}}}{{G{m_日}}}} \) = 2×3.14×\(\sqrt {\frac{{{{(4.5 \times {{10}^{12}})}^3}}}{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 1.99 \times {{10}^{30}}}}} \) s ≈ 5.21×10⁸ s ≈ 165 y。

命题意图：体会万有引力定律与匀速圆周运动规律相结合在天文学上的应用与研究。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅱ）。

 

61．若某人造地球卫星因某种原因绕地球运行的圆形轨道半径逐渐减小，分析说明该卫星运行速率和周期的变化情况。

【答案】

速率 v 增大，周期 T 减小。

【解析】

参考解答：人造卫星绕地球做圆周运动是由万有引力提供向心力。卫星在轨道半径 r 减小的过程中，万有引力对卫星做正功，卫星的动能增大，所以该卫星的速率 v 增大。根据 G\(\frac{{{m_地}m}}{{r^2}}\) = ma = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r，得 \(\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}}\) = \(\frac{{Gm_地}}{{4{\pi ^2}}}\) 为常量，因为 r 减小，所以卫星运行周期 T 减小。

命题意图：加深对万有引力定律的理解，进一步体会研究人造卫星的运行与研究天体的运动一样，它们在太空的运行都是由万有引力提供向心力（如仅根据匀速圆周运动的规律分析问题，结果可能会出错）。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学本质（Ⅱ）。

 

62．根据章首图的说明和地球质量与半径的数据，估算“神舟十一号”飞船与“天宫二号”空间站对接处距地面的高度。

【答案】

h  ≈ 3.89×10⁵ m

【解析】

参考解答：由章首图中信息可知，“神舟十一号”与“天官二号”对接时相对于地面的速率为 7.67 km/s。地球半径 R = 6.37×10⁶ m，飞船与空间站距地面高度为 h，根据万有引力提供向心力，有 G\(\frac{{{m_地}m}}{{{{(R + h)}^2}}}\) = m\(\frac{{{v^2}}}{{R + h}}\)，又有 g = G\(\frac{{{m_地}}}{{{R^2}}}\)，可得 h = \(\frac{{gR}}{{{v^2}}}\) − R ≈ 3.89×10⁵ m。

命题意图：运用万有引力定律解决相关问题，回顾章首图所展示的情境并加以讨论，起刭前后呼应的学习效果。既了解了空间站的一些数据，又感受到我国航天技术赶超世界先进水平的速度。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学本质（Ⅱ）。

 

63．在北斗卫星导航系统中，北斗 –G6 卫星在赤道上方约 3.59×10⁴ km 处的圆形轨道上运行，恰好相对于地球表面静止不动，是一颗“地球同步卫星”？分析说明该卫星为什么是“静止不动”的。

【答案】

根据万有引力提供向心力 G\(\frac{{{m_地}m}}{{{{(R + h)}^2}}}\) = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)(R + h)，由题设已知 h ≈ 3.59×10⁷ m。又有 g = G\(\frac{{{m_地}}}{{{R^2}}}\)，可得此北斗卫星运行的周期为 T = \(\frac{{2\pi }}{R}\sqrt {\frac{{{{(R + h)}^3}}}{g}} \)，代入数据得周期约为 24 h。这与地球自转周期相等，所以它相对于地球表面是静止不动的，叫“地球同步卫星”。

【解析】

命题意图：了解地球同步卫星的特点，初步知道我国北斗卫星导航系统的组成。

主要素养与水平：问题（Ⅱ）；证据（Ⅱ）；解释（Ⅱ）。

 

64．在牛顿“抛苹果”的理想实验中，用于抛苹果的装置必须安置在距地面高 150 km的“高山之巅”（地球半径为 6.37×10³ km），才能忽略空气阻力。抛出苹果的初始速率达到多大时，苹果才能回到原处？苹果再次回到装置处需要多少时间？

【答案】

v ≈ 7.81×10³ m/s。t ≈ 5.24×10³ s。

【解析】

参考解答：距地面 150 km 高处的空气密度是地面空气密度的 \(\frac{1}{300 000}\)，所以可以忽略空气阻力。水平抛出的苹果要回到原处，必须使其绕地球做匀速圆周运动。由题意可知，苹果匀速圆周运动的半径为 r = 6.37×10³ km + 150 km = 6.52×10⁶ m，根据万有引力提供向心力，有 G\(\frac{{{m_地}m}}{{{r^2}}}\) = m\(\frac{{{v^2}}}{r}\)，又有 g = G\(\frac{{{m_地}}}{{{R^2}}}\)，则其所需速度 v = R\(\sqrt {\frac{g}{r}} \) = 6.37×10⁶×\(\sqrt {\frac{{9.8}}{{6.52 \times {{10}^6}}}} \) m/s ≈ 7.81×10³ m/s。回到原处所需时间 t = T = \(\frac{{2\pi r}}{v}\) ≈ 5.24×10³ s。

命题意图：学习万有引力定律的应用以后，回顾牛顿假设的合理性。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅲ）；模型建构（Ⅲ）；科学推理（Ⅲ）。

 

65．根据万有引力定律证明开普勒第三定律。

【答案】

某行星运行时万有引力提供向心力，G\(\frac{{{m_日}m}}{{{r^2}}}\) =  m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r，得 \(\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}}\) = \(\frac{{G{m_日}}}{{4{\pi ^2}}}\)，为常量，所以得证。

【解析】

命题意图：了解万有引力定律是关于宏观物体运动及相互作用的一条基本的定律。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

66．“火卫一”“火卫二”沿近似圆形轨道绕火星运行的周期分别是 7 h 39 min和 30 h 18 min，分析比较“火卫一”“火卫二”向心加速度的大小。

【答案】

根据向心加速度 a = ω²r = \(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r 和 r³ ∝ T²，得 a ∝ \(\frac{1}{{\sqrt[3]{{{T^4}}}}}\)，所以“火卫一”的向心加速度大于“火卫二”的向心加速度。

【解析】

命题意图：了解天体运动规律中周期、轨道半径、向心加速度等物理量之间的正确关系。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅱ）。

 

67．分析说明为什么第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度。

【答案】

由 G\(\frac{{{m_地}m}}{{{r^2}}}\) = m\(\frac{{{v^2}}}{r}\)，可知 v² ∝ \(\frac{1}{r}\)，所以最小轨道半径 r = R_地 时，人造卫星有最大运行速度。

【解析】

命题意图：了解人造卫星运行速度与第一宇宙速度的关系。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学本质（Ⅱ）。

 

68．月球绕地球运行是因为万有引力的作用。那么质量较大的地球吸引月球的力是否比月球吸引地球的力更大些呢？清作出解释。

【答案】

否。万有引力定律告诉我们，万有引力的大小与两个物体质量的乘积成正比，是两物体间的相互作用，所以地球对月球的吸引力与月球对地球的吸引力大小相等，方向相反。

【解析】

命题意图：通过辨析，进一步领会万有引力定律的内涵。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学本质（Ⅱ）；解释（Ⅱ）。

 

69．质量为 m 的人造地球卫星，在距地面 h 高处绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为 R，求：

（1）该卫星受到的向心力大小；

（2）该卫星绕地球运行的速率；

（3）该卫星绕地球运行的周期。

【答案】

（1）F = \(\frac{{mg{R^2}}}{{{{(R + h)}^2}}}\)

（2）v = R\(\sqrt {\frac{g}{{R + h}}} \)

（3）T = \(\frac{{2\pi }}{R}\sqrt {\frac{{{{(R + h)}^3}}}{g}} \)

【解析】

（1）卫星的向心力由万有引力提供，F = \(\frac{{G{m_地}m}}{{{{(R + h)}^2}}}\)，因为 g = \(\frac{{G{m_地}}}{{{{R}^2}}}\)，所以 得 F = \(\frac{{mg{R^2}}}{{{{(R + h)}^2}}}\)

（2）由 F = \(\frac{{mg{R^2}}}{{{{(R + h)}^2}}}\) = m\(\frac{{{v^2}}}{{R + h}}\)，得卫星运行的速率 v = R\(\sqrt {\frac{g}{{R + h}}} \)

（3）卫星的周期 T = \(\frac{{2\pi (R{\rm{ + }}h)}}{v}\) = \(\frac{{2\pi }}{R}\sqrt {\frac{{{{(R + h)}^3}}}{g}} \)

命题意图：运用万有引力定律研究人造地球卫星在轨运行时力和运动的规律。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

70．在太阳系中，火星与木星轨道之间的空间由小行星带占据，该小行星带轨道半径的延伸范围约从 2.5 AU 到 3 AU（1 AU 为地球到太阳的平均距离）。试计算该空间内小行星绕太阳运行的周期范围。

【答案】

1.3×10⁸～1.7×10⁸ s。

 

【解析】

参考解答：1 AU = 1.5×10¹¹ m，由题意，小行星轨道半径范围是 2.5～3 AU，即3.75×10¹¹～4.5×10¹¹ m，太阳质量 m_日 = 1.96×10³⁰ kg，根据 G\(\frac{{{m_日}m}}{{{r^2}}}\) = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r，得 T = 2π\(\sqrt {\frac{{{r^3}}}{{G{m_日}}}} \)，代入数据得小行星运行周期范围是 1.3×10⁸～1.7×10⁸ s。

命题意图：学习了万有引力定律后，通过计算了解太阳系中小行星的一些常识性知识。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学本质（Ⅱ）。

 

71．为了研究如图所示的木星“大红斑”，要发射一颗能绕木星同步运行的卫星进行观测。已知木星自转周期约为 9.8 h，质量约为地球质量的 320 倍，半径约为地球半径的 11 倍。又已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.65 倍，则这颗木星同步卫星的轨道半径约为木星半径的多少倍？

【答案】

r ≈ 2.3R

【解析】

参考解答：根据 \(\frac{{G{m_木}m}}{{{r^2}}}\) = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r，得 r = \(\sqrt {\frac{{G{m_木}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \)，其中 m_木 = 320m_地 = 320×5.97×10²⁴ kg，木星的同步卫星周期与木星自转周期相同 T = T_木 = 9.8 h = 3.53×10⁴ s，代入数据，计算可得此同步卫星轨道半径 r ≈ 1.6×10⁸ m。由题意，木星半径 R = 11R_地 ≈ 7.0×10⁷ m，所以 r ≈ 2.3R。

命题意图：运用万有引力定律计算并了解木星同步卫星的规律，提升分析和解决较复杂问题的能力。

主要素养与水平：模型建构（Ⅲ）；科学推理（Ⅲ）。

 

72．若某天体飞临某个行星并进入行星表面附近的圆形轨道，观测到该天体绕行星运行一周所用的时间为 T，如何估算这颗行星的密度？

【答案】

ρ = \(\frac{{3\pi }}{{G{T^2}}}\)

【解析】

参考解答：设行星质量为 m₁，半径为 R，则其密度 ρ = \(\frac{m_1}{V}\) = \(\frac{{3{m_1}}}{{4\pi {R^3}}}\)。某天体在该行星表面附近绕行星运行，可认为轨道半径等于此行星半径，有 \(\frac{{G{m_1}{m_2}}}{{{R^2}}}\) = m₂\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)R，得 \(\frac{{{m_1}}}{{{R^3}}}\) = \(\frac{{4{\pi ^2}}}{{G{T^2}}}\)，所以该行星的密度 ρ = \(\frac{{3\pi }}{{G{T^2}}}\)。

命题意图：体会通过天体绕行星运动的规律计算该行星的密度，本题与教材第42页“大家谈”呼应。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

73．阅读材料：“神舟五号”是我国第一艘载人飞船，总长 9.2 m，总质量 7.79 × 10³ kg，装有 52 台发动机，能精确调整飞船的飞行姿态和运行轨道。其返回舱直径 2.5 m，容积约为 6 m³。“神舟五号”飞船在太空中在轨运行了 14 圈，历时 21 h 23 min，经受了 180 ℃ 的温差考验，最终“神舟五号”的返回舱安全返回地面。

已知地球半径为 6.37 × 10⁶ m，请根据以上信息，计算“神舟五号”在轨运行时距地面的高度，以及飞船运行时的速度大小。

【答案】

h ≈ 3.59×10⁵ m。v ≈ 7.69×10³ m/s。

 

【解析】

参考解答：由材料信息可得，“神舟五号”运行周期 T = 5.5×10³ s。根据 \(\frac{{G{m_地}m}}{{{{(R + h)}^2}}}\) = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)(R + h) 和 g = G\(\frac{{{m_地}}}{{{R^2}}}\)，得“神舟五号”距地面高度 h = \(\sqrt[3]{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\) – R ≈ 3.59×10⁵ m。根据 v = \(\frac{{2\pi (R{\rm{ + }}h)}}{T}\)，得飞船运行速度 v ≈ 7.69×10³ m/s。

命题意图：通过阅读给定的材料，从中提炼出解决问题的有用信息，并用之解决实际问题。培养学生根据问题获取信息、处理信息、解决问题的能力。

主要素养与水平：模型建构（Ⅲ）；科学推理（Ⅲ）；问题（Ⅲ）；解释（Ⅲ）。

 

74．简要论述地球同步卫星在轨正常运行时需要满足的物理条件。

【答案】

所谓“地球同步卫星”，就是在绕地球运行时相对于地球表面静止不动。首先，因为卫星运行时圆轨道的圆心是地心，要相对于地球表面静止不动，其运行的轨道必须与地球赤道平面共面，所以同步卫星必须在地球赤道上空。其次，卫星运行的周期必须与地球自转的周期相等，所以周期 T = 24 h；根据万有引力提供向心力，\(\frac{{G{m_地}m}}{{{{(R + h)}^2}}}\) = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)(R + h) 和 g = G\(\frac{{{m_地}}}{{{R^2}}}\)，可得 h = \(\sqrt[3]{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\) – R，代入数据可得卫星应在赤道上空约 h ≈ 3.58×10⁷ m 高处。其运行的速率为 v = \(\frac{{2\pi (R{\rm{ + }}h)}}{T}\) ≈ 3.07×10³ m/s。

【解析】

命题意图：通过对卫星相对于地球“同步”的全面讨论，体验对联系实际问题的全面思考，包括建构物理模型，进行科学推理、科学论证并作出合理解释等过程。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）；科学本质（Ⅲ）。

 

75．通过对前人观测记录的艰苦研究，开普勒终于从大量复杂的观测数据中发现了行星运动的规律。如今，我们借助现代化的数据处理技术，可以快捷地获得太阳系八颗行星的轨道半径（将行星的轨道近似看成圆形轨道）与绕日公转周期之间的关系。太阳系行星轨道的平均半径 R 和行星绕日公转周期 T 的现代测量值如表所示。将表中的 R 和 T 分别取常用对数，分析 lgR 与 lgT 之间的关系并回答以下问题。

（1）如何运用上述数据分析的结果验证开普勒第三定律？

（2）在数据处理的过程中，为什么用 lgR 与 lgT 的关系替代 R 与 T 的关系？简述理由。

行星	轨道的平均半径 R / ×106 km	绕日公转周期 T / 年
水星	57.9	0.24
金星	108	0.615
地球	150	1.00
火星	228	1.88
木星	778	11.9
土星	1 430	29.5
天王星	2 870	84.0
海王星	4 500	165

【答案】

（1）可运用图像法处理数据，画出 lg R–lg T 图像，并分析它们的关系来验证开普勒第三定律；

（2）因为把表中 R 和 T 的数据转换为 lg R 和 lg T 后，它们的对数函数关系是简单的线性关系，通过图线的斜率即可研究 R 和 T 的函数关系（注：根据画出的图像，得到图线的斜率为 ，即可验证开普勒第三定律）

【解析】

命题意图：体验科学探究中根据提出的物理问题进行假设，并思考如何运用数学知识进行信息处理的过程（本题可以只要求学生说出方案，不要求具体验证）。

主要素养与水平：问题（Ⅲ）；证据（Ⅲ）；解释（Ⅲ）。

 

76．如图所示，工人将重 G = 100 N、装满棉花的包裹沿离地高 h = 1 m的水平平台由静止开始从 A 处推至平台边缘 B 处，A、B 间的距离为 4 m；工人对包裹施加恒定的推力，推力大小 F = 50 N，推力与水平面的夹角 θ = 37°；包裹到达 B 处时，撤去推力，包裹随即在重力作用下落至水平地面上的 C 处。若包裹与平台间的动摩擦因数 μ = 0.2，分别求出作用于包裹的各个力所做的功，以及这些力所做的总功。（忽略空气阻力）

【答案】

W_G =  0 J，W_N = 0 J，W_F = 160 J，W_f = −104 J，W = 156 J

【解析】

分析：包裹自 A 处被推至 B 处的过程中受四个恒力作用，包裹由 B 落至 C 的过程中仅受重力作用。通过受力分析，只要明确各个力与位移的夹角，即可运用恒力做功的公式计算各力所做的功，这些力所做功的代数和就是它们对包裹所做的总功。

解：以包裹为研究对象，包裹由 A 运动至 B 过程中的受力分析如图所示，包裹受到推力 F、平台的支持力 F_N、摩擦力 F_f 和重力 G。

设包裹由 A 至 B 的位移为 s，G、F_N、F_f 与 s 的夹角分别为 α、β 和 γ，则 s = 4 m，α = 90°，β = 90°，γ = 180°。

根据竖直方向的力平衡关系可得

\[{F_{\rm{N}}} = G + F\sin \theta = (100 + 50 \times \sin 37^\circ ){\rm{N}} = 130{\rm{N}}\]

则

\[{F_{\rm{f}}} = \mu {F_{\rm{N}}} = 0.2 \times 130{\rm{N}} = 26{\rm{N}}\]

由已知条件和恒力做功的计算式可知，包裹由 A 被推至 B 的过程中：

重力做功

\[{W_{\rm{G}}} = Gs\cos \alpha = 100 \times 4 \times \cos 90^\circ {\rm{J}} = 0{\rm{J}}\]

支持力做功

\[{W_{\rm{N}}} = {F_{\rm{N}}}s\cos \beta = 130 \times 4 \times \cos 90^\circ {\rm{J}} = 0{\rm{J}}\]

推力做功

\[{W_{\rm{F}}} = Fs\cos \theta = 50 \times 4 \times \cos 37^\circ {\rm{J}} = 160{\rm{J}}\]

摩擦力做功

\[{W_{\rm{f}}} = {F_{\rm{f}}}s\cos \gamma = 26 \times 4 \times \cos 180^\circ {\rm{J}} = - 104{\rm{J}}\]

包裹由 B 落至 C 的过程中，只有重力做功，设包裹的位移为 s′，重力与位移的夹角为 φ，则重力做功

\[{W_{\rm{G}}}^\prime = Gs'\cos \varphi = Gh = 100 \times 1{\rm{J}} = 100{\rm{J}}\]

整个过程中，包裹受到的作用力所做的总功为

\[W = {W_{\rm{F}}} + {W_{\rm{G}}} + {W_{\rm{N}}} + {W_{\rm{f}}} + {W_{\rm{G}}}^\prime = (160 + 0 + 0 - 104 + 100){\rm{J}} = 156{\rm{J}}\]

 

77．运动员用 100 N 的力将球踢出，球滚出的距离是 10 m。某同学根据 W = Fs 得出运动员踢球做的功是 1 000 J。这种算法是否正确？简述理由。

【答案】

不正确。公式 W = Fs 中，F 为恒力、s 为恒力作用下物体运动在力方向上的位移；而运动员对球的作用力 100 N 并未作用 10 m 全过程，故直接代入计算不正确。

【解析】

命题意图：考查对功的计算式中位移的理解。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

 

78．周末，小明在家打扫卫生，他先把沙发推开，清洁地面后再把沙发推回原位。有同学认为，整个过程中沙发的位移为零，所以滑动摩擦力对沙发做的功也是零，这种观点是否正确？简述理由。

【答案】

不正确。公式 W = Fs 中，F 为恒力、s 为恒力作用下物体运动在力方向上的位移。而推开、推回过程中，滑动摩擦力的方向变化且总是与运动方向相反，殆终做负功，故虽然全过程位移为零，但滑动摩擦力对沙发做负功。

【解析】

命题意图：考查对功的计算式中位移的理解。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

 

79．“周一早上，小明提起书桌上的书包背到肩上，出门去学校。他坐电梯下楼后，走到一个十字路口正好遇到红灯，便站立等待。绿灯亮起后，小明加速通过横道线，走到校门口。进入校门后，他放慢脚步走向教学楼，然后走楼梯到达三楼的教室。他走到自己的课桌前，从肩上取下书包并放到椅子下面，然后/坐好等待上课。”在上述情景中，小明有时对书包做正功，有时对书包做负功，有时则不做功。从上述情景中选出有关实例并简述理由。

【答案】

小明对书包做正功的情况有：提起书包的过程、加速前进的过程、走楼梯上楼的过程，这些过程中小明对书包的作用力与书包的运动方向同向或成锐角，根据 W = Fscosθ，可知做功为正。

做负功的情况有：乘电梯下楼的过程、放慢脚步的过程、取下书包放到椅子下面的过程，这些过程中小明对书包的作用力与书包的运动方向相反或成钝角，根据W = Fscosθ 知做功为负。

不做功的情况有：站立等待的过程、水平路面匀速前进的过程，这些过程中，或者书包的位移为零，或者小明对书包的作用力与书包的位移方向垂直，根据 W = Fscosθ 知做功为零。

【解析】

命题意图：从文字表述中提取信息，结合真实情境辨析做功情况。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学论证（Ⅰ）。

 

80．总质量 m = 2.0×10³ kg的电梯在钢绳的牵引下匀速上升至 h = 10 m处，求此过程中钢绳拉力和电梯所受的重力分别做了多少功？这两个力做的总功是多少？

【答案】

W_T = 1.96×10⁵ J，W_G = − 1.96×10⁵ J，W_总 = 0

【解析】

参考解答：对匀速上升的电梯受力分析，由平衡条件知

拉力 F_T = G = mg = 2.0×10³×9.8 N = 1.96×10⁴ N

由恒力做功公式 W = Fscosθ 知

W_T = F_Th = 1.96×10⁴×10 J = 1.96×10⁵ J

W_G = − Gh = − 1.96×10⁴×10 J = − 1.96×10⁵ J

总功 W_总 = W_T + W_G =[1.96×10⁵ + （− 1.96×10⁵）] J = 0

命题意图：结合平衡条件分析做功情况。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

81．如图所示，质量 m = 30 kg的儿童从滑梯顶端 A 点滑下，经长 l = 12 m的旋转滑道到达底端 B 点，A、B 两点间的水平距离 x = 4 m，高度差 h = 3 m。若下滑过程中阻力 F_阻 的大小恒为60 N，g 取10 m/s²。求下滑过程中重力 G 和阻力 F_阻 对儿童所做的总功。

【答案】

W_G = 900 J，W_f =  − 720 J，W_总 = 180 J

【解析】

参考解答：分析下滑过程，可知重力和阻力对儿童做功。

重力是恒力，由恒力做功公式 W = Fscosθ 知

W_G = Gscosθ = Gh = mgh = 30×10×3 J = 900 J

阻力大小恒定、方向变化，始终与运动方向相反。由此可知阻力做负功，与路程成正比，路程近似取滑道长度 l

W_f = −F_阻l = − 60×12 J = − 720 J

此过程中各力所做的总功

W_总 = W_G + W_阻 =（900 − 720）J = 180 J

命题意图：将真实情境转化为模型化情境。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅰ）。

 

82．如图所示，长度 l = 1 m、质量 m = 5 kg 的均质硬杆一端由光滑铰链固定于天花板上的 O 点。在杆的另一端施加水平恒力 F = 10 N，使杆由竖直位置绕 O 点转过角度 θ = 37°，g 取10 m/s²，求此过程中各力对杆所做的总功。

【答案】

W_F = 6 J，W_G = − 5 J，W_总 = 1 J

【解析】

参考解答：杆转动过程中受到重力 G、恒力 F 和铰链对杆的作用力 F_N，其中仅重力 G、恒力 F 做功。G 的作用点为重心，位于杆的中点，其上升高度 h = \(\frac{{1 \times (1 - \cos 37^\circ )}}{2}\) m ≈ 0.1 m。

由恒力做功公式 W = Fscosθ 知

W_F = Flsinθ = 10×1×sin37° J = 6 J

W_G = − mgh = − 5×10×0.1 J = − 5 J

W_总 = W_F + W_G = [6 + （− 5） J = 1 J

命题意图：由求各个力做功转而求各力所做总功，深化对功的计算式中位移的理解。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅱ）。

 

83．一台起重机以 2.1×10³ N 的牵引力将质量 m = 200 kg 的货物由静止开始竖直向上匀加速提升。如果该起重机的额定功率 P₀ = 5×10³ W，g 取10 m/s²。

（1）求货物做匀加速运动的时间。

（2）起重机达到额定功率后即保持瞬时功率 P_t 不变，分析此后货物的运动情况。

【答案】

（1）t ≈ 4.8 s

（2）货物做加速度减小的加速运动。当牵引力减小到与重力相等时，货物将匀速上升，最终以2.5 m/s的速度匀速上升。

【解析】

分析：货物向上做匀加速运动的过程中，牵引力保持不变，所以，牵引力的瞬时功率不断增大。当牵引力的瞬时功率增大至额定功率时，若继续保持牵引力大小不变，则牵引力的瞬时功率将突破额定功率。因此，当牵引力的瞬时功率等于额定功率时，匀加速运动阶段结束。此后，起重机若以额定功率运行，则牵引力逐渐减小，但速度继续增大；当牵引力大小等于货物重力大小时，货物将开始匀速上升。

解：（1）以货物为研究对象，它受到重力与牵引力两个力的作用，以向上为正方向，设牵引力为 F，货物由静止开始向上做匀加速运动的加速度为 a。由牛顿第二定律可得

\[F - mg = ma\]

则                                      \(a = \frac{{F - mg}}{m} = \frac{{2.1 \times {{10}^3} - 200 \times 10}}{{200}}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}} = 0.5{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\)

以货物从静止开始运动为初始时刻，经过时间 t，起重机瞬时功率达到额定功率，货物的匀加速运动阶段结束，则货物的瞬时速度

\[{v_1} = at\]

牵引力的瞬时功率为                          \({P_t} = {P_0} = F{v_1} = Fat\)

则                                                    \(t = \frac{{{P_0}}}{{Fa}} = \frac{{5 \times {{10}^3}}}{{2.1 \times {{10}^3} \times 0.5}}{\rm{s}} \approx 4.8{\rm{s}}\)

（2）由于起重机保持额定功率运行，故4.8 s后牵引力减小，速度继续增大，牵引力与速度乘积保持不变。由牛顿第二定律可知，货物做加速度减小的加速运动。当牵引力减小到与重力相等时，货物将匀速上升。此时

\[F = mg\]

则                                      \({v_2} = \frac{{{P_0}}}{F} = \frac{{{P_0}}}{{mg}} = \frac{{5 \times {{10}^3}}}{{200 \times 10}}{\rm{m/s}} = 2.5{\rm{m/s}}\)

即货物最终以2.5 m/s的速度匀速上升。

 

84．用表格或图示的方式列举额定功率的数量级分别为10⁰ W、10¹ W、10² W和10³ W 的家用电器。

【答案】

见下表

额定功率数量级	家用电器
100 W	手电筒、手机、门铃
101 W	台灯、净水机、手机充电器、单人电热毯
102 W	电扇、电视、计算机、电冰箱、洗衣机
103 W	电饭锅、电热水器、微波炉、空调

【解析】

命题意图：通过查阅相关资料，形成对家用电器功率数量级的认识，增强节能意识。

主要素养与水平：能量（Ⅰ）；证据（Ⅰ）

 

85．判断下列关于功率的说法是否正确，并简述理由。

（1）做功时间越长，功率越小。

（2）做功越多，功率越大。

（3）作用力越大，功率越大。

（4）物体速度越大，功率越大。

【答案】

（1）不正确。功率 P = \(\frac{W}{t}\)，时间长，做功也可能更多，无法确定功率的大小。

（2）不正确。功率 P = \(\frac{W}{t}\)，做功多，时间也可能更长，无法确定功率的大小。

（3）不正确。功率 P = Fv，作用力大，速度可能很小，无法确定功率的大小。

（4）不正确。功率 P = Fv，速度大，作用力可能很小，无法确定功率的大小。

【解析】

命题意图：通过问题辨析，加深对功率概念的理解。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；交流（Ⅰ）。

 

86．某同学从一楼到二楼，第一次走上去，第二次跑上去，比较两次克服重力做功的功率。

【答案】

克服重力做的功 W 等于 mgh，两次上楼过程做功 W 相等，第一次走上去，所用时间 t₁ 比第二次跑上去的时间 t₂ 长。由功率 P = \(\frac{W}{t}\)，走上去的功率 P₁ 小于跑上去的功率P₂。

【解析】

命题意图：将真实情境抽象为模型化情境，为第4题做铺垫。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

 

87．2018年上海中心国际垂直马拉松赛于11月25日上午盛大举行，近千名选手参加比赛。我国一位女选手用时20 min 55 s抵达终点。上海中心大厦（图7–16）楼高632 m，共计127层，比赛赛道终点设在119层，选手们经历了3 398级台阶的考验，在终点552 m的高空俯瞰最美的上海全城风光，顿时忘却了疲劳，纷纷在上海之巅记录自己的成功时刻。

根据材料，试估算该女选手比赛过程中克服重力做功的平均功率。

【答案】

可认为选手的平均功率就是其克服重力做功的功率，P = \(\frac{W}{t}\) = \(\frac{mgh}{t}\)。估计选手质量约为 60 kg，比赛时间为 1 255 s，高度 552 m。故其功率 P = \(\frac{mgh}{t}\) = \(\frac{{60 \times 10 \times 552}}{{1225}}\) W ≈ 3×10² W。

【解析】

命题意图：将真实情境转化为模型化情境，从题目信息中分析提取有效信息。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；能量（Ⅰ）。

 

88．举重运动员在图所示的抓举过程中，将 150 kg 的杠铃举高了 63 cm，所用的时间是 0.8 s。求这一过程中运动员举杠铃的平均功率。

【答案】

可认为选手的平均功率就是其克服杠铃重力做功的功率，故其功率 P = \(\frac{W}{t}\) = \(\frac{mgh}{t}\) = \(\frac{{150 \times 9.8 \times 0.63}}{{0.8}}\) kW ≈ 1.16 kW。

【解析】

命题意图：将真实情境转化为模型化情境。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；能量（Ⅰ）。

 

89．两个物体从离地相同高度处先后做自由落体运动和平抛运动并落至水平地面。试比较这两个物体在落至水平地面过程中重力的平均功率。

【答案】

无法确定。

【解析】

参考解答：平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，故两者的运动时间相等。

重力的平均功率 P = \(\frac{W}{t}\) = \(\frac{mgh}{t}\)，高度 h 相等，时间 t 相等，而两物体质量大小关系未知，故功率大小关系也无法确定。

命题意图：综合运动规律分析问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

90．某电动汽车的部分动力性能参数如表所示。若该汽车沿平直公路由静止开始做加速度 a = 1.5 m/s² 的匀加速直线运动，当车速达到 v₁ = 72 km/h 时，电机恰好以额定功率工作，此后电机的功率保持不变。假设行驶过程中汽车受到的阻力大小恒定。

动力电池容量 / (kW·h)	48.3
电机额定功率 / kW	85
整车质量 / kg	1 710

（1）分析说明电机达到额定功率后，汽车的加速度和速度的变化情况。

（2）电机以额定功率工作时，汽车的最大速度为多少？

（3）该汽车充满电后，以上述方式运动的总时间为多少？

【答案】

（1）汽车达到额定功率后，汽车的速度继续增大，加速度 a 将减小，速度增加直至加速度减小至零后保持以最大速度匀速运动。

（2）v_m ≈ 182 km/h

（3）t ≈ 34.4 min

【解析】

参考解答：（1）在运动的方向上，汽车受到驱动力 F 和阻力 F_阻 的作用，由牛顿第二定律知合外力 F_合 = F – F_阻 = ma。由题意知，汽车达到额定功率后，汽车的速度继续增大，但功率保持不变，由 P = Fv 知，驱动力 F 将减小，合外力 F_合 将减小，加速度 a 将减小，速度增加直至加速度减小至零后保持以最大速度匀速运动。

（2）车速达到 v₁ = 72 km/h = 20 m/s 时，电机恰好以额定功率工作，由 P = Fv 知，此时 F₁ = \(\frac{P}{{{v_1}}}\) = \(\frac{{85000}}{{20}}\) = 4.25×10³ N

由牛顿第二定律知 F_合 = F₁ – F_阻 = ma，所以 F_阻 = F₁ – ma = （4 250 − 1 710×1.5）N = 1 685 N。

汽车保持功率不变以最大速度匀速运动时，F₂ = F_阻 = 1 685 N。

由 P = F₂v_m 知 v_m = \(\frac{P}{{{F_2}}}\) = \(\frac{{85000}}{{1685}}\) m/s ≈ 50.45 m/s ≈ 182 km/h。

（3）汽车做匀加速直线运动过程中，电机功率随时间均匀增加，此过程用时 t₁ = \(\frac{v_1}{a}\) = \(\frac{{20}}{{1.5}}\) s ≈ 13.3 s，平均功率 \(\bar P\) = \(\frac{P}{2}\)。故这一过程电机耗能 W₁ = \(\bar P\)t₁ = \(\frac{{85000}}{{2}}\)×\(\frac{{20}}{{1.5}}\) J ≈ 5.67×10⁵ J ≈ 0.16 kW·h。汽车以额定功率行驶时，电池剩余能量 W₂ = W − W₁ =（48.3 − 0.16）kW·h = 48.14 kW·h，则汽车以额定功率行驶的时间 t₂ = \(\frac{{{W_2}}}{P}\) = \(\frac{{48.14}}{{85}}\) h ≈ 0.57 h = 2 052 s。故汽车以上述过程运动的总对长 t = t₁ + t₂ =（13.3 + 2 052）s = 2 065.3 s ≈ 34.4 min。

命题意图：综合牛顿运动定律分析问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

91．如图所示，长为 l 的轻质细绳下端悬挂一质量为 m 的小球，用大小为F 的水平拉力将小球由静止开始从最低点 A 拉至 B 点，∠AOB = θ，在此过程中细绳始终绷直。若不计空气阻力，求小球到达B点时的速度大小 v。

【答案】

v = \(\sqrt {\frac{{2l}}{m}[F\sin \theta - mg(1 - \cos \theta )]} \)

【解析】

小球受到重力、水平拉力和绳子拉力的作用。小球运动过程中，重力做负功，水平拉力做正功，这些都是恒力的功，可以计算。而绳子拉力虽然是变力，但始终与小球的速度垂直，所以绳子拉力不做功。用动能定理可求出小球到达 B 点时的速度大小。

解：以小球为研究对象，小球在水平方向上的位移 s = lsinθ；在竖直方向的位移是

\[h = l - l\cos \theta = l(1 - \cos \theta )\]

小球从 A 点到 B 点的运动过程中，水平拉力做正功，重力做负功。根据动能定理，水平拉力与重力做功的代数和等于动能变化量，可得

\[Fs - mgh = \frac{1}{2}m{v^2} - 0\]

即                                                    \(Fl\sin \theta - mgl(1 - \cos \theta ) = \frac{1}{2}m{v^2}\)

由此可得

\[v = \sqrt {\frac{{2l}}{m}[F\sin \theta - mg(1 - \cos \theta )]} \]

 

92．判断下列关于动能的说法是否正确，并简述理由。

（1）动能大的物体，速度一定大。

（2）做变速运动的物体动能一定变化。

【答案】

（1）不正确。动能与质量和速度大小都有关系，动能大的物体质量可能很大，但速度不一定大。

（2）不正确。动能与速度的方向无关、只与速度大小有关，变速运动可能是速度方向变化而大小不变，动能也可能不变。

【解析】

命题意图：通过问题辨析，加深对动能概念的理解。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；交流（Ⅰ）。

 

93．估算下列物体的动能，并写出必要的计算过程。

（1）行驶在高速公路上的客车中的乘客。

（2）从十楼阳台落至地面的花盆。

（3）空中飞行的子弹。

（4）被快速抽击的乒乓球？

【答案】

（1）估计乘客质量为 60 kg，高速公路上客车速度 v = 100 km/h ≈ 28 m/s。故其动能 E_k = \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{1}{2}\)×60×28² J ≈ 2×10⁴ J。

（2）估计花盆质量为 5 kg，层高约 3 m，花盆的下落高度 h 约为 28 m。忽略花盆落地过程中的阻力，由动能定理知 W_G = ΔE_k = E_k − 0，故E_k =W_G = mgh = 5×10×28 J = 1.4×10³ J。

（3）估计子弹质量为 10 g，即 0.01 kg，速度为 500 m/s。故其动能 E_k = \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{1}{2}\)×0.01×500² J ≈ 1.3×10³ J。

（4）估计乒乓球质量为 3 g，即 0.003 kg，速度为 50 km/h，约 14 m/s。故其动能 E_k = \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{1}{2}\)×0.003×14² J ≈ 0.3 J。

【解析】

命题意图：通过估算，认识生活中动能的数量级，形成能量观念，提升安全意识。

主要素养与水平：能量（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

 

94．质量为 1500 kg的汽车的行驶速度从 10 km/h 加速到 20 km/h，再由 20 km/h 加速到 30km/h。分析比较上述两段过程汽车动能的变化量？

【答案】

10 km/h ≈ 2.78 m/s，20 km/h ≈ 5.56 m/s，30 km/h ≈ 8.33 m/s，动能增量 ΔE_k = \(\frac{1}{2}\)mv_t² − \(\frac{1}{2}\)mv₀² = \(\frac{1}{2}\)m(v_t² − v₀²)。

从 10 km/h加速到 20 km/h，ΔE_k1 = \(\frac{1}{2}\)m(v_t² − v₀²) = \(\frac{1}{2}\)×1 500×（5.56² − 2.78²） J ≈ 1.74×10⁴ J；

从 20 km/h 加速到 30 km/h，ΔE_k2 = \(\frac{1}{2}\)m(v_t² − v₀²) = \(\frac{1}{2}\)×1 500×（8.33² − 5.56²） J ≈ 2.89×10⁴ J；

虽然速度的增量都是 10 km/h，但从 20 km/h 加速到 30 km/h 过程的动能增量更大。

【解析】

命题意图：区分速率变化和动能变化，形成能量观念。

主要素养与水平：能量（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

 

95．质量为 400 g 的足球以 2 m/s 的水平速度撞击墙壁，并以 1 m/s 的速度反向弹回？求碰撞过程中足球速度和动能的变化量。

【答案】

由题意知，碰撞过程中足球速度的增量 Δv = v_t – v₀ = （− 1 − 2）m/s = − 3 m/s（以初速度方向为正方向）；动能增量 ΔE_k2 = \(\frac{1}{2}\)m(v_t² − v₀²) = \(\frac{1}{2}\)×0.4×（1² – 2²） J = − 0.6 J。

【解析】

命题意图：区分速度变化和动能变化，形成能量观念。

主要素养与水平：能量（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

96．弓弦对 85 g 的箭的作用距离为 75 cm，平均作用力大小为 105 N，求箭离开弦时的速度大小。

【答案】

v_t  ≈ 43.05 m/s

【解析】

参考解答：由题意知，弓弦对箭做功 W = Fs = 105×0.75 J = 78.75 J。由动能定理 W = ΔE_k = \(\frac{1}{2}\)mv_t² − \(\frac{1}{2}\)mv₀² = \(\frac{1}{2}\)mv_t² – 0 知，v_t = \(\sqrt {\frac{{2W}}{m}} \) = \(\sqrt {\frac{{2 \times 78.75}}{{0.085}}} \) m/s ≈ 43.05 m/s。

命题意图：模型化情境中动能定理的简单应用。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

97．如图所示，长 l = 1 m 的轻质细绳下端悬挂质量 m = 1 kg 的钢球，对钢球施加水平恒力 F = 10 N，将小球从最低点 A 由静止开始拉动，且拉动过程中细绳始终绷直。若不计空气阻力，g 取 10 m/s²，求：

（1）细线转过 θ = 30° 时，钢球的速度大小 v₁；

（2）细线转过的最大角度？

【答案】

（1）v₁ ≈ 2.71 m/s。

（2）θ_m = 90°

【解析】

参考解答：（1）细绳从最低点 A 由静止开始转过 30° 的过程中，仅有重力 G 和恒力 F 对小球做功。

由 W = Fscosθ 知，W_G = − mgh = − mgl（1 − cosθ） = − 1×10×1×（1 − cos30°） J ≈ − 1.34 J，W_F = Flsinθ = 10×1×sin30° J = 5 J，总功 W = W_G + W_F = − 1.34 + 5 J = 3.66 J。

由动能定理知 W = ΔE_k = \(\frac{1}{2}\)mv_t² − \(\frac{1}{2}\)mv₀² = \(\frac{1}{2}\)mv₁² – 0，故 v₁ = \(\sqrt {\frac{{2W}}{m}} \) = \(\sqrt {\frac{{2 \times 3.66}}{{1}}} \) m/s ≈ 2.71 m/s。

（2）小球从最低点 A 由静止开始转过最大角度 θ_m 的过程中，由动能定理知 W = W_G  + W_F = ΔE_k。又因为最大角度时速度为零，故 W_G + W_F = 0 − 0，即 − mgl（1 − cosθ_m）+ Flsinθ_m = 0，− 10×（1 − cosθ_m） + 10sinθ_m = 0，即 cosθ_m + sinθ_m = 1，解得 θ_m = 90°。

θ_m = 90° 对应细绳处于水平位置，因此全过程重力对小球做负功 − mgl，力 F 对小球做正功 mgl，两者抵消，动能增量为零。

命题意图：模型化情境中功能定理的应用。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅱ）。

 

98．如图所示，树上与 A 等高的 P 处有一个质量 m = 0.3 kg的苹果下落。苹果有可能被人用篮子在与 B 等高处接住，也可能落到地面 C，还可能落到地面后滚入坑底 D 处。（g 取 10 m/s²）

（1）分别以 A、C、E 所在水平面为零势能面，求 P 处苹果的重力势能。

（2）苹果由 P 分别落至 C 或落至 D 的过程中，求重力所做的功以及重力势能的变化量。

【答案】

（1）以 A 所在水平面为零势能面，E_pA = 0

以 C 所在水平面为零势能面，E_pC = 6.6 J

以 E 所在水平面为零势能面，E_pE = − 4.8 J

（2）W_GC = 6.6 J，ΔE_pC = − W_GC = − 6.6 J

W_GD = 15.6 J，ΔE_pD = − W_GD = − 15.6 J

【解析】

分析：计算重力势能的关键是根据不同零势能面正确得出 P 的相对高度。而计算重力做功和重力势能变化量则与零势能面的位置无关。

解：（1）以 A 所在水平面为零势能面，P 的相对高度 h_A = 0，则 P 处苹果的重力势能

\[{E_{\rm{p}}}_A = mg{h_A} = 0\]

以 C 所在水平面为零势能面，P 的相对高度 h_C = 2.2 m，则 P 处苹果的重力势能

\[{E_{{\rm{p}}C}} = mg{h_C} = 0.3 \times 10 \times 2.2{\rm{J}} = 6.6{\rm{J}}\]

以 E 所在水平面为零势能面，P 的相对高度 h_E = − 1.6 m，则 P 处苹果的重力势能

\[{E_{{\rm{p}}E}} = mg{h_E} = 0.3 \times 10 \times ( - 1.6){\rm{J}} = - 4.8{\rm{J}}\]

（2）苹果由 P 落至 C 处，高度降低 Δh_C = 2.2 m，则

重力做正功                     \({W_{\rm{G}}}_C = mg\Delta {h_C} = 0.3 \times 10 \times 2.2{\rm{J}} = 6.6{\rm{J}}\)

重力势能变化量                           \(\Delta {E_{{\rm{p}}C}} = - {W_{\rm{G}}}_C = - 6.6{\rm{J}}\)

苹果由 P 落至 D 处，高度降低 Δh_D = 5.2 m，则

重力做正功                     \({W_{\rm{G}}}_D = mg\Delta {h_D} = 0.3 \times 10 \times 5.2{\rm{J}} = 15.6{\rm{J}}\)

重力势能变化量                           \(\Delta {E_{{\rm{p}}D}} = - {W_{\rm{G}}}_D = - 15.6{\rm{J}}\)

 

99．判断下列关于重力做功和重力势能的说法是否正确，并简述理由？

（1）重力做多少正功，物体的重力势能就增加多少；重力做多少负功，物体的重力势能就减小多少。

（2）重力势能及其变化最都与零势能面的选取有关。

【答案】

（1）不正确。根据 W_G = − ΔE_p 可知，物体下降时重力做多少正功，物体重力势能就减小多少；物体上升时重力做多少负功，物体重力势能就增大多少。

（2）不正确。根据 E_p = mgh，因高度 h 具有相对性，故而重力势能也是相对的，与零势能面的选取有关。又根据 W_G = − ΔE_p，W_G 与零势能面的选取无关，可知重力势能变化量与零势能面的选取无关。

【解析】

命题意图：深化做功与能量变化的关系，建立能量观念。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；交流（Ⅰ）。

 

100．如图所示，运动员从距地面高 h₁ = 2.5 m 的 A 处投出一篮球，正中距地高 h₃ = 3.05 m 的篮筐，球运动过程中到达的最高点 B 距地面高 h₂ = 4 m。球的质量 m = 0.6 kg，g 取 10 m/s²。按要求在表中填入数据？

零势能面位置	篮球在 A 点的重力势能	篮球在 B 点的重力势能	从 A 到 B 过程中篮球重力做的功	从 A 到 B 过程中篮球重力势能的变化
篮筐
A 点
地面

 

【答案】

− 3.3 J，5.7 J，− 9 J，增加 9 J，0，9 J，− 9 J，增加 9 J，15 J，24 J，− 9 J，增加 9 J。

【解析】

命题意图：将真实情境转化为模型化情境，体验零势能面选取的作用。

主要素养与水平：能量（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

101．如图所示为蹦床运动示意图。A 为运动员到达的最高点；B 为运动员下落过程中刚接触蹦床时的位置；C 为运动员到达的最低点。运动员自 A 落至 C 的过程中，运动员的重力势能和蹦床的弹性势能如何变化？

【答案】

运动员自 A 落至 C 的过程中，重力对运动员做正功、重力势能不断减小；A 至 B 过程中，无弹力作用，弹性势能不变；B 至 C 过程中，弹力对运动员做负功，弹性势能不断增大。

【解析】

命题意图：将真实情境转化为模型化情境，分析影响势能的因素。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

102．质量相等的均匀木球和铁球放在水平地面上，两球重力势能的大小关系与零势能面的选取是否有关？

【答案】

如图所示，质量相等的均匀木球和铁球因为密度不同，放在水平地面上时木球重心位置更高。无论选取何处为零势能面，木球的重心高度更大，根据 E_p = mgh，且 mg 相等，故木球的重力势能也必然更大。若木球的质量大于铁球，则当选取高于木球重心高度某处为零势能面时，可能出现木球的重力势能小于铁的重力势能的情况。

【解析】

命题意图：将真实情境转化为模型化情境，理解重心位置与重力势能的关系。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅱ）。

 

103．跨越式跳高［图（a）］已在专业的田径比赛中销声匿迹，专业运动员普遍采用背越式跳高［图（b）］。试从重力势能的角度分析其原因。

   

                     （a）                                               （b）

【答案】

观察图可知，跨越式跳高时运动员的重心必须明显高于横杆，而背越式跳高时则较低。对同一位运动员而言，重心高度越高、重力势能越大，就要求运动员克服重力做功更多。由此可知，从克服重力做功角度来看背越式跳高具有明显优势。

【解析】

命题意图：用能量观点解释真实问题。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学论证（Ⅱ）。

 

104．如图所示，地上有3摞书，每摞25本。每本书尺寸均为260 mm × 185 mm × 20 mm、质量均为 500 g。这些书刚好能放满一个三层书架，书架最低一层置物板距地面高 50 cm，相邻两层板的间距为 40 cm，g 取 10 m/s²。将书从地面放到书架的过程中，至少需做多少功？

【答案】

W_G = 292.5 J

【解析】

参考解答：分析题意可知，初始时总质量 m = 37.5 kg 的3摞书整体重心高度在最大高度一半的位置 h_c1 = 0.02×\(\frac{25}{2}\) m = 0.25 m，而摆满三层书架后整体重心在第二层书的中心高度处 h_c2 = （0.5 + 0.4 + \(\frac{0.26}{2}\) ）m = 1.03 m（考虑书长度 260 mm 的侧边竖立的姿态）。

根据 W_G = − ΔE_p 可知，至少需要克服重力做功 W = − W_G = ΔE_p = mgh_c2 – mgh_c1 = 37.5×10×（1.03 −  0.25）J = 292.5 J。

命题意图：将真实情境转化为模型化情境。此题常见的计算方法有：①隔离法：各层分别确定书籍中心位置、重力势能，再求和；②整体法：由质量分布确定三层书籍整体的重心，计算总重力势能。可比较两种做法，总结隔离法和整体法的特点。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅱ）。

 

105．如图所示，滑雪运动员从被冰雪覆盖的斜坡顶端 A 以速度 v_A = 2 m/s 滑下，到达坡底 B 时的速度为 v_B = 16 m/s。运动过程中的阻力均忽略不计，g 取 10 m/s²。

（1） A、B 两点间的竖直高度差 h 为多少？

（2）如果运动员由坡底以速度 v_Bʹ = 7 m/s冲上坡面，它能到达的最高点高度 hʹ 为多少？

【答案】

（1）h = 12.6 m

（2）h′ = 2.45 m

【解析】

分析：由于斜坡的形状不确定，无法用牛顿第二定律求出运动员的加速度和速度。运动员在 A、B 间运动时，只有重力对运动员做功，运动员的机械能守恒，由此可以根据机械能守恒定律，用 A、B 两点机械能之间的关系求解。

解：（1）运动员在运动过程中，只有重力做功，因此运动员的机械能守恒。将 B 所在的水平面设为零势能面，根据机械能守恒定律，有

\[\frac{1}{2}mv_A^2 + mg{h_1} = \frac{1}{2}mv_B^2 + 0\]

\[h = \frac{{v_B^2 - v_A^2}}{{2g}} = \frac{{{{16}^2} - {2^2}}}{{2 \times 10}}{\rm{m}} = 12.6{\rm{m}}\]

（2）运动员从坡底运动到最高点的过程中只有重力做功，机械能仍然守恒，仍以 B 所在的水平面为零势能面，则有

\[0 + mgh' = \frac{1}{2}m{v'}_B^2 + 0\]

\[h = \frac{{{v'}_B^2}}{{2g}} = \frac{{{7^2}}}{{2 \times 10}}{\rm{m}} = 2.45{\rm{m}}\]

 

106．分别判断下列两组情境中，哪个过程更接近机械能守恒，并简述理由。

（1）A．足球被踢起并飞入球门的过程；

B．铅球被斜向上抛出再落地的过程。

（2）A．橡皮擦从书桌滑落到地面的过程；

B．雨滴从高空下落至地面的过程。

【答案】

（1）B 情境更接近机械能守恒。因为根据经验可知，铅球运动过程中所受的阻力相较其重力更小，且其飞行路程更短、做功更少，对机械能影响也更小。

（2）A 情境更接近机械能守恒。雨滴从高空下落至地面的距离远大于橡皮擦由桌面滑落到地面的路程，阻力对雨滴做的功更多，对机械能影响也更大，因此橡皮擦下落过程更接近机械能守恒。

【解析】

命题意图：在真实情境中判断机械能守恒定律的适用条件。更详细的讨论参见节后资料链接“关于雨滴和橡皮擦下落机械能是否守恒的问题”。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；能量观念（Ⅰ）。

 

106．图中一颗铁弹丸从离水面不高处落入水中，溅起来的几颗小水珠却可以跳得很高，简要分析这一现象。

【答案】

分析此过程能量转化、转移可知，铁弹丸的重力势能一部分转移为小水珠的重力势能。因为铁弹丸质量显著大于小水珠质量，虽然小水珠的高度高于铁弹丸的最大高度，但小水珠的重力势能仍小于铁弹丸的重力势能，此现象合理。

【解析】

命题意图：在真实情境中分析能量转化、转移情况并做定性判断。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

 

108．在光滑水平面上做匀速圆周运动的物体机械能是否守恒？

【答案】

在光滑水平面上做匀速圆周运动的物体动能和重力势能都不变，没有发生动能和重力势能之间的能量转化、转移，虽然其机械能的大小保持不变，但不符合机械能守恒的条件。

【解析】

命题意图：理解机械能守恒的条件。

主要素养与水平：能量（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

 

109．上海轨交3号线车站比轨道略高，如图所示是设计方案示意图。试从有效利用能源的角度，分析这种设计的优点？

【答案】

车站比轨道略高的设计将会在地铁进站时将地铁的一部分动能转化为重力势能存储起来有利于其减速，在地铁出站时又将重力势能转化为动能有利于其加速。从能源利用的角度看，这很好地利用了动能和重力势能的转化，比单纯靠机械减速、加速更节能。

【解析】

命题意图：在真实情境中分析能量转化、转移情况并做出评价。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学论证（Ⅱ）。

 

110．将质点从高处以某一初速度斜向上抛出，不计空气阻力。判断质点落地时的速度大小与质点的质量、初速度大小和方向、抛出时的高度是否有关，并简述理由。

【答案】

不计空气阻力的情况下，质点飞行过程中仅受重力作用，机械能守恒。从抛出到落地的全过程有 E_t = E₀，则

\(\frac{1}{2}\)mv_t² + mgh_t = \(\frac{1}{2}\)mv₀² + mgh₀

\(\frac{1}{2}\)v_t² + gh_t = \(\frac{1}{2}\)v₀² + gh₀

v_t² = v₀² + 2g(h₀ – h_t)

故落地时的速度大小与初速度大小、抛出时的高度有关，与质点的质量、初速度方向无关。

【解析】

命题意图：运用机械能守恒定律解决实际问题。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；能量观念（Ⅰ）。

 

111．判断下列关于功的说法是否正确，并简述理由？

（1）功有正负之分，所以功是矢量。

（2）力越大，力对物体所做的功就越多。

（3）力对物体不做功，物体的位移一定为零。

【答案】

（1）不正确。虽然功有正负之分，但功是标量。

（2）不正确。根据 W = Fscosθ 可知，做功与位移和力都有关，力比较大但位移情况未知，物体所做的功无法确定。

（3）不正确。根据 W = Fscosθ 可知，当力与位移垂直或者力为零时，做功也为零，而此时物体的位移不一定为零。

【解析】

命题意图：功的概念辨析。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；能量观念（Ⅰ）。

 

112．定性作出汽车以恒定速度沿斜坡向上行驶的过程中，汽车的动能、势能和机械能随汽车离地面高度变化的图像，并简述理由。

【答案】

见图。汽车以恒定速度沿斜坡向上行驶的过程中，汽车速度大小不变，高度随时间均匀增大，汽车的动能不变，势能和机械能随汽车离地面高度均匀增大。若选择出发位置为零势能面，则势能正比于高度。

【解析】

命题意图：将真实情境转化为模型化情境，练习运用图像工具。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；能量观念（Ⅰ）。

 

113．神舟飞船从发射升空至返回大致经历了以下四个阶段，判断各个阶段返回舱的机械能是否守恒，并简述理由。

（1）飞船发射升空。

（2）飞船在椭圆轨道上绕地球运行。

（3）飞船进行最后一圈绕地飞行时进入返回姿态，返回舱与推进舱分离，制动发动机点火，飞船持续下降预备进入大气层。

（4）飞船借助降落伞和反推发动机逐步减速穿越大气层，以 3～4 m/s的速度下降预备着陆。

【答案】

（1）飞船发射升空过程中机械能不守恒。此过程发动机做功，飞船重力势能和动能都增加。

（2）机械能守恒。飞船在椭圆轨道上运行时，仅受地球万有引力作用，仅有地球万有引力做功，机械能守恒。

（3）机械能不守恒。制动发动机点火，对飞船做功，机械能不守恒。

（4）机械能不守恒。飞船借助降落伞和反推发动机逐步减速过程中，空气阻力和反推发动机对飞船做负功，机械能不守恒。

【解析】

命题意图：在真实情境中判断机械能守恒定律适用条件。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

 

114．起重机吊住质量为 m 的木箱，沿竖直方向以加速度 a 匀加速上升一段距离 h。重力加速度 g，不计空气阻力，求起重机对木箱所做的功。

【答案】

W = m（g + a）h

【解析】

参考解答：以木箱为研究对象，受到竖直向上的拉力 F 和重力 mg 作用以加速度 a 匀加速上升。根据牛顿第二定律知 F_合 = F − mg = ma，故拉力 F = mg + ma。又已知位移竖直向上，大小为 h，可得拉力 F 对木箱所做的功 W = Fh = m（g + a）h。

命题意图：综合应用牛顿第二定律。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

115．小明身高 1.8 m，在运动会上参加跳高比赛时采取背越式跳法，起跳后恰能越过 1.8 m 高的横杆。估算小明为此做了多少功？（g 取 10 m/s²）

【答案】

W = 630 J

【解析】

参考解答：估计小明质量为 70 kg，起跳前的重心位于身高一半处约 0.9 m 高，起跳后重心达到的最大高度约为 1.8 m，忽略其水平速度可近似认为最大高度时速度为零。忽略阻力，起跳后只有重力做功，小明的机械能守恒，选地面为零势能面，有 E_k0 + mgh₀ = E_kt + mgh_t，代入数据，小明做功 W = E_k0 = mg(h_t – h₀) = 70×10×(1.8 − 0.9) J = 630 J。

命题意图：将真实情境转化为模型化情境。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学椎理（Ⅰ）。

 

116．有研究表明，游泳时人受到水的阻力正比于人在水中速度的二次方。男子自由泳 100 m 和 800 m 的世界纪录分别为 46.91 s 和 452.12 s。试比较运动员创造以上两项世界纪录时所做的功和平均功率。

【答案】

忽略变速段和转向过程，将比赛全过程简化为匀速运动，动力等于水的阻力。

由条件知 100 m 和 800 m 比赛过程的平均速度为 2.132 m/s 和 1.769 m/s，故动力之比等于阻力之比，等于速度二次方之比为 1.453。

根据功的公式 W = Fs 可知，做功之比等于 0.182，所以 800 m 比赛过程做功多。

根据功率的公式 P = Fv 可知，做功功率之比等于速度三次方之比为 1.751，所以 100 m 比赛过程的平均功率大。

【解析】

命题意图：在真实情境中建立简单模型，并解决定性半定量的问题。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

117．如图所示，质量为 m 的物体在水平拉力 F 的作用下，由静止开始沿粗糙水平面向前运动 s₁ 后，撤去拉力 F，已知物体与水平面间的摩擦力为 F_f。求：

（1）刚撤去拉力时，物体的速度 v；

（2）物体滑行的最大距离 s₂。

【答案】

（1）v = \(\sqrt {\frac{{2(F - {F_f}){s_1}}}{m}} \)

（2）s₂ = \(\frac{{(F - {F_f}){s_1}}}{{{F_f}}}\)

【解析】

参考解答：（1）以物体为研究对象，在拉力作用下向前运动 s₁ 过程中，拉力 F 和摩擦力 F_f 做功。根据动能定理，拉力 F 和摩擦力 F_f 做功的代数和等于动能变化量，即 Fs₁ – F_fs₁ = ΔE_k = \(\frac{1}{2}\)mv² − 0，故 v = \(\sqrt {\frac{{2(F - {F_f}){s_1}}}{m}} \)。

（2）对物体从静止开始运动到滑行停止的全过程分析可知，拉力 F 和摩擦力 F_f 做功，同样根据动能定理有 Fs₁ – F_f（s₁ + s₂） = ΔE_k = 0 − 0，故 s₂ = \(\frac{{(F - {F_f}){s_1}}}{{{F_f}}}\)。

命题意图：运用动能定理解决简单问题。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

118．研究机械能守恒定律的装置如图所示，用光电门传感器测量摆锤释放后经过各个挡光片时的速度，结合各挡光片相对轨道最低点的高度和摆锤质量，可以分析摆锤运动过程中机械能的变化。某组同学在一次实验中，将挡光片等间隔放置在圆弧轨道上，部分实验数据如表所示。

序号	1	2	3	4	5
高度 h / cm	15.2	10.0	5.8	2.7	0.7
势能 Ep / J	0.149	0.098	0.057	0.027	0.007
动能 Ek / J	0.019	0.060	0.089	x	0.106
机械能 E / J	0.168	0.158	0.146	y	0.112

（1）在图中用横轴表示高度 h，纵轴表示能量，绘制运动过程中摆锤重力势能 E_p、动能 E_k及机械能 E 随高度 h 变化的图线。

（2）以下哪组数据最接近表格中 x、y 的合理取值？简述理由。

A．x = 0.089，y = 0.116           B．x = 0.098，y = 0.125

C．x = 0.103，y = 0.130           D．x = 0.106，y = 0.113

【答案】

（1）见图

（2）C。由已知数据可知，机械能逐渐减小，且经过相同路程机械能的减小量也逐渐增大，故选C（此题基于真实测量）

【解析】

命题意图：实验误差分析。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；能量观念（Ⅰ）。

 

119．某电动汽车动力性能参数如表所示。汽车由静止开始匀加速启动，电机以额定功率工作后保持电机功率不变，继续加速 10 s 达到最大速度，假设行驶过程中汽车受到的阻力保持不变。求全过程中汽车的位移大小。

序号	1	2	3	4	5
高度 h / cm	15.2	10.0	5.8	2.7	0.7
势能 Ep / J	0.149	0.098	0.057	0.027	0.007
动能 Ek / J	0.019	0.060	0.089	x	0.106
机械能 E / J	0.168	0.158	0.146	y	0.112

【答案】

162 m

【解析】

参考解答：汽车在运动方向受到动力 F 和大小恒定的阻力 F_阻 作用，以最大车速 v_m = 135 km/h = 37.5 m/s 匀速运动时，由平衡条件知 F = F_阻，又知道动力功率为电机额定功率 150 kW，有 P = Fv_m = F_阻v_m，故

F_阻 = \(\frac{P}{{{v_m}}}\) = \(\frac{{150000}}{{37.5}}\) N = 4 000 N

行驶过程中汽车受到的阻力保持不变，达到额定功率前动力保持恒定。可知汽车由静止开始经 4.2 s 匀加速达到 50 km/h ≈ 13.9 m/s，易知加速度 a ≈ 3.31 m/s²。由牛顿第二定律知 F_合 = F – F_阻 = ma，所以 F = ma + F_阻 = （1 710×3.31 + 4 000）N = 9.66×10³ N。

匀加速运动速度 v₁ = at，动力功率 P = Fv = Fat，随时间均匀增加，达到额定功率时有 t₁ = \(\frac{P}{{Fa}}\) = \(\frac{{150000}}{{9660 \times 3.31}}\) ≈ 4.69 s。

此过程位移 s₁ = \(\frac{1}{2}\)at² = \(\frac{1}{2}\)×3.31×4.69² m ≈ 36.4 m，动力做功 W₁ = Fs₁。达到额定功率后继续加速 t₂ = 10 s，动力做功 W₂ = Pt₂ =150 000×10 J =1.5×10⁶ J。

汽车由静止起动直至达到最大速度的全过程中，仅有动力 F 和大小恒定的阻力 F_阻 做功，根据动能定理有

W_F + W_阻 = ΔE_k

W₁ + W₂ – F_阻s_全 = \(\frac{1}{2}\)mv_m² − 0

联立并代入数值，解得 s_全 ≈ 162 m。

全过程中汽车的位移大小约为162 m。

命题意图：在真实情境中建立模翌，从能量角度解决常见问题。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅲ）。

 

120．某汽车质量 m =2 000 kg、发动机最大输出功率 P_m = 150 kW，以 v₀ = 72 km/h 的速率匀速行驶时，发动机和传动与驱动系统内的功率分配关系如图所示。已知水泵的功率 P₁ 恒定，传动与变速等内部机件摩擦而损耗的功率 P₂ 与汽车的行驶速率成正比，汽车行驶时所受的空气阻力 F_阻1 与行驶速率 v 的关系为 F_阻1 = kv²（k 为恒量），所受路面的阻力 F_阻2 大小恒定。

（1）以 v₀ 匀速运动时，求汽车驱动力 F₀ 的大小。

（2）汽车以 v₀ 行驶时能产生的最大加速度大小为多少？

（3）汽车能否以 v = 3v₀ 的速率匀速行驶？简述理由。

【答案】

（1）F₀ = 500 N

（2）a ≈ 3.33 m/s²。

（3）不能。P = 165 kW，超出发动机最大输出功率 P_max = 150 kW，故汽车不可能以速率 v = 3v₀ 匀速行驶。

【解析】

参考解答：（1）汽车在运动方向受到驱动力 F 和阻力 F_阻 作用，其中阻力包含空气阻力 F_阻1 和路面的阻力 F_阻2，F_阻 = F_阻1 + F_阻2。以 v₀ = 20 m/s 匀速行驶时，汽车受力平衡，故 F₀ = F_阻 − F_阻1 + F_阻2。

由功率分配关系图知，此时驱动力功率 P_F0 = P₃ + P₄ = （5 + 5）kW = 10 kW，又 P_F0 = F₀v₀。

故 F₀ = \(\frac{{{P_{F0}}}}{{{v_0}}}\) = 10×10³÷20 N = 500 N

（2）由（1）中分析可知，汽车速率为 v₀ 时，阻力 F_阻 = F₀ = 500 N。

若发动机以最大输出功率 P_max = 150 kW 工作，则驱动力功率 P_F = P_max − （P₁ + P₂） = [150 − （4 + 3）] kW = 143 kW，又 F = \(\frac{{{P_{F0}}}}{{{v_0}}}\) =143×10³÷20 N = 7150 N，由牛顿第二定律知 F_合 = F − F_阻 = ma，代入数值，解得 a ≈ 3.33 m/s²。

（3）不能。若汽车以速率 v = 3v₀ 匀速行驶，由题意知，水泵的功率 P₁ 恒定为 3 kW；传动损耗的功率 P₂ 与汽车的行驶速率成正比，为 12 kW；空气阻力 F_阻1 = kv²，功率P_阻1 = kv³ = 3³×5 kW = 135 kW；路面的阻力 F_阻2 大小恒定，功率 P_阻2 = F_咀2v =15 kW。

此时应有发动机输出功率 P = P₁ + P₂ + P_阻1 + P_阻2 = （3 + 12 + 135 + 15） kW = 165 kW，超出发动机最大输出功率 P_max = 150 kW，故汽车不可能以速率 v = 3v₀ 匀速行驶。

命题意图：了解汽车的能量转化情况，从能量角度分析问题。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

121．已知某公园中喷泉的喷水高度可达 h，任何时候都有体积为 V 的水处于空中，水的密度为 ρ。求该喷泉底部水泵的最小功率 P 和喷水管口的横截面积 S。

【答案】

S = \(\frac{V}{{4H}}\)

P = \(\frac{{\rho gV}}{2}\sqrt {\frac{{gH}}{2}} \)

【解析】

参考解答：忽略阻力作用，喷出的水在空中可视为做竖直上抛运动。v₀ = \(\sqrt {2gh} \) 为水的初速度，即喷水管口处的水流速度，可得喷口单位时间喷出的水的体积，即流量 Q = v₀S。又因为竖直上抛运动在空中的飞行时间 T = \(\frac{{2{v_0}}}{g}\)，空中水的总体积为 V，有 V = QT = v₀ST，故管口的横截面积 S = \(\frac{V}{{{v_0}T}}\)，故管口的横截面积 S = \(\frac{V}{{{v_0}T}}\) = \(\frac{{Vg}}{{2v_0^2}}\) = \(\frac{V}{{4H}}\)。

喷泉底部水泵的最小功率 P = \(\frac{1}{2}\)ρSv₀³ = \(\frac{1}{2}\)ρ\(\frac{V}{{4H}}\)(\(\sqrt {2gh} \))³ = \(\frac{{\rho gV}}{2}\sqrt {\frac{{gH}}{2}} \)。

（最小功率的详细推导参见教材第66页“拓展视野”）

命题意图：从能量角度分析流体问题。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

122．现代大型高能粒子加速器可以把粒子的速度加速到与光速极为接近的程度。质子质量 m_p = 1.67×10⁻²⁷ kg，如果把一个质子加速到具有能量 1.60×10⁻¹⁰ J，并假定这个能量就是质子具有的动能，按照经典力学，质子的速度为多大？

【答案】

v ≈ 4.38×10⁸ m/s ≈ 1.46 c ＞ c

【解析】

解：           \({E_{\rm{k}}} = \frac{1}{2}{m_{\rm{p}}}{v^2}\)

                    \(v = \sqrt {\frac{{2{E_{\rm{k}}}}}{{{m_{\rm{p}}}}}} = \sqrt {\frac{{2 \times 1.60 \times {{10}^{ - 10}}}}{{1.67 \times {{10}^{ - 27}}}}} {\rm{m/s}} \approx 4.38 \times {10^8}{\rm{m/s}} \approx 1.46c > c\)

由此可见，按照牛顿力学，高能质子的速度将超过光速，这个结论是错误的，到目前为止，实验上从未发现过超光速的粒子。事实上，任何粒子的速度都不可能超过光速。可见，牛顿力学在高速运动情况下不再适用。

 

123．下列物理现象中，哪些可以在牛顿力学的框架下得到解释？哪些不能在牛顿力学的框架下得到解释？试简述理由。

（1）地球绕太阳公转；（2）量子通信；（3）引力波；（4）加速器中高能粒子的运动；（5）激光。

【答案】

日常生活所涉及的现象都是在低速、宏观和弱引力场的情况下发生的，牛顿力学能够对这些现象做出很好的解释。牛顿力学无法解释的物理现象一定是和高速、微观粒子及强引力场有关的现象。所以，（1）可以在牛顿力学框架下得到解释；（2）和（5）涉及量子力学，（3）涉及强引力场，（4）涉及高速运动，都不能在牛顿力学框架下得到解释。

【解析】

命题意图：将牛顿力学的局限性与具体问题或现象联系起来，能做出基本判断。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；解释（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

 

124．计算表中小物体运动速度的速度比 \(\frac{v}{c}\) 及因子 γ = \(\frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)。

运动物体	步行的人	奔跑中的短跑运动员	高铁	卫星	从地球逃逸的卫星	加速器中的高能粒子
速度 v	5 km/h	10 m/s	300 km/h	3.08 km/s	11.2 km/s	0.999 9 c

【答案】

见下表

运动物体	步行的人	奔跑中的短跑运动员	高铁	卫星	从地球逃逸的卫星	加速器中的高能粒子
速度 v	5 km/h	10 m/s	300 km/h	3.08 km/s	11.2 km/s	0.999 9 c
\(\frac{v}{c}\)	4.6×10−9	3.3×10−8	2.8×10−7	1.03×10−5	3.73×10−5	0.999 9
γ	1 + 1.1×10−17	1 + 5.4×10−16	1 + 3.9×10−14	1 + 5.3×10−11	1 + 6.99×10−10	70.71

【解析】

命题意图：对常见物体运动速度与光速之比及 γ 值大小有个数量级的概念。因子 γ 反映了相对论效应的大小，γ = 1 即表示没有相对论效应。由表中数据可见，即使是卫星、火箭等，速度也是远低于光速，γ 几乎等于1，牛顿力学完全可以适用于这些情况。只有高能加速器中的高能粒子才具有与光速可比拟的速度。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）。

 

125．北京正负电子对撞机是我国第一台高能加速器，可以将电子能量加速到 3.52×10⁻¹⁰ J（2.2 GeV）。按照牛顿力学，这个电子的速度是多大？这种情况牛顿力学是否适用？为什么？

【答案】

按照牛顿力学，可以认为电子的能量就是动能，因此有

E_k = \(\frac{1}{2}\)m_ev² =→ v = \(\sqrt {\frac{{2{E_k}}}{{{m_e}}}} \) = \(\sqrt {\frac{{2 \times 3.529 \times {{10}^{ - 10}}}}{{9.11 \times {{10}^{ - 31}}}}} \) m/s ≈ 2.78×10¹⁰ m/s ≈ 92.7 c

这个速度远大于光速，这是不可能的，因此牛顿力学并不适用于高能加速器中粒子的运动。

【解析】

命题意图：通过实例计算说明牛顿力学不适用于高能粒子运动。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）。

 

126．对于质量为 1.4 倍太阳质量、半径与地球相同的白矮星，计算它的 \(\frac{{mG}}{{R{c^2}}}\)。你认为牛顿力学可以正确描写白矮星的运动吗？简述理由。（太阳质量 m_日 = 1.989×10³⁰ kg，引力常量 G = 6.67×10⁻¹¹ N．m²/kg²，地球半径 r_地 = 6.371×10⁶ m，光速 c = 3.0×10⁸ m/s）

【答案】

\(\frac{{mG}}{{R{c^2}}}\) = \({\frac{{1.4 \times 1.989 \times {{10}^{30}} \times 6.67 \times {{10}^{ - 11}}}}{{9.11 \times {{10}^{ - 31}}}}}\) ≈ 3.24×10⁻⁴，这个值远小于 1，不属于强引力场，因此牛顿力学可以正确描述白矮星的运动。

【解析】

命题意图：通过实例计算说明白矮星的引力场虽然比地球大得多，但仍可用牛顿力学描写。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；解释（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

 

127．牛顿力学的局限性体现在哪些方面？

【答案】

牛顿力学的局限性体现在三个方面，即对于高速（接近光速）运动、微观粒子（原子、原子核、质子、电子等）及强引力场（中子星、黑洞等）不再适用，无法正确描述这些物理现象。

【解析】

命题意图：对牛顿力学的局限性进行小结。

主要素养与水平：科学论证（Ⅰ）；解释（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

 

128．下列情况中地面上和不同车上的观察者看到的光速是多大？

（1）两辆车沿直线道路高速相向而行，其中一辆车上的人向另一辆车发出一束光；

（2）两辆车一前一后沿直线道路以不同速度高速前行，后面车上的人向前一辆车发出一束光。

【答案】

根据光速不变原理，不论光源和观察者如何运动，光速都是 c，始终不变。

【解析】

命题意图：通过具体例子理解光速不变原理。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）；解释（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

 

129．如果在一艘平稳行驶的游轮上的密闭船舱内做物理实验，和地面实验室的结果会有什么不同？

【答案】

根据相对性原理，物理规律在所有惯性系中都具有相同的形式，因此在平稳行驶的游轮上的密闭船舱内做物理实验，将得到与地面实验室完全一致的结果。

【解析】

命题意图：通过具体例子理解相对性原理。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；解释（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

 

130．一列高铁高速行驶经过车站时，列车中点经过车站信号灯的瞬间信号灯正好发出一个闪光，列车上的观察者认为闪光是同时到达车头和车尾还是先后到达的？车站上的观察者认为是同时的还是有先后的？

【答案】

因为车站上和列车上的观察者看到闪光都以光速传播，所以列车上的观察者认为闪光将同时到达车头和车尾。但车站上的观察者看来，闪光传播时列车同时在向前运动，因此闪光到达车头的距离与到车尾的距离不同，所以在车站上的观察者看来，闪光不是同时到达车头和车尾。

【解析】

命题意图：通过具体例子理解同时的相对性。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）；解释（Ⅰ）。

 

131．一个优秀的短跑运动员在比赛时的速度可以达到 10 m/s，如果运动员跑完全程时，静止的计时员记录的时间为 19.7 s，则运动员携带的计时器记录的时间是否同样为 19.7 s？

【答案】

因为运动时钟变慢，运动员的计时器记录的时间要比 19.7 s 稍短。

【解析】

命题意图：通过具体例子理解狭义相对论的时钟变慢。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）；解释（Ⅰ）。

 

132．一列高铁静止长度为 201.4 m。当它以 305 km/h的时速通过站台，站台上的观察者测到的列车长度是否同样为 201.4 m？

【答案】

因为运动方向长度缩短，站台上的观察者测得的列车长度略小于 201.4 m。

【解析】

命题意图：通过具体例子理解狭义相对论的长度缩短。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）；解释（Ⅰ）。

 

133．到目前为止，已经有哪些实验和观测证明了广义相对论的正确性？

【答案】

到目前为止，广义相对论的预言已经被水星近日点进动、光经过太阳时的偏折、引力场中的谱线红移、引力场中的时钟变慢和引力波等实验和观测所证实。

【解析】

命题意图：对广义相对论的实验验证进行小结。

主要素养与水平：证据（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

 

134．恒星演化到晚期，最终会形成哪几种致密天体？

【答案】

恒星演化到晚期，先进入红巨星阶段，然后根据质量大小不同，小质量恒星会形成白矮星，大质量恒星会发生超新星爆发，最后形成中子星甚至黑洞。

【解析】

命题意图：对恒星演化过程进行小结。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；解释（Ⅰ）。

 

135．某同学认为，宇宙微波背景辐射产生于第一批恒星诞生的时候，目前温度为 300 K，在宇宙中的分布均匀各向同性。试分析该说法是否正确。

【答案】

该同学的说法部分正确，部分错误。宇宙微波背景辐射产生于大爆炸后38万年，比第一批恒星的诞生早很多，目前温度为 2.7 K，在宇宙中的分布均匀，各向同性。

【解析】

命题意图：初步了解宇宙微波背景辐射的基本性质。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；证据（Ⅰ）；解释（Ⅰ）。

 

136．恒星不断地向周围空间辐射巨大的能量，判断下列关于恒星能量如何产生的说法是否正确并简述理由。

（1）恒星内部优质煤的燃烧。

（2）恒星核心区域的核聚变。

（3）恒星上可燃气体的燃烧。

【答案】

（1）和（3）错误，因为恒星内部并不满足化学燃烧的条件，而且煤及可燃气体的燃烧都是化学反应，其释放的能量与核聚变相比是微不足道的。（2）正确，恒星的能量来自核心区域的核聚变。

【解析】

命题意图：初步了解恒星能源产生机制。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；解释（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

 

137．什么是暗物质？什么是暗能量？为什么要引入暗物质和暗能量？

【答案】

暗物质是不发光、没有电磁辐射、和普通物质只有引力作用、目前尚未发现的一种未知的物质；暗能量则是一种充满宇宙、具有负压性质的能量。目前对暗物质和暗能量还很不了解，也不清楚如何探测。引入暗物质是为了说明星系、垦系团的稳定性，解释宇宙结构的产生，引入暗能量是为了解释宇宙的加速膨胀。

【解析】

命题意图：对暗物质和暗能量有初步了解。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；解释（Ⅰ）；科学本质（Ⅰ）。

 

138．如果一个人以接近光速的速度在长直的街道上运动，那么在他眼里，街道边建筑物的高度和宽度会有什么变化？

【答案】

相对论的长度缩短是沿运动方向，所以接近光速运动的观察者会认为街道两边的建筑物高度不变，但宽度变窄。

【解析】

命题意图：理解狭义相对论的长度缩短只是沿运动方向。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）；解释（Ⅰ）。

 

139．一列高铁高速经过一座静止长度与高铁相同的桥梁，列车上的观察者认为桥梁和列车哪个更长？桥梁上的观察者认为哪个更长？

【答案】

因为运动是相对的，根据相对论的长度缩短效应，列车上的观察者认为桥缩短了，所以列车比桥更长，而桥上的观察者则认为列车缩短了，桥比列车更长。

【解析】

命题意图：通过具体例子理解狭义相对论的长度缩短是相对的。

主要素养与水平：运动与相互作用（I）；科学推理（I）；解释（I）。

 

140．高楼顶楼的钟和一楼的钟相比，哪个走得慢？

【答案】

顶楼高地心距离远一些，所以引力场要弱一些，按照广义相对论，引力场越强，钟就越慢。因此一楼的钟要比顶楼的钟稍慢一些。

【解析】

命题意图：通过具体例子理解广义相对论中引力场越强，时钟越慢的效应。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）；解释（Ⅱ）。

 

141．测量光速可以有不同的方法，比如在月球上放置一个反射镜，在地球上向月球发射一束激光，反射回地面后通过激光的行返时间来计算光速。图8–18所示为法国物理学家菲索利用旋转齿轮法来测量光速的装置，当齿轮静止时，光束穿过齿缝经平面镜反射后能被观察者看到；当齿轮旋转时，如果反射光返回时正好碰到齿轮，观察者就看不到光，如果反射光返回时正好转到下一个齿缝，观察者就能看到光。设此时反射镜到齿轮的距离为 L，齿轮转速为 n = 1 000 r/s，齿轮的齿数为 m = 720，要想测出光速，L 需要多长？如何增加这个长度？

【答案】

假定光反射到齿轮时，正好转过一个齿，即光从第二个齿缝穿过，齿轮转一圈的时间为 \(\frac{1}{n}\)，转过一个齿缝的时间为 \(\frac{1}{nm}\)，光传播时间为 \(\frac{2L}{c}\)，因此有

\(\frac{2L}{c}\) = \(\frac{1}{nm}\)，L = \(\frac{c}{2nm}\) = \(\frac{{299792458}}{{2 \times 1000 \times 720}}\) m ≈ 208 m

可以利用平面镜的多次反射来增加光传播的距离。

【解析】

命题意图：通过计算理解如何利用旋转齿轮法测量光速。

主要素养与水平：科学推理（Ⅲ）；科学论证（Ⅲ）；解释（Ⅲ）；科学态度（Ⅲ）。

 

142．如果光速只有 \(\frac{c}{3}\) 甚至更小，相对论效应是更显著还是更不易看到？

【答案】

如果光速只有 \(\frac{c}{3}\) 甚至更小，那么速度比 \(\frac{c}{v}\) 更接近于1，因此相对论效应会更容易显现。

【解析】

命题意图：理解在什么条件下狭义相对论效应更容易显现。

主要素养与水平：科学推理（Ⅲ）；科学论证（Ⅲ）；解释（Ⅲ）；科学本质（Ⅲ）。

 

143．如果引力常量 G 增大，牛顿力学的适用范围是变大还是变小？

【答案】

如果 G 增大，则无量纲数 \(\frac{{mG}}{{R{c^2}}}\) 变大，即更容易达到强引力的条件，因此牛顿力学的适用范围变小。

【解析】

命题意图：理解在什么条件下广义相对论的效应显得重要。

主要素养与水平：科学推理（Ⅲ）；科学论证（Ⅲ）；解释（Ⅲ）；科学本质（Ⅲ）。

 

144．地球绕太阳公转轨道的近日点会有进动吗？不考虑其他天体的影响，地球近日点进动值比水星近日点进动大还是小？简述理由。

【答案】

地球相比水星要离太阳远一些，所以受到太阳的引力场也要小一些，如果不考虑其他天体的影响，地球的近日点进动值要比水星的小。

【解析】

命题意图：通过具体例子理解广义相对论中的行星轨道近日点进动效应。

主要素养与水平：科学推理（Ⅲ）；科学论证（Ⅲ）；解释（Ⅲ）。

 

145．牛顿引力理论和爱因斯坦广义相对论在描述地球和太阳之间的相互作用时有什么不同？

【答案】

按照牛顿引力理论，太阳和地球都具有巨大的质量，彼此存在引力作用，互相吸引，这个吸引力正好提供了地球绕太阳公转的向心力。而按照广义相对论，是因为太阳质量巨大，造成周围空间的弯曲，然后地球是在这个弯曲的空间中运动，即绕日公转。

【解析】

命题意图：理解广义相对论对引力作用的描述方式与牛顿引力理论的不同之处。

主要素养与水平：模型建构（Ⅲ）；科学论证（Ⅲ）；解释（Ⅲ）；科学本质（Ⅲ）。

 

146．太阳的寿命约为 100 亿年，太阳形成至今已经演化了约 50 亿年？再过 50 亿年，太阳将进入什么阶段？太阳这类小质量恒星最后会演化成什么样的致密天体？

【答案】

太阳属于小质量恒星，再过 50 亿年，太阳将进入红巨星阶段，最后将形成白矮星。

【解析】

命题意图：通过太阳了解小质量恒星的演化历史。

主要素养与水平：物质（Ⅲ）；科学推理（Ⅲ）；解释（Ⅲ）。

 

147．有人说，宇宙是无限的，宇宙中的恒星也是无限多的，因此在宇宙中的任意一点，无限多恒星的光叠起来都足以达到太阳的亮度，即不应该有黑夜。如何用现代宇宙学理论来分析解决这个悖论？

【答案】

按照现代宇宙学理论，首先宇宙是有限的，因此宇宙中的恒星也是有限的。其次，光的传播需要时间，形成较晚、距离较远的恒星的光可能尚未传播到地球。所以悖论不成立。

【解析】

命题意图：能初步运用现代宇宙学理论来解释奥博斯佯谬。

主要素养与水平：模型建构（Ⅳ）；科学推理（Ⅳ）；科学论证（Ⅳ）；解释（Ⅳ）。